Основни показателни уравнения и такива, свеждащи се чрез полагане до квадратни
Основното показателно уравнение af(x) = ag(x) при a > 0, a ≠ 1 е равносилно на f(x) = g(x). Затова се стараем да запишем двете страни като степени с една и съща основа. Когато в уравнението има a2x и ax, полагаме t = ax > 0 и получаваме квадратно уравнение. Отрицателните корени за t отпадат, защото степента винаги е положителна.
Какво да запомним
- af(x) = ag(x) ⇔ f(x) = g(x) при a > 0, a ≠ 1
- ax > 0 за всяко x
- Полагане t = ax, t > 0, превръща a2x в t2
- Изнасяне пред скоби: 2x + 1 + 2x − 1 = 2x(2 + 1/2)
Пример
9x − 4 · 3x + 3 = 0: с t = 3x получаваме t2 − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3, откъдето x = 0 или x = 1.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението 3x − 1 = 27.
- 4
- 3
- 2
- 9
Отговор: 4
27 = 33, затова x − 1 = 3, x = 4.
Решете уравнението (1/2)x = 8.
- −3
- 3
- 1/3
- −1/3
Отговор: −3
(1/2)x = 2−x = 23, затова x = −3.
Решете уравнението 2x2 − x = 4.
- 1 и −2
- −1 и 2
- само 2
- 0 и 1
Отговор: −1 и 2
x2 − x = 2, x2 − x − 2 = 0, x = −1 или x = 2.
Решете уравнението 9x − 4 · 3x + 3 = 0.
- 1 и 3
- 0 и 1
- само 1
- 0 и 3
Отговор: 0 и 1
С 3x = t: t2 − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3, откъдето x = 0 или x = 1.
Решете уравнението 2x + 1 + 2x − 1 = 20.
- 2
- 3
- 4
- 5
Отговор: 3
2x − 1(4 + 1) = 20, 2x − 1 = 4, x − 1 = 2, x = 3.
Решете уравнението 10x = 0,001.
- −3
- 3
- −1/3
- 1/3
Отговор: −3
0,001 = 10−3, затова x = −3.
Решете уравнението 25x = 1/5.
- 1/2
- −2
- −1/2
- 2
Отговор: −1/2
52x = 5−1, 2x = −1, x = −1/2.
Решете уравнението 2x = 3x.
- 1
- няма решение
- всяко реално x
- 0
Отговор: 0
Делим на 3x > 0: (2/3)x = 1, откъдето x = 0.
Решете уравнението 32x + 1 − 10·3x + 3 = 0.
- 1
- −1 и 1
- 3 и 1/3
- 0 и 1
Отговор: −1 и 1
С t = 3x > 0: 3t2 − 10t + 3 = 0, t = 3 или t = 1/3, т.е. x = 1 или x = −1.
Решете уравнението 2x·5x − 1 = 200.
- 3
- 2
- 4
- 1000
Отговор: 3
2x·5x/5 = 200, т.е. 10x = 1000 и x = 3.
Решете уравнението 3x = −9.
- −2
- 2
- няма решение
- −3
Отговор: няма решение
Степента 3x е положителна за всяко x, затова няма решение.
Решете уравнението 4x + 1 = 64.
- 2
- 3
- 16
- 1
Отговор: 2
64 = 43, затова x + 1 = 3 и x = 2.
Решете уравнението 5x2 − 4 = 1.
- 2
- 4
- 0
- −2 и 2
Отговор: −2 и 2
1 = 50, затова x2 − 4 = 0 и x = ±2.
Решете уравнението 4x − 7·2x − 8 = 0.
- 8
- −1 и 3
- 3
- 0
Отговор: 3
С t = 2x > 0: t2 − 7t − 8 = 0, t = 8 или t = −1 (отпада). 2x = 8, x = 3.
Решете уравнението 2x + 22 − x = 5.
- 1 и 4
- 0 и 2
- 2
- 0
Отговор: 0 и 2
С t = 2x: t + 4/t = 5, t2 − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = 0 или x = 2.