Умножение на вектор с число. Свойства
Произведението на вектор a с число k е вектор с дължина |k| · |a|. Ако k > 0, посоката е същата като на a, а ако k < 0, посоката е противоположна. Два ненулеви вектора са колинеарни точно когато единият е число по другия. Умножението с число се разпределя спрямо събирането, затова изразите с вектори се опростяват като алгебрични изрази.
Какво да запомним
- |ka| = |k| · |a|.
- k > 0: еднопосочни; k < 0: противопосочни.
- k(a + b) = ka + kb; (k + m)a = ka + ma.
- a и b (b ≠ 0) са колинеарни ⇔ a = kb.
Пример
2(a + 3b) − 3(a − b) = 2a + 6b − 3a + 3b = −a + 9b.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
|a| = 4. Намерете дължината на вектора −3a.
- −12
- 7
- 1
- 12
Отговор: 12
|k·a| = |k|·|a| = 3·4 = 12. Знакът минус променя само посоката.
Опростете 2(a + 3b) − 3(a − b).
- −a + 3b
- 5a + 9b
- −a + 9b
- −a + 6b
Отговор: −a + 9b
2a + 6b − 3a + 3b = −a + 9b.
M е средата на отсечката AB. Кое равенство е вярно?
- AB = 2MA
- AB = 2AM
- AM = BM
- MA = MB
Отговор: AB = 2AM
AM и AB са еднопосочни, а AB е два пъти по-дълъг.
Точка M лежи на отсечката AB и AM : MB = 1 : 3. Кое равенство е вярно?
- 4AM = AB
- 3AM = AB
- 3MB = AM
- 4MB = 3BA
Отговор: 4AM = AB
AM е 1/4 от AB и е еднопосочен с него.
Векторите a и b не са колинеарни. За кое k векторите 2a + kb и a − 3b са колинеарни?
- 6
- −3/2
- 3
- −6
Отговор: −6
Трябва 2a + kb = λ(a − 3b). Тогава λ = 2 и k = −3λ = −6.
Векторите a и −2a (където a не е нулев) са:
- еднопосочни
- равни
- перпендикулярни
- противопосочни
Отговор: противопосочни
При умножение с отрицателно число посоката се сменя, затова −2a е противопосочен на a.
Опростете 3a − 5a + a.
- −a
- a
- −2a
- 9a
Отговор: −a
(3 − 5 + 1)a = −a.
За кое число k е вярно k·AB = BA?
- 1
- 0
- −1
- 2
Отговор: −1
BA = −AB, затова k = −1.
Намерете вектора x от равенството 2x + a = 3(x − a).
- −4a
- 2a
- a
- 4a
Отговор: 4a
2x + a = 3x − 3a, откъдето x = 4a.
Векторите a и b не са колинеарни и (x − 1)a + (y + 2)b е нулевият вектор. Намерете x и y.
- x = −1, y = 2
- x = 1, y = −2
- x = 1, y = 2
- x = 0, y = 0
Отговор: x = 1, y = −2
За неколинеарни вектори ma + nb е нулевият вектор само при m = n = 0: x − 1 = 0 и y + 2 = 0.
|a| = 5. Намерете дължината на вектора 2a.
- 10
- 5
- 7
- 25
Отговор: 10
|2a| = 2 · 5 = 10.
Векторите a и 3a (a не е нулев) са:
- противопосочни
- еднопосочни
- перпендикулярни
- равни
Отговор: еднопосочни
Числото 3 > 0, затова посоката се запазва.
b = −4a и |b| = 8. Намерете |a|.
- 32
- −2
- 2
- 4
Отговор: 2
|b| = |−4| · |a| = 4|a|, затова |a| = 2.
M е средата на AB. За кое k е вярно MA = k · AB?
- 1/2
- −1/2
- −2
- 2
Отговор: −1/2
MA е половината от AB по дължина и е с противоположна посока.
Опростете 2(3a − b) − 3(2a + b).
- −5b
- 12a − 5b
- −b
- 5b
Отговор: −5b
6a − 2b − 6a − 3b = −5b.