Математика 11 клас: Вероятности

Условна вероятност

1. P(A ∩ B) = 0,2 и P(B) = 0,5. Намерете P(A | B).

   • 0,1
   • 0,4
   • 0,7
   • 0,25

   Отговор: 0,4

   P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,2/0,5 = 0,4.

2. A и B са независими събития и P(A) = 0,7. На какво е равно P(A | B), ако P(B) > 0?

   • 0,3
   • 1
   • 0,7
   • 0

   Отговор: 0,7

   За независими събития P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = P(A)·P(B)/P(B) = P(A) = 0,7.

3. P(A | B) = 0,5 и P(B) = 0,8. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,4
   • 1,3
   • 0,625
   • 0,3

   Отговор: 0,4

   P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = 0,8 · 0,5 = 0,4.

4. Хвърля се зар и се знае, че се е паднало четно число. Каква е вероятността то да е 6?

   • 1/3
   • 1/6
   • 1/2
   • 2/3

   Отговор: 1/3

   Четните изходи са 2, 4 и 6, а благоприятен е един от тях.

5. Избира се случайно цяло число от 1 до 10 и се знае, че то е нечетно. Каква е вероятността да е просто?

   • 3/5
   • 2/5
   • 1/2
   • 3/10

   Отговор: 3/5

   Нечетните числа са 1, 3, 5, 7, 9, а простите сред тях са 3, 5 и 7.

6. Избира се случайно двуцифрено число и се знае, че то завършва на 5. Каква е вероятността то да се дели на 3?

   • 1/9
   • 1/3
   • 1/5
   • 2/9

   Отговор: 1/3

   Числата са 15, 25, ..., 95, общо 9. На 3 се делят 15, 45 и 75: 3/9 = 1/3.

7. В клас има 30 ученици, от тях 12 са момичета, а 9 от момичетата свирят на инструмент. Избраният случайно ученик е момиче. Каква е вероятността то да свири?

   • 3/10
   • 3/4
   • 2/5
   • 1/4

   Отговор: 3/4

   Условието стеснява избора до 12 момичета, от които 9 свирят: 9/12 = 3/4.

8. Хвърлят се два зара и на първия се е паднало 4. Каква е вероятността сборът да е поне 9?

   • 1/3
   • 1/6
   • 1/2
   • 5/18

   Отговор: 1/3

   Сборът е поне 9, ако на втория зар се падне 5 или 6: 2 от 6 възможности.

9. Хвърлят се два зара и се знае, че поне на единия е паднала шестица. Каква е вероятността сборът да е поне 10?

   • 5/36
   • 1/6
   • 5/11
   • 6/11

   Отговор: 5/11

   Изходите с поне една шестица са 11. Сбор поне 10 имат (4; 6), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6): 5/11.

10. В урна има 4 бели и 6 черни топки. Теглят се 2 топки без връщане. Първата е бяла. Каква е вероятността и втората да е бяла?

    • 2/5
    • 1/3
    • 4/9
    • 2/15

    Отговор: 1/3

    Остават 9 топки, от които 3 бели: 3/9 = 1/3.

11. Урна I има 3 бели и 2 черни топки, урна II има 1 бяла и 4 черни. С монета се избира урна и от нея се тегли топка. Каква е вероятността топката да е бяла?

    • 0,4
    • 0,5
    • 0,3
    • 0,8

    Отговор: 0,4

    По формулата за пълната вероятност: 0,5·3/5 + 0,5·1/5 = 0,3 + 0,1 = 0,4.

12. P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,7. Намерете P(A | B).

    • 0,5
    • 0,2
    • 0,8
    • 0,4

    Отговор: 0,4

    P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 − 0,7 = 0,2, P(A | B) = 0,2/0,5 = 0,4.

13. Хвърлят се две монети и се знае, че има поне едно ези. Каква е вероятността и двете да са ези?

    • 1/2
    • 1/4
    • 1/3
    • 2/3

    Отговор: 1/3

    Изходите с поне едно ези са ЕЕ, ЕТ и ТЕ, от тях благоприятен е само ЕЕ.

14. При същия опит (урна I: 3 бели и 2 черни, урна II: 1 бяла и 4 черни, урната се избира с монета) е изтеглена бяла топка. Каква е вероятността тя да е от урна I?

    • 3/5
    • 1/2
    • 2/3
    • 3/4

    Отговор: 3/4

    По формулата на Бейс: (0,5·3/5)/0,4 = 0,3/0,4 = 3/4.

15. В урна има 3 бели и 2 черни топки. Теглят се последователно 3 топки без връщане. Каква е вероятността третата топка да е бяла?

    • 1/2
    • 3/5
    • 2/5
    • 3/10

    Отговор: 3/5

    По симетрия всяка поредна топка е бяла с вероятност 3/5 (може да се провери и с формулата за пълна вероятност).

Независими събития

1. A и B са независими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,6. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,9
   • 0,18
   • 0,3
   • 0,72

   Отговор: 0,18

   За независими събития P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,18.

2. Монета се хвърля 2 пъти. Каква е вероятността и двата пъти да се падне ези?

   • 1/2
   • 1/4
   • 1/3
   • 3/4

   Отговор: 1/4

   Хвърлянията са независими: (1/2)·(1/2) = 1/4.

3. Кои две събития са независими?

   • ези при първа и ези при втора монета
   • 1 и 2 при едно хвърляне на зар
   • „вали дъжд“ и „улицата е мокра“
   • бяла и черна топка при едно теглене

   Отговор: ези при първа и ези при втора монета

   Резултатът от едната монета не влияе на резултата от другата.

4. Хвърлят се монета и зар. Каква е вероятността да се падне ези и шестица?

   • 1/8
   • 2/3
   • 1/6
   • 1/12

   Отговор: 1/12

   Събитията са независими: 1/2 · 1/6 = 1/12.

5. A и B са независими, P(A) = 0,4 и P(B) = 0,5. Намерете P(A ∪ B).

   • 0,9
   • 0,7
   • 0,2
   • 0,8

   Отговор: 0,7

   P(A ∩ B) = 0,4·0,5 = 0,2, затова P(A ∪ B) = 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.

6. A и B са независими, P(A) = 0,5 и P(B) = 0,2. Намерете вероятността да не настъпи нито A, нито B.

   • 0,1
   • 0,4
   • 0,6
   • 0,3

   Отговор: 0,4

   Противоположните събития също са независими: (1 − 0,5)(1 − 0,2) = 0,4.

7. Трима стрелци уцелват независимо с вероятности 0,9, 0,8 и 0,5. Каква е вероятността и тримата да уцелят?

   • 0,36
   • 0,72
   • 0,4
   • 0,45

   Отговор: 0,36

   0,9 · 0,8 · 0,5 = 0,36.

8. Двама стрелци уцелват независимо с вероятности 0,7 и 0,6. Каква е вероятността точно един от тях да уцели?

   • 0,42
   • 0,46
   • 0,88
   • 0,54

   Отговор: 0,46

   0,7·0,4 + 0,3·0,6 = 0,28 + 0,18 = 0,46.

9. Зар се хвърля 2 пъти. Каква е вероятността първия път да се падне четно число, а втория път число, по-малко от 3?

   • 1/3
   • 1/12
   • 1/6
   • 5/6

   Отговор: 1/6

   Хвърлянията са независими: (1/2) · (2/6) = 1/6.

10. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A ∩ B) = 0,2. Кое е вярно за A и B?

    • несъвместими са
    • противоположни са
    • независими са
    • B е част от A

    Отговор: независими са

    P(A) · P(B) = 0,2 = P(A ∩ B), затова са независими. Не са несъвместими, защото P(A ∩ B) ≠ 0.

11. Хвърля се зар. A е „паднало се е четно число“, а B е „падналото се число се дели на 3“. Какви са събитията A и B?

    • независими
    • зависими
    • несъвместими
    • противоположни

    Отговор: независими

    P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 и P(A ∩ B) = P(6) = 1/6 = P(A)·P(B), затова са независими.

12. Уред работи само ако работят и двата му последователно свързани независими елемента с надеждности 0,9 и 0,95. Каква е вероятността уредът да работи?

    • 0,95
    • 0,995
    • 0,9
    • 0,855

    Отговор: 0,855

    И двата трябва да работят: 0,9 · 0,95 = 0,855.

13. Уред работи, ако работи поне един от два независими елемента с надеждности 0,9 и 0,8. Каква е вероятността уредът да работи?

    • 0,72
    • 0,98
    • 0,85
    • 0,02

    Отговор: 0,98

    Уредът отказва само ако откажат и двата: 0,1 · 0,2 = 0,02. Търсената вероятност е 1 − 0,02 = 0,98.

14. Колко най-малко пъти трябва да се хвърли монета, за да е вероятността за поне едно ези по-голяма от 0,99?

    • 7
    • 6
    • 10
    • 100

    Отговор: 7

    1 − (1/2)ⁿ > 0,99 ⇔ 2ⁿ > 100, а най-малкото такова n е 7 (2⁷ = 128).

15. Трима ученици решават задача независимо един от друг с вероятности 1/2, 1/3 и 1/4. Каква е вероятността задачата да бъде решена?

    • 3/4
    • 1/4
    • 1/24
    • 11/24

    Отговор: 3/4

    Никой не я решава с вероятност (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4, затова търсената вероятност е 1 − 1/4 = 3/4.

Действия с вероятности

1. P(A) = 0,35. Намерете вероятността на противоположното събитие Ā.

   • 0,35
   • 1,35
   • 0,5
   • 0,65

   Отговор: 0,65

   P(Ā) = 1 − P(A) = 0,65.

2. Избира се случайно цяло число от 1 до 20. Каква е вероятността то да е кратно на 5?

   • 1/4
   • 1/10
   • 1/20
   • 1/5

   Отговор: 1/5

   Кратните на 5 са 5, 10, 15 и 20, т.е. 4 от 20 числа.

3. Колко е вероятността на сигурно събитие?

   • 0
   • 0,5
   • 1
   • 100

   Отговор: 1

   Сигурното събитие настъпва винаги, вероятността му е 1.

4. A и B са несъвместими, P(A) = 0,2 и P(B) = 0,45. Намерете P(A ∪ B).

   • 0,65
   • 0,09
   • 0,56
   • 0,25

   Отговор: 0,65

   За несъвместими събития P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,65.

5. A и B са несъвместими, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,5. Каква е вероятността да не настъпи нито A, нито B?

   • 0,35
   • 0,2
   • 0,8
   • 0,15

   Отговор: 0,2

   P(A ∪ B) = 0,3 + 0,5 = 0,8, а противоположното събитие има вероятност 1 − 0,8 = 0,2.

6. Избира се случайно ден от седмицата. Каква е вероятността да е събота или неделя?

   • 1/7
   • 2/7
   • 5/7
   • 1/2

   Отговор: 2/7

   Събитията са несъвместими: 1/7 + 1/7 = 2/7.

7. P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 и P(A ∪ B) = 0,8. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,1
   • 0,5
   • 0,3
   • 0,2

   Отговор: 0,3

   P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 1,1 − 0,8 = 0,3.

8. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността да се паднат еднакви числа?

   • 1/36
   • 1/6
   • 1/12
   • 1/3

   Отговор: 1/6

   Благоприятните изходи са 6 (1-1, 2-2, ..., 6-6) от 36 равновъзможни.

9. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е най-много 4?

   • 1/6
   • 1/9
   • 1/12
   • 1/4

   Отговор: 1/6

   Сбор 2: 1 начин, сбор 3: 2 начина, сбор 4: 3 начина, общо 6 от 36: 1/6.

10. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът да е поне 3?

    • 35/36
    • 1/36
    • 5/6
    • 11/12

    Отговор: 35/36

    Противоположното събитие е сбор 2, т.е. 1 + 1: 1 − 1/36 = 35/36.

11. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността произведението на падналите се числа да е четно?

    • 1/2
    • 1/4
    • 3/4
    • 2/3

    Отговор: 3/4

    Произведението е нечетно само ако и двете числа са нечетни: (1/2)·(1/2) = 1/4. Търсената вероятност е 1 − 1/4 = 3/4.

12. От 4 момчета и 2 момичета се избират случайно трима души. Каква е вероятността сред тях да има точно едно момиче?

    • 1/5
    • 2/5
    • 1/2
    • 3/5

    Отговор: 3/5

    Всички тройки са C₆³ = 20. Благоприятни: 2 · C₄² = 12. P = 12/20 = 3/5.

13. Хвърлят се три монети. Каква е вероятността да има поне едно ези?

    • 3/8
    • 1/2
    • 3/4
    • 7/8

    Отговор: 7/8

    Противоположното е „три тури“ с вероятност 1/8: 1 − 1/8 = 7/8.

14. От 5 момчета и 3 момичета се избират случайно двама души. Каква е вероятността сред тях да има поне едно момиче?

    • 5/14
    • 3/8
    • 9/14
    • 15/28

    Отговор: 9/14

    Двама души се избират по C₈² = 28 начина, а само момчета по C₅² = 10 начина: 1 − 10/28 = 9/14.

15. Буквите на думата МАМА се подреждат случайно в редица. Каква е вероятността отново да се получи МАМА?

    • 1/24
    • 1/12
    • 1/6
    • 1/4

    Отговор: 1/6

    Различните подреждания са 4!/(2! · 2!) = 6, само едно е МАМА.

Схема на Бернули

1. Монета се хвърля 4 пъти. Каква е вероятността да се падне ези всеки път?

   • 1/16
   • 1/4
   • 1/8
   • 1/32

   Отговор: 1/16

   (1/2)⁴ = 1/16.

2. Монета се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността ези да не се падне нито веднъж?

   • 1/6
   • 1/4
   • 1/8
   • 3/8

   Отговор: 1/8

   Трябва три пъти да се падне тура: (1/2)³ = 1/8.

3. Кое е еднакво при всички опити в схемата на Бернули?

   • броят на успехите
   • вероятността за успех
   • резултатът от опита
   • сборът от точките

   Отговор: вероятността за успех

   В схемата на Бернули опитите са независими и при всеки вероятността за успех е една и съща.

4. Монета се хвърля 4 пъти. Каква е вероятността за точно 2 ези?

   • 1/2
   • 3/8
   • 1/4
   • 1/16

   Отговор: 3/8

   C₄² · (1/2)⁴ = 6/16 = 3/8.

5. Опит се повтаря 5 пъти. По колко начина може да има точно 2 успеха?

   • 10
   • 5
   • 20
   • 25

   Отговор: 10

   Избираме кои 2 от 5-те опита са успешни: C₅² = 10.

6. Опит има успех с вероятност 0,3 и се повтаря 2 пъти независимо. Каква е вероятността и двата опита да са неуспешни?

   • 0,09
   • 0,7
   • 0,49
   • 0,51

   Отговор: 0,49

   Неуспехът е с вероятност 0,7, за два неуспеха 0,7 · 0,7 = 0,49.

7. Опит има успех с вероятност 0,2 и се повтаря 3 пъти независимо. Каква е вероятността за точно 1 успех?

   • 0,128
   • 0,2
   • 0,384
   • 0,6

   Отговор: 0,384

   C₃¹ · 0,2 · 0,8² = 3 · 0,2 · 0,64 = 0,384.

8. Опит има успех с вероятност 1/2 и се повтаря 6 пъти независимо. Каква е вероятността за точно 3 успеха?

   • 1/2
   • 3/16
   • 5/16
   • 1/8

   Отговор: 5/16

   P = C₆³·(1/2)⁶ = 20/64 = 5/16.

9. Зар се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността шестица да се падне точно веднъж?

   • 25/72
   • 1/6
   • 1/2
   • 5/72

   Отговор: 25/72

   P = 3 · (1/6) · (5/6)² = 75/216 = 25/72.

10. Тест има 5 въпроса с по 4 варианта (един верен). Ученик налучква всички. Каква е вероятността да отговори вярно на всички?

    • 1/20
    • 1/256
    • 5/1024
    • 1/1024

    Отговор: 1/1024

    (1/4)⁵ = 1/1024.

11. Стрелец уцелва с вероятност 0,9 и стреля 4 пъти независимо. Каква е вероятността да уцели поне 3 пъти?

    • 0,6561
    • 0,2916
    • 0,9
    • 0,9477

    Отговор: 0,9477

    P(4) = 0,9⁴ = 0,6561 и P(3) = 4·0,9³·0,1 = 0,2916, сборът е 0,9477.

12. Монета се хвърля 6 пъти. Кой брой ези е най-вероятен?

    • 2
    • 6
    • 4
    • 3

    Отговор: 3

    Вероятностите са пропорционални на C₆^k, което е най-голямо при k = 3.

13. Зар се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността да се падне поне една шестица?

    • 91/216
    • 1/2
    • 125/216
    • 75/216

    Отговор: 91/216

    Противоположното е „нито една шестица“: 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216.

14. Зар се хвърля 4 пъти. Каква е вероятността шестица да се падне поне 2 пъти?

    • 25/216
    • 171/216
    • 1/36
    • 19/144

    Отговор: 19/144

    P(0) = 625/1296 и P(1) = 4·125/1296 = 500/1296, затова търсената вероятност е 1 − 1125/1296 = 171/1296 = 19/144.

15. Тест има 4 въпроса с по 3 варианта, от които един е верен. Ученик налучква всички. Каква е вероятността да познае поне 3?

    • 1/81
    • 1/9
    • 8/81
    • 1/3

    Отговор: 1/9

    P(3) = 4 · (1/3)³ · (2/3) = 8/81, P(4) = 1/81, общо 9/81 = 1/9.

Геометрична вероятност

1. Точка се избира случайно в отсечката [0; 20]. Каква е вероятността тя да е в [5; 9]?

   • 1/4
   • 9/20
   • 5/9
   • 1/5

   Отговор: 1/5

   Дължините са 4 и 20: 4/20 = 1/5.

2. Колело на късмета е разделено на сектори, а един от тях е 90°. Каква е вероятността стрелката да спре в него?

   • 1/3
   • 1/2
   • 1/4
   • 1/90

   Отговор: 1/4

   Вероятността е отношението на ъглите: 90° : 360° = 1/4.

3. Колело на късмета има 8 равни сектора и 3 от тях са червени. Каква е вероятността стрелката да спре на червен сектор?

   • 3/8
   • 1/8
   • 3/5
   • 5/8

   Отговор: 3/8

   3 от 8 равни сектора: 3/8.

4. Автобус идва на всеки 15 минути, а пътник идва на спирката в случаен момент. Каква е вероятността да чака не повече от 5 минути?

   • 1/3
   • 1/5
   • 2/3
   • 1/15

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 5 от 15 минути: 5/15 = 1/3.

5. Пръчка с дължина 1 m се счупва в случайна точка. Каква е вероятността по-късото парче да е по-късо от 20 cm?

   • 0,2
   • 0,8
   • 0,1
   • 0,4

   Отговор: 0,4

   Точката на счупване трябва да е в първите или в последните 20 cm: (0,2 + 0,2)/1 = 0,4.

6. Светофар свети зелено 40 s и червено 20 s (без жълто). Шофьор пристига в случаен момент. Каква е вероятността да завари червено?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/3
   • 1/4

   Отговор: 1/3

   Целият цикъл е 60 s, червеното е 20 s: 20/60 = 1/3.

7. Точка се избира случайно в квадрат със страна 4. Каква е вероятността тя да е в даден кръг с радиус 1 вътре в квадрата?

   • π/4
   • 1/4
   • π/16
   • π/8

   Отговор: π/16

   Лицата са π · 1² = π и 4² = 16: вероятността е π/16.

8. Точка се избира случайно в кръг с радиус 2. Каква е вероятността тя да е в концентричния кръг с радиус 1?

   • 1/2
   • 1/4
   • 1/8
   • π/4

   Отговор: 1/4

   Отношението на лицата е π·1² : π·2² = 1/4.

9. Точка се избира случайно в кръг с радиус 5. Каква е вероятността тя да е във вписания в кръга квадрат?

   • 1/2
   • 2/π
   • π/4
   • 1/π

   Отговор: 2/π

   Диагоналът на квадрата е 10, лицето му е 50. Лицето на кръга е 25π. P = 50/(25π) = 2/π.

10. Точка се избира случайно в правоъгълник 6 × 4. Каква е вероятността разстоянието ѝ до страната с дължина 6 да е по-малко от 1?

    • 1/6
    • 1/24
    • 1/3
    • 1/4

    Отговор: 1/4

    Благоприятната ивица е 6 × 1: 6/24 = 1/4.

11. Точка се избира случайно в правоъгълник 4 × 3. Каква е вероятността тя да е на разстояние, по-малко от 1, от някой от върховете?

    • π/12
    • π/4
    • 1/12
    • π/3

    Отговор: π/12

    Около всеки връх има четвъртинка кръг с радиус 1. Четирите не се застъпват и общото им лице е π, затова P = π/12.

12. Число x се избира случайно в отсечката [0; 4]. Каква е вероятността x² − 4x + 3 < 0?

    • 1/4
    • 3/4
    • 1/3
    • 1/2

    Отговор: 1/2

    Неравенството е изпълнено при 1 < x < 3, интервал с дължина 2 от 4: 1/2.

13. Точка (x; y) се избира случайно в квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Каква е вероятността x + y < 1/2?

    • 1/4
    • 1/2
    • 1/8
    • 1/16

    Отговор: 1/8

    Благоприятната област е триъгълник с катети 1/2 и лице 1/8, а лицето на квадрата е 1.

14. Двама се уговарят да се срещнат между 12:00 и 13:00 часа и всеки чака другия 20 минути. Каква е вероятността да се срещнат?

    • 1/3
    • 4/9
    • 2/3
    • 5/9

    Отговор: 5/9

    В квадрат 60 × 60 неблагоприятни са два триъгълника с катети 40, с общо лице 1600 от 3600, затова P = 1 − 4/9 = 5/9.

15. Точка M се избира случайно в квадрата ABCD. Каква е вероятността ∠AMB да е тъп?

    • π/4
    • π/8
    • 1/2
    • 1/4

    Отговор: π/8

    ∠AMB е тъп, когато M е вътре в полукръга с диаметър AB. Лицето му е π(a/2)²/2 = πa²/8, затова P = π/8.

Финален въпрос