Действия с вероятности
В този урок събираме, изваждаме и комбинираме вероятности на събития. Вероятността на противоположното събитие е 1 минус вероятността на самото събитие. За обединение на две събития се използва формулата за събиране, а когато събитията са несъвместими (не могат да настъпят едновременно), вероятностите просто се събират. Тези правила често съкращават сметките, особено при въпроси с „поне“.
Какво да запомним
- P(Ā) = 1 − P(A)
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Ако A и B са несъвместими, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Вероятността на всяко събитие е между 0 и 1
Пример
Хвърлят се три монети. P(поне едно ези) = 1 − P(три тура) = 1 − 1/8 = 7/8.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
P(A) = 0,35. Намерете вероятността на противоположното събитие Ā.
- 0,35
- 1,35
- 0,5
- 0,65
Отговор: 0,65
P(Ā) = 1 − P(A) = 0,65.
A и B са несъвместими, P(A) = 0,2 и P(B) = 0,45. Намерете P(A ∪ B).
- 0,65
- 0,09
- 0,56
- 0,25
Отговор: 0,65
За несъвместими събития P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,65.
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,8. Намерете P(A ∩ B).
- 0,1
- 0,5
- 0,3
- 0,2
Отговор: 0,3
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 1,1 − 0,8 = 0,3.
Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е поне 3?
- 35/36
- 1/36
- 5/6
- 11/12
Отговор: 35/36
Противоположното събитие е сбор 2, т.е. 1 + 1: 1 − 1/36 = 35/36.
Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да има поне едно ези?
- 3/8
- 1/2
- 3/4
- 7/8
Отговор: 7/8
Противоположното е „три тури“ с вероятност 1/8: 1 − 1/8 = 7/8.
Избира се случайно цяло число от 1 до 20. Каква е вероятността то да е кратно на 5?
- 1/4
- 1/10
- 1/20
- 1/5
Отговор: 1/5
Кратните на 5 са 5, 10, 15 и 20, т.е. 4 от 20 числа.
A и B са несъвместими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,5. Каква е вероятността да не настъпи нито A, нито B?
- 0,35
- 0,2
- 0,8
- 0,15
Отговор: 0,2
P(A ∪ B) = 0,3 + 0,5 = 0,8, а противоположното събитие има вероятност 1 − 0,8 = 0,2.
Хвърлят се два зара. Каква е вероятността да се паднат еднакви числа?
- 1/36
- 1/6
- 1/12
- 1/3
Отговор: 1/6
Благоприятните изходи са 6 (1-1, 2-2, ..., 6-6) от 36 равновъзможни.
Хвърлят се два зара. Каква е вероятността произведението на падналите се числа да е четно?
- 1/2
- 1/4
- 3/4
- 2/3
Отговор: 3/4
Произведението е нечетно само ако и двете числа са нечетни: (1/2)·(1/2) = 1/4. Търсената вероятност е 1 − 1/4 = 3/4.
От 5 момчета и 3 момичета се избират случайно двама души. Каква е вероятността сред тях да има поне едно момиче?
- 5/14
- 3/8
- 9/14
- 15/28
Отговор: 9/14
Двама души се избират по C82 = 28 начина, а само момчета по C52 = 10 начина: 1 − 10/28 = 9/14.
Каква е вероятността на сигурно събитие?
- 0
- 0,5
- 1
- 100
Отговор: 1
Сигурното събитие настъпва винаги, вероятността му е 1.
Хвърля се зар. Каква е вероятността да се падне число, по-малко от 3, или шестица?
- 1/3
- 1/2
- 1/6
- 2/3
Отговор: 1/2
Събитията са несъвместими: 2/6 + 1/6 = 1/2.
Избира се случайно цяло число от 1 до 30. Каква е вероятността то да се дели на 2 или на 3?
- 5/6
- 1/2
- 3/5
- 2/3
Отговор: 2/3
P = 15/30 + 10/30 − 5/30 = 20/30 = 2/3 (числата, делящи се на 6, са броени два пъти).
P(A) = 0,8 и P(B) = 0,7. Колко е най-малката възможна стойност на P(A ∩ B)?
- 0,56
- 0,1
- 0,5
- 0,7
Отговор: 0,5
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) ≥ 0,8 + 0,7 − 1 = 0,5.
Трима ученици решават задача независимо с вероятности 0,5, 0,6 и 0,8. Каква е вероятността задачата да бъде решена?
- 0,96
- 0,24
- 0,04
- 0,76
Отговор: 0,96
Чрез противоположното събитие: 1 − 0,5·0,4·0,2 = 1 − 0,04 = 0,96.