ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Обратно към урока

Математика · 12 клас · Екстремални задачи

Основни елементарни неравенства

Име: Клас: Дата:

  1. Кое неравенство е вярно за всички положителни a и b?

    • А) (a + b)/2 ≤ √(ab)
    • Б) a + b ≤ 2√(ab)
    • В) (a + b)/2 ≥ √(ab)
    • Г) a + b < √(ab)

  2. Намерете най-малката стойност на x + 16/x при x > 0.

    • А) 8
    • Б) 16
    • В) 4
    • Г) 17

  3. Намерете най-малката стойност на 4x + 1/x при x > 0.

    • А) 5
    • Б) 4
    • В) 2
    • Г) 1

  4. Намерете най-малката стойност на a2 + 9/a2 при a ≠ 0.

    • А) 6
    • Б) 9
    • В) 3
    • Г) 10

  5. Положителните числа x и y са такива, че x + 2y = 8. Намерете най-голямата стойност на xy.

    • А) 16
    • Б) 8
    • В) 4
    • Г) 32

  6. Кое неравенство е вярно за всички реални a и b?

    • А) a2 + b2 ≥ 2ab
    • Б) a + b ≥ 2ab
    • В) a2 + b2 ≤ 2ab
    • Г) a − b ≥ 0

  7. Намерете най-малката стойност на x + 1/x при x > 0.

    • А) 1
    • Б) 0
    • В) 2
    • Г) 4

  8. Положителните числа a и b имат произведение 25. Колко е най-малкият възможен сбор a + b?

    • А) 25
    • Б) 10
    • В) 5
    • Г) 50

  9. Намерете най-голямата стойност на 2x/(x2 + 1) при x > 0.

    • А) 1/2
    • Б) 2
    • В) 4
    • Г) 1

  10. Положителните числа a и b са такива, че a + b = 1. Намерете най-малката стойност на 1/a + 1/b.

    • А) 4
    • Б) 2
    • В) 8
    • Г) 1

  11. За положителни a и b кога е изпълнено (a + b)/2 = √(ab)?

    • А) при a = 2b
    • Б) при a + b = 1
    • В) при ab = 1
    • Г) при a = b

  12. Колко е средното геометрично на числата 4 и 9?

    • А) 6,5
    • Б) 13
    • В) 6
    • Г) 36

  13. Положителните числа a и b имат сбор 10. Колко е най-голямото възможно произведение ab?

    • А) 24
    • Б) 20
    • В) 50
    • Г) 25

  14. Намерете най-малката стойност на x + 4/(x − 1) при x > 1.

    • А) 4
    • Б) 5
    • В) 6
    • Г) 3

  15. Положителните числа x и y са такива, че xy = 18. Намерете най-малката стойност на 2x + y.

    • А) 9
    • Б) 18
    • В) 12
    • Г) 6√2

Отговори

Основни елементарни неравенства

  1. 1. В) (a + b)/2 ≥ √(ab) Средното аритметично не е по-малко от средното геометрично: a + b − 2√(ab) = (√a − √b)2 ≥ 0.
  2. 2. А) 8 x + 16/x ≥ 2√16 = 8, с равенство при x = 4.
  3. 3. Б) 4 4x + 1/x ≥ 2√(4x · 1/x) = 4, с равенство при 4x = 1/x, x = 1/2.
  4. 4. А) 6 a2 + 9/a2 ≥ 2√9 = 6, с равенство при a2 = 3.
  5. 5. Б) 8 x · 2y ≤ ((x + 2y)/2)2 = 16, затова xy ≤ 8, с равенство при x = 4, y = 2.
  6. 6. А) a2 + b2 ≥ 2ab a2 + b2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0.
  7. 7. В) 2 По неравенството между средно аритметично и средно геометрично x + 1/x ≥ 2, равенство при x = 1.
  8. 8. Б) 10 a + b ≥ 2√(ab) = 2 · 5 = 10, равенство при a = b = 5.
  9. 9. Г) 1 Тъй като x2 + 1 ≥ 2x, дробта е най-много 1, равенство при x = 1.
  10. 10. А) 4 (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4, т.е. 1/a + 1/b ≥ 4, равенство при a = b = 1/2.
  11. 11. Г) при a = b Неравенството между средното аритметично и средното геометрично става равенство точно когато числата са равни.
  12. 12. В) 6 Средното геометрично е √(4 · 9) = √36 = 6.
  13. 13. Г) 25 ab ≤ ((a + b)/2)2 = 25, с равенство при a = b = 5.
  14. 14. Б) 5 x + 4/(x − 1) = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1 ≥ 2 · 2 + 1 = 5, с равенство при x − 1 = 2, т.е. x = 3.
  15. 15. В) 12 2x + y ≥ 2√(2xy) = 2√36 = 12, с равенство при 2x = y, т.е. x = 3, y = 6.

Игрален час · игри и работни листове по програмата на МОН