Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Математика 12 клас: Уравнения“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 3 от 6

Основни логаритмични уравнения и такива, свеждащи се чрез полагане до квадратни

Q: Какво се учи в урока „Основни логаритмични уравнения и такива, свеждащи се чрез полагане до квадратни“?

Уравнението logₐf(x) = b е равносилно на f(x) = a^b, но винаги трябва да спазваме допустимите стойности: изразът под логаритъма трябва да е положителен. Сбор от логаритми с една основа се заменя с логаритъм от произведение. Когато в уравнението има log²x и log x, полагаме t = log x и решаваме квадратно уравнение. Накрая проверяваме дали корените са допустими.

Уравнението log_af(x) = b е равносилно на f(x) = a^b, но винаги трябва да спазваме допустимите стойности: изразът под логаритъма трябва да е положителен. Сбор от логаритми с една основа се заменя с логаритъм от произведение. Когато в уравнението има log²x и log x, полагаме t = log x и решаваме квадратно уравнение. Накрая проверяваме дали корените са допустими.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b, при a > 0, a ≠ 1
Допустими стойности: f(x) > 0
log_ax + log_ay = log_a(xy) при x, y > 0
Полагане t = log_ax свежда log²-уравнения до квадратни

Пример

log₂(x + 3) = 4 ⇔ x + 3 = 2⁴ = 16, откъдето x = 13 (и 13 + 3 > 0).

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Решете уравнението log₂(x + 3) = 4.
- 5
- 19
- 1
- 13
Отговор: 13
x + 3 = 2⁴ = 16, x = 13.
Решете уравнението lg(3x − 2) = 1.
- 1
- 3
- 4
- 12
Отговор: 4
3x − 2 = 10, x = 4.
Решете уравнението log₃(x² − 8x) = 2.
- само 9
- −1 и 9
- 1 и −9
- няма решение
Отговор: −1 и 9
x² − 8x = 9, x = 9 или x = −1. И за двата корена x² − 8x = 9 > 0.
Решете уравнението log₂x + log₂(x + 2) = 3.
- 2
- −4 и 2
- −4
- 4
Отговор: 2
x(x + 2) = 8, x² + 2x − 8 = 0, x = 2 или x = −4. Допустимо е само x = 2.
Решете уравнението lg²x − lg x − 2 = 0.
- −1 и 2
- 10 и 100
- 1/10 и 100
- само 100
Отговор: 1/10 и 100
С lg x = t: t² − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1, т.е. x = 100 или x = 1/10.
Решете уравнението log₄x = 1/2.
- 8
- 16
- 2
- 1/2
Отговор: 2
x = 4^1/2 = 2.
Решете уравнението lg(x + 1) = 0.
- 1
- 0
- −1
- 10
Отговор: 0
x + 1 = 10⁰ = 1, затова x = 0.
Решете уравнението log₃(2x + 3) = 2log₃x.
- −1 и 3
- 3
- −1
- 9
Отговор: 3
При x > 0: 2x + 3 = x², x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1, но x = −1 не е допустим.
Решете уравнението log₂x + log₄x = 6.
- 8
- 64
- 16
- 4
Отговор: 16
log₄x = (1/2)log₂x, затова (3/2)log₂x = 6, log₂x = 4 и x = 16.
Решете уравнението log_x2 + log₂x = 5/2.
- 4
- 2 и 1/2
- 16 и 2
- 4 и √2
Отговор: 4 и √2
С t = log₂x: 1/t + t = 5/2, 2t² − 5t + 2 = 0, t = 2 или t = 1/2, т.е. x = 4 или x = √2.
Решете уравнението log₅x = 2.
- 10
- 25
- 32
- 1/25
Отговор: 25
x = 5² = 25.
Кои са допустимите стойности за уравнението log₂(x − 5) = 3?
- x > 0
- x > 5
- x ≥ 5
- x > 3
Отговор: x > 5
Изразът под логаритъма трябва да е положителен: x − 5 > 0.
Решете уравнението log₂(log₃x) = 1.
- 6
- 3
- 8
- 9
Отговор: 9
log₃x = 2¹ = 2, откъдето x = 3² = 9.
Колко корена има уравнението lg(x − 1) = lg(1 − x)?
- x = 1
- x = 0
- няма корени
- безброй
Отговор: няма корени
Трябва x − 1 > 0 и 1 − x > 0 едновременно, което е невъзможно. Уравнението няма корени.
Решете уравнението log₂(4^x + 4) = x + log₂5.
- 1 и 4
- 2
- 0
- 0 и 2
Отговор: 0 и 2
Потенцираме: 4^x + 4 = 5·2^x. С t = 2^x: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = 0 или x = 2.