Математика 11 клас: Решаване на равнинни фигури

Успоредник

1. Успоредник има страна 10 cm и височина към нея 4 cm. Колко е лицето му?

   • 20 cm²
   • 40 cm²
   • 14 cm²
   • 80 cm²

   Отговор: 40 cm²

   S = a · h_a = 10 · 4 = 40 cm².

2. Успоредник има страни 7 cm и 4 cm. Колко е периметърът му?

   • 28 cm
   • 22 cm
   • 11 cm
   • 18 cm

   Отговор: 22 cm

   P = 2(7 + 4) = 22 cm.

3. Един от ъглите на успоредник е 70°. Колко е срещуположният му ъгъл?

   • 110°
   • 70°
   • 20°
   • 140°

   Отговор: 70°

   В успоредник срещуположните ъгли са равни.

4. Остър ъгъл на успоредник е 50°. Колко е тъпият му ъгъл?

   • 50°
   • 130°
   • 140°
   • 120°

   Отговор: 130°

   Съседните ъгли на успоредник имат сбор 180°: 180° − 50° = 130°.

5. Успоредник има лице 48 cm² и страна 8 cm. Колко е височината към тази страна?

   • 12 cm
   • 6 cm
   • 3 cm
   • 40 cm

   Отговор: 6 cm

   S = a·h_a, затова h_a = 48 : 8 = 6 cm.

6. Диагоналите на успоредника ABCD се пресичат в точка O, а AC = 14 cm. Колко е AO?

   • 14 cm
   • 3,5 cm
   • 7 cm
   • 28 cm

   Отговор: 7 cm

   Диагоналите на успоредник се разполовяват, затова AO = 14/2 = 7 cm.

7. Успоредник има страни 4 cm и 6 cm и ъгъл 60°. Колко е лицето му?

   • 12√3 cm²
   • 24 cm²
   • 12 cm²
   • 24√3 cm²

   Отговор: 12√3 cm²

   S = ab · sin α = 4 · 6 · √3/2 = 12√3 cm².

8. В успоредника ABCD ъглополовящата на ∠A пресича страната BC в точка M. AB = 5 cm и AD = 8 cm. Колко е MC?

   • 3 cm
   • 5 cm
   • 4 cm
   • 2,5 cm

   Отговор: 3 cm

   ∠BAM = ∠MAD = ∠AMB (кръстни ъгли), затова BM = AB = 5 cm и MC = 8 − 5 = 3 cm.

9. Периметърът на успоредник е 30 cm, а едната му страна е с 3 cm по-дълга от другата. Колко е по-дългата страна?

   • 9 cm
   • 6 cm
   • 12 cm
   • 18 cm

   Отговор: 9 cm

   a + b = 15 и a = b + 3, откъдето b = 6 cm и a = 9 cm.

10. Успоредник има страни 5 cm и 3 cm и остър ъгъл 60°. Колко е по-големият му диагонал?

    • √19 cm
    • 8 cm
    • √34 cm
    • 7 cm

    Отговор: 7 cm

    По-големият диагонал е срещу тъпия ъгъл 120°: d² = 25 + 9 − 2 · 5 · 3 · cos 120° = 49, d = 7 cm.

11. Диагоналите на успоредник са 8 cm и 14 cm, а едната му страна е 7 cm. Колко е другата страна?

    • 8 cm
    • 9 cm
    • 7√2 cm
    • 11 cm

    Отговор: 9 cm

    d₁² + d₂² = 2(a² + b²): 64 + 196 = 2(49 + b²), откъдето b² = 81 и b = 9 cm.

12. Успоредник има страни 6 cm и 8 cm, а височината към по-дългата страна е 3 cm. Колко е височината към по-късата страна?

    • 2,25 cm
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    Лицето е 8 · 3 = 24 cm², затова височината към страна 6 cm е 24 : 6 = 4 cm.

13. Диагоналите на успоредник са 6 cm и 8 cm и сключват ъгъл 30°. Колко е лицето му?

    • 24 cm²
    • 48 cm²
    • 12√3 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 12 cm²

    S = (1/2) d₁d₂ sin φ = (1/2) · 6 · 8 · 1/2 = 12 cm².

14. Успоредник има страни 6 cm и 10 cm и лице 30 cm². Колко е острият му ъгъл?

    • 30°
    • 60°
    • 45°
    • 150°

    Отговор: 30°

    S = ab·sin α: 30 = 60·sin α, sin α = 1/2, а острият ъгъл е 30°.

15. Точка M е средата на страната BC на успоредника ABCD. Каква част от лицето на успоредника е лицето на ΔABM?

    • 1/2
    • 1/3
    • 1/4
    • 1/8

    Отговор: 1/4

    ΔABM има основа BM = BC/2 и височина, равна на височината на успоредника към BC, затова S = (1/2)(BC/2)h = S_ABCD/4.

Трапец

1. Трапец има основи 7 cm и 13 cm и височина 4 cm. Колко е лицето му?

   • 80 cm²
   • 20 cm²
   • 40 cm²
   • 52 cm²

   Отговор: 40 cm²

   S = (a + b)/2 · h = 20/2 · 4 = 40 cm².

2. Колко е сборът на двата ъгъла, прилежащи на едно бедро на трапец?

   • 90°
   • 360°
   • 120°
   • 180°

   Отговор: 180°

   Ъглите са прилежащи при успоредните основи и бедрото като секуща, затова сборът им е 180°.

3. Колко двойки успоредни страни има трапецът?

   • 0
   • 1
   • 2
   • 4

   Отговор: 1

   Трапецът има точно една двойка успоредни страни, това са основите.

4. Средната основа на трапец е 9 cm, а едната основа е 5 cm. Колко е другата основа?

   • 4 cm
   • 14 cm
   • 13 cm
   • 7 cm

   Отговор: 13 cm

   (5 + b)/2 = 9, затова b = 13 cm.

5. Трапец има лице 36 cm² и височина 4 cm. Колко е средната му основа?

   • 9 cm
   • 18 cm
   • 4,5 cm
   • 32 cm

   Отговор: 9 cm

   S = m·h, където m е средната основа: m = 36 : 4 = 9 cm.

6. Трапец има основи 8 cm и 12 cm и лице 50 cm². Колко е височината му?

   • 5 cm
   • 2,5 cm
   • 10 cm
   • 4 cm

   Отговор: 5 cm

   S = (a + b)/2 · h, т.е. 50 = 10 · h, откъдето h = 5 cm.

7. Правоъгълен трапец има основи 12 cm и 7 cm и височина 12 cm. Колко е наклоненото бедро?

   • 13 cm
   • 5 cm
   • 17 cm
   • √119 cm

   Отговор: 13 cm

   Проекцията на бедрото е 12 − 7 = 5 cm, затова бедрото е √(5² + 12²) = 13 cm.

8. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) ∠A = 50° и ∠B = 75°. Колко е ∠C?

   • 130°
   • 75°
   • 125°
   • 105°

   Отговор: 105°

   ∠B и ∠C са прилежащи на бедрото BC, затова ∠C = 180° − 75° = 105°.

9. Правоъгълен трапец има основи 9 cm и 5 cm и остър ъгъл 45°. Колко е височината му?

   • 5 cm
   • 4 cm
   • 4√2 cm
   • 9 cm

   Отговор: 4 cm

   Височината отрязва равнобедрен правоъгълен триъгълник с катет 9 − 5 = 4 cm, затова h = 4 cm.

10. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) AB = 12 cm, CD = 4 cm, а диагоналите се пресичат в точка O. Колко е отношението AO : OC?

    • 1 : 3
    • 2 : 1
    • 4 : 1
    • 3 : 1

    Отговор: 3 : 1

    Триъгълниците ABO и CDO са подобни с коефициент AB : CD = 12 : 4 = 3 : 1.

11. Основите на трапец са 18 cm и 8 cm. Колко е дължината на отсечката, която свързва средите на диагоналите му?

    • 13 cm
    • 5 cm
    • 10 cm
    • 9 cm

    Отговор: 5 cm

    Тази отсечка е равна на полуразликата на основите: (18 − 8)/2 = 5 cm.

12. Средната основа на трапец е 10 cm и един от диагоналите я дели на отсечки в отношение 2 : 3. Колко са основите?

    • 4 cm и 6 cm
    • 6 cm и 14 cm
    • 8 cm и 12 cm
    • 5 cm и 15 cm

    Отговор: 8 cm и 12 cm

    Отсечките са 4 cm и 6 cm. Всяка е средна отсечка в триъгълник и е половината от съответната основа, затова основите са 8 cm и 12 cm.

13. Трапец има основи 16 cm и 6 cm и бедра 6 cm и 8 cm. Колко е лицето му?

    • 88 cm²
    • 105,6 cm²
    • 52,8 cm²
    • 44 cm²

    Отговор: 52,8 cm²

    Отсечката през връх, успоредна на бедро, отделя триъгълник 6, 8, 10, който е правоъгълен. Височината му е 6 · 8/10 = 4,8 cm, S = 11 · 4,8 = 52,8 cm².

14. Диагоналите на трапец го разделят на 4 триъгълника. Лицата на триъгълниците при основите са 4 cm² и 9 cm². Колко е лицето на трапеца?

    • 13 cm²
    • 25 cm²
    • 26 cm²
    • 36 cm²

    Отговор: 25 cm²

    Всеки от триъгълниците при бедрата има лице √(4·9) = 6 cm², затова S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25 cm².

15. Трапец има основи 7 cm и 3 cm и диагонали 6 cm и 8 cm. Колко е лицето му?

    • 48 cm²
    • 30 cm²
    • 20 cm²
    • 24 cm²

    Отговор: 24 cm²

    Пренасяме единия диагонал успоредно: получаваме триъгълник със страни 6, 8 и 7 + 3 = 10, който е правоъгълен и има лице 24 cm², колкото е лицето на трапеца.

Равнобедрен трапец

1. Ъгълът при голямата основа на равнобедрен трапец е 70°. Колко е ъгълът при малката основа?

   • 70°
   • 110°
   • 20°
   • 140°

   Отговор: 110°

   Ъглите при едно бедро имат сбор 180°: 180° − 70° = 110°.

2. Равнобедрен трапец има основи 9 cm и 3 cm и бедро 5 cm. Колко е периметърът му?

   • 17 cm
   • 22 cm
   • 27 cm
   • 12 cm

   Отговор: 22 cm

   P = 9 + 3 + 5 + 5 = 22 cm.

3. Какво е вярно за бедрата на равнобедрен трапец?

   • успоредни са
   • равни са
   • перпендикулярни са
   • едното е двойно на другото

   Отговор: равни са

   По определение равнобедреният трапец има равни бедра.

4. Равнобедрен трапец има основи 14 cm и 6 cm и бедро 5 cm. Колко е лицето му?

   • 60 cm²
   • 50 cm²
   • 35 cm²
   • 30 cm²

   Отговор: 30 cm²

   Проекцията на бедрото е (14 − 6)/2 = 4 cm, височината е √(25 − 16) = 3 cm, S = 10 · 3 = 30 cm².

5. Равнобедрен трапец има основи 12 cm и 4 cm и височина 3 cm. Колко е бедрото му?

   • 5 cm
   • 4 cm
   • √10 cm
   • 7 cm

   Отговор: 5 cm

   Проекцията на бедрото върху голямата основа е (12 − 4)/2 = 4 cm, а бедрото е √(4² + 3²) = 5 cm.

6. Равнобедрен трапец има бедро 6 cm и ъгъл 30° при голямата основа. Колко е височината му?

   • 6 cm
   • 3√3 cm
   • 3 cm
   • 2 cm

   Отговор: 3 cm

   Височината е катет срещу ъгъл 30° в правоъгълен триъгълник с хипотенуза 6 cm: h = 3 cm.

7. Равнобедрен трапец има основи 10 cm и 4 cm и ъгъл 45° при голямата основа. Колко е лицето му?

   • 42 cm²
   • 14 cm²
   • 21√2 cm²
   • 21 cm²

   Отговор: 21 cm²

   Проекцията на бедрото е 3 cm, а при ъгъл 45° височината също е 3 cm: S = 7 · 3 = 21 cm².

8. Височината през връх на малката основа на равнобедрен трапец разделя голямата основа на отсечки 2 cm и 9 cm. Колко е средната основа?

   • 11 cm
   • 5,5 cm
   • 9 cm
   • 7 cm

   Отговор: 9 cm

   По-малката отсечка е полуразликата на основите, а по-голямата е полусборът им, т.е. средната основа: 9 cm.

9. Равнобедрен трапец има основи 13 cm и 3 cm и бедро 13 cm. Колко е височината му?

   • 12 cm
   • 10 cm
   • 13 cm
   • 8 cm

   Отговор: 12 cm

   Проекцията на бедрото е (13 − 3)/2 = 5 cm, h = √(169 − 25) = 12 cm.

10. Равнобедрен трапец има основи 11 cm и 5 cm и бедро 5 cm. Колко е диагоналът му?

    • 8 cm
    • 4√5 cm
    • √41 cm
    • 4√3 cm

    Отговор: 4√5 cm

    Проекцията на бедрото е 3 cm, височината е 4 cm. Проекцията на диагонала е 11 − 3 = 8 cm, d = √(64 + 16) = 4√5 cm.

11. Равнобедрен трапец има основи 10 cm и 6 cm и ъгъл 60° при голямата основа. Колко е бедрото му?

    • 2 cm
    • 2√3 cm
    • 8 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4 cm

    Проекцията на бедрото е (10 − 6)/2 = 2 cm, а cos 60° = 2/b, затова b = 4 cm.

12. Диагоналът на равнобедрен трапец е ъглополовяща на ъгъла при голямата основа. Основите са 11 cm и 5 cm. Колко е периметърът?

    • 21 cm
    • 31 cm
    • 26 cm
    • 27 cm

    Отговор: 26 cm

    Ъглополовящата образува равнобедрен триъгълник, затова бедрото е равно на малката основа, 5 cm. P = 11 + 5 + 5 + 5 = 26 cm.

13. Диагоналите на равнобедрен трапец са перпендикулярни, а височината му е 6 cm. Колко е лицето му?

    • 18 cm²
    • 36 cm²
    • 72 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 36 cm²

    При перпендикулярни диагонали височината е равна на средната основа, затова S = m · h = 6 · 6 = 36 cm².

14. Равнобедрен трапец с основи 8 cm и 2 cm е описан около окръжност. Колко е радиусът на окръжността?

    • 2 cm
    • 4 cm
    • 2,5 cm
    • 3 cm

    Отговор: 2 cm

    В описан четириъгълник 8 + 2 = 2b, затова бедрото е 5 cm. Проекцията му е 3 cm, височината е 4 cm, а r = h/2 = 2 cm.

15. Равнобедрен трапец има основи 8 cm и 6 cm и височина 7 cm. Колко е радиусът на описаната около него окръжност?

    • 4 cm
    • 7 cm
    • 5√2 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Центърът е на оста на симетрия на разстояние d от голямата основа: 16 + d² = 9 + (7 − d)², откъдето d = 3 и R = √(16 + 9) = 5 cm.

Четириъгълник

1. Колко е сборът на вътрешните ъгли на изпъкнал четириъгълник?

   • 360°
   • 180°
   • 540°
   • 720°

   Отговор: 360°

   Диагоналът го разделя на два триъгълника: 2 · 180° = 360°.

2. Кой четириъгълник има равни и перпендикулярни диагонали, които се разполовяват?

   • ромб
   • правоъгълник
   • делтоид
   • квадрат

   Отговор: квадрат

   Разполовяващи се диагонали дават успоредник, равните диагонали дават правоъгълник, а перпендикулярните дават ромб, т.е. квадрат.

3. Колко диагонала има четириъгълникът?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 3

   Отговор: 2

   Всеки връх се свързва с един несъседен връх: 4 · 1/2 = 2 диагонала.

4. Три от ъглите на четириъгълник са 80°, 95° и 110°. Колко е четвъртият?

   • 75°
   • 85°
   • 65°
   • 105°

   Отговор: 75°

   360° − (80° + 95° + 110°) = 75°.

5. Колко е лицето на ромб с диагонали 6 cm и 10 cm?

   • 60 cm²
   • 15 cm²
   • 30 cm²
   • 16 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = d₁d₂/2 = 6·10/2 = 30 cm².

6. Кой четириъгълник има перпендикулярни диагонали, които се разполовяват, но не са непременно равни?

   • правоъгълник
   • трапец
   • ромб
   • делтоид

   Отговор: ромб

   Диагоналите на ромба се разполовяват и са перпендикулярни, а равни са само при квадрата.

7. Диагоналите на изпъкнал четириъгълник са 10 cm и 12 cm и сключват ъгъл 30°. Колко е лицето му?

   • 60 cm²
   • 120 cm²
   • 30 cm²
   • 30√3 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = (1/2) d₁d₂ sin φ = (1/2) · 10 · 12 · 1/2 = 30 cm².

8. Ъглите на четириъгълник се отнасят както 1 : 2 : 3 : 4. Колко е най-големият ъгъл?

   • 120°
   • 160°
   • 108°
   • 144°

   Отговор: 144°

   360° : 10 = 36°, а най-големият ъгъл е 4·36° = 144°.

9. Правоъгълник има диагонал 10 cm и страна 6 cm. Колко е лицето му?

   • 60 cm²
   • 30 cm²
   • 24 cm²
   • 48 cm²

   Отговор: 48 cm²

   Другата страна е √(100 − 36) = 8 cm, лицето е 6 · 8 = 48 cm².

10. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и ∠A = 65°. Колко е ∠C?

    • 65°
    • 25°
    • 125°
    • 115°

    Отговор: 115°

    Във вписан четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е 180°: 180° − 65° = 115°.

11. Диагоналите на четириъгълник са 8 cm и 12 cm. Колко е периметърът на четириъгълника, чиито върхове са средите на страните му?

    • 20 cm
    • 40 cm
    • 10 cm
    • 24 cm

    Отговор: 20 cm

    Страните на получения успоредник са средни отсечки, т.е. 4 cm и 6 cm, затова периметърът е 2(4 + 6) = 20 cm.

12. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност и ∠ABD = 40°. Колко е ∠ACD?

    • 80°
    • 50°
    • 40°
    • 140°

    Отговор: 40°

    ∠ABD и ∠ACD са вписани ъгли, които се опират на една и съща дъга AD, затова са равни.

13. Четириъгълникът ABCD е описан около окръжност, AB = 7 cm, BC = 6 cm и CD = 9 cm. Колко е AD?

    • 10 cm
    • 8 cm
    • 12 cm
    • 22 cm

    Отговор: 10 cm

    В описан четириъгълник AB + CD = BC + AD: 7 + 9 = 6 + AD, AD = 10 cm.

14. Четириъгълник е описан около окръжност с радиус 3 cm и има периметър 40 cm. Колко е лицето му?

    • 120 cm²
    • 30 cm²
    • 60 cm²
    • 40 cm²

    Отговор: 60 cm²

    S = p·r, където p е полупериметърът: S = 20·3 = 60 cm².

15. Изпъкнал четириъгълник има перпендикулярни диагонали 10 cm и 8 cm. Колко е лицето на четириъгълника с върхове средите на страните му?

    • 40 cm²
    • 20 cm²
    • 80 cm²
    • 10 cm²

    Отговор: 20 cm²

    Средите на страните образуват правоъгълник със страни 5 cm и 4 cm (половините на диагоналите), лицето е 20 cm².

Правилен многоъгълник

1. Колко е вътрешният ъгъл на правилен шестоъгълник?

   • 60°
   • 120°
   • 135°
   • 108°

   Отговор: 120°

   (6 − 2) · 180°/6 = 120°.

2. Колко е външният ъгъл на правилен петоъгълник?

   • 108°
   • 60°
   • 72°
   • 36°

   Отговор: 72°

   Сборът на външните ъгли е 360°, затова външният ъгъл е 360° : 5 = 72°.

3. Колко е вътрешният ъгъл на правилен осмоъгълник?

   • 120°
   • 135°
   • 140°
   • 144°

   Отговор: 135°

   Сборът на ъглите е 6 · 180° = 1080°, а 1080° : 8 = 135°.

4. Вътрешният ъгъл на правилен многоъгълник е 140°. Колко страни има той?

   • 7
   • 8
   • 9
   • 10

   Отговор: 9

   Външният ъгъл е 40°, а сборът на външните ъгли е 360°: 360 : 40 = 9.

5. Правилен шестоъгълник е вписан в окръжност с радиус 5 cm. Колко е страната му?

   • 5√3 cm
   • 10 cm
   • 5 cm
   • 2,5 cm

   Отговор: 5 cm

   Страната на правилния шестоъгълник е равна на радиуса на описаната окръжност.

6. Колко оси на симетрия има правилният петоъгълник?

   • 1
   • 2
   • 5
   • 10

   Отговор: 5

   Правилен n-ъгълник има n оси на симетрия.

7. Правилен триъгълник е вписан в окръжност с радиус 6 cm. Колко е страната му?

   • 6√3 cm
   • 12 cm
   • 3√3 cm
   • 9 cm

   Отговор: 6√3 cm

   a = R√3 = 6√3 cm.

8. Колко е лицето на правилен шестоъгълник със страна 2 cm?

   • 6√3 cm²
   • 12√3 cm²
   • 3√3 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 6√3 cm²

   Шестоъгълникът се състои от 6 равностранни триъгълника с лице 2²√3/4 = √3, затова S = 6√3 cm².

9. Квадрат има страна 6 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?

   • 3 cm
   • 6 cm
   • 3√2 cm
   • 2√3 cm

   Отговор: 3 cm

   Диаметърът на вписаната окръжност е равен на страната, затова r = 3 cm.

10. Колко диагонала има изпъкнал осмоъгълник?

    • 16
    • 40
    • 20
    • 28

    Отговор: 20

    n(n − 3)/2 = 8 · 5/2 = 20.

11. Сборът на вътрешните ъгли на правилен многоъгълник е 1440°. Колко страни има той?

    • 8
    • 12
    • 10
    • 9

    Отговор: 10

    (n − 2)·180° = 1440°, откъдето n − 2 = 8 и n = 10.

12. Правилен триъгълник има страна 6 cm. Колко е радиусът на вписаната в него окръжност?

    • 2√3 cm
    • 3 cm
    • 3√3 cm
    • √3 cm

    Отговор: √3 cm

    r = a√3/6 = 6√3/6 = √3 cm.

13. Квадрат е вписан в окръжност с радиус 4 cm. Колко е лицето му?

    • 16 cm²
    • 64 cm²
    • 16√2 cm²
    • 32 cm²

    Отговор: 32 cm²

    Диагоналът на квадрата е 8 cm, затова S = d²/2 = 32 cm².

14. Колко е радиусът на вписаната окръжност в правилен шестоъгълник със страна 6 cm?

    • 6 cm
    • 3 cm
    • 6√3 cm
    • 3√3 cm

    Отговор: 3√3 cm

    Радиусът на вписаната окръжност е височината на равностранен триъгълник със страна 6: 6√3/2 = 3√3 cm.

15. Правилен дванадесетоъгълник е вписан в окръжност с радиус 4 cm. Колко е лицето му?

    • 48 cm²
    • 24√3 cm²
    • 96 cm²
    • 16π cm²

    Отговор: 48 cm²

    Състои се от 12 триъгълника с лице (1/2) · 4 · 4 · sin 30° = 4 cm², общо 48 cm².

Финален въпрос