Геометрична вероятност в равнината
Когато точка се избира случайно във фигура в равнината, вероятността тя да попадне в дадена част е отношение на лица. Делим лицето на благоприятната област на лицето на цялата фигура. Така решаваме задачи с кръгове в квадрати, сектори на колело на късмета и дори задачата за срещата, при която двете времена се изобразяват като точка в квадрат.
Какво да запомним
- P = лице на благоприятната област : лице на цялата фигура
- Лице на кръг: S = πr2; на квадрат: S = a2
- При сектор вероятността е ъгълът на сектора : 360°
- Две случайни числа x и y се представят като точка (x; y) в квадрат
Пример
Точка се избира в квадрат със страна 4, в който има кръг с радиус 1. P = π · 12 : 16 = π/16.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Точка се избира случайно в квадрат със страна 4. Каква е вероятността тя да е в даден кръг с радиус 1 вътре в квадрата?
- π/4
- 1/4
- π/16
- π/8
Отговор: π/16
Лицата са π · 12 = π и 42 = 16: вероятността е π/16.
Точка се избира случайно в правоъгълник 6 × 4. Каква е вероятността разстоянието ѝ до страната с дължина 6 да е по-малко от 1?
- 1/6
- 1/24
- 1/3
- 1/4
Отговор: 1/4
Благоприятната ивица е 6 × 1: 6/24 = 1/4.
Точка (x; y) се избира случайно в квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Каква е вероятността x + y < 1/2?
- 1/4
- 1/2
- 1/8
- 1/16
Отговор: 1/8
Благоприятната област е триъгълник с катети 1/2 и лице 1/8, а лицето на квадрата е 1.
Колело на късмета е разделено на сектори, а един от тях е 90°. Каква е вероятността стрелката да спре в него?
- 1/3
- 1/2
- 1/4
- 1/90
Отговор: 1/4
Вероятността е отношението на ъглите: 90° : 360° = 1/4.
Точка се избира случайно в кръг с радиус 2. Каква е вероятността тя да е в концентричния кръг с радиус 1?
- 1/2
- 1/4
- 1/8
- π/4
Отговор: 1/4
Отношението на лицата е π·12 : π·22 = 1/4.
Точка се избира случайно в правоъгълник 4 × 3. Каква е вероятността тя да е на разстояние, по-малко от 1, от някой от върховете?
- π/12
- π/4
- 1/12
- π/3
Отговор: π/12
Около всеки връх има четвъртинка кръг с радиус 1. Четирите не се застъпват и общото им лице е π, затова P = π/12.
Двама се уговарят да се срещнат между 12:00 и 13:00 часа и всеки чака другия 20 минути. Каква е вероятността да се срещнат?
- 1/3
- 4/9
- 2/3
- 5/9
Отговор: 5/9
В квадрат 60 × 60 неблагоприятни са два триъгълника с катети 40, с общо лице 1600 от 3600, затова P = 1 − 4/9 = 5/9.
Колело на късмета има 8 равни сектора, 3 от тях са червени. Каква е вероятността стрелката да спре в червен сектор?
- 3/8
- 1/8
- 3/5
- 5/8
Отговор: 3/8
Червените сектори заемат 3 от 8 равни части: 3/8.
Точка се избира случайно в квадрат, разделен с диагонал на два триъгълника. Каква е вероятността тя да е в единия триъгълник?
- 1/4
- 1/2
- 1/3
- 1
Отговор: 1/2
Диагоналът дели квадрата на два еднакви триъгълника, всеки с половината от лицето.
Точка се избира случайно в правоъгълник 10 × 5. Каква е вероятността тя да е в квадрат със страна 2 вътре в него?
- 1/5
- 2/5
- 2/25
- 4/25
Отговор: 2/25
P = 4 : 50 = 2/25.
Колело на късмета има сектор от 60°. Каква е вероятността стрелката да не спре в него?
- 1/6
- 1/3
- 2/3
- 5/6
Отговор: 5/6
Секторът е 60° : 360° = 1/6 от колелото, затова P = 1 − 1/6 = 5/6.
Точка се избира случайно в квадрат със страна 2. Каква е вероятността тя да е във вписания в квадрата кръг?
- π/4
- π/2
- 1/4
- π/8
Отговор: π/4
Кръгът има радиус 1 и лице π, квадратът има лице 4: P = π/4.
Точка се избира случайно в кръг с радиус 1. Каква е вероятността тя да е във вписания в кръга квадрат?
- 1/π
- 1/2
- 2/π
- π/4
Отговор: 2/π
Диагоналът на квадрата е 2, лицето му е 2, а лицето на кръга е π: P = 2/π.
Точка се избира случайно в правоъгълен триъгълник с катети 6 и 8. Каква е вероятността тя да е във вписания в триъгълника кръг?
- π/12
- π/6
- π/3
- 1/6
Отговор: π/6
Хипотенузата е 10, r = (6 + 8 − 10)/2 = 2. Лицата са 4π и 24: P = π/6.
Точка се избира случайно в равностранен триъгълник със страна 2√3. Каква е вероятността тя да е на разстояние, по-голямо от 1, от всеки връх?
- 1 − π√3/18
- π√3/18
- 1 − π/6
- 1 − π√3/9
Отговор: 1 − π√3/18
Трите сектора с радиус 1 и ъгъл 60° имат общо лице π/2, а триъгълникът има лице 3√3. P = 1 − (π/2) : 3√3 = 1 − π√3/18.