Математика 11 клас: преговор първи срок

Корени и степени

1. Пресметнете ∛(−27).

   • 3
   • −3
   • −9
   • няма смисъл

   Отговор: −3

   (−3)³ = −27. Корен трети от отрицателно число съществува.

2. Пресметнете ∜16.

   • 2
   • 4
   • 8
   • ±2

   Отговор: 2

   2⁴ = 16, а коренът с четен показател е неотрицателен.

3. Пресметнете √0,09.

   • 0,03
   • 0,3
   • 0,9
   • 3

   Отговор: 0,3

   0,3 · 0,3 = 0,09, затова √0,09 = 0,3.

4. Пресметнете 8^2/3.

   • 16
   • 2
   • 16/3
   • 4

   Отговор: 4

   8^2/3 = (∛8)² = 2² = 4.

5. Запишете √(x³) (x > 0) като степен с рационален показател.

   • x^2/3
   • x⁶
   • x^3/2
   • x^1/6

   Отговор: x^3/2

   ⁿ√(x^m) = x^m/n, тук m = 3, n = 2.

6. Пресметнете 2⁻³.

   • −8
   • −6
   • 1/8
   • 1/6

   Отговор: 1/8

   2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

7. Пресметнете 27^−1/3.

   • −3
   • 1/3
   • −1/3
   • 3

   Отговор: 1/3

   27^−1/3 = 1/∛27 = 1/3.

8. Пресметнете ∛2·∛4 + ∛(−8).

   • 4
   • 0
   • 2
   • −4

   Отговор: 0

   ∛2·∛4 = ∛8 = 2, а ∛(−8) = −2.

9. Пресметнете (√2)⁶.

   • 8
   • 6
   • 12
   • 4

   Отговор: 8

   (√2)⁶ = ((√2)²)³ = 2³ = 8.

10. Опростете a^1/2 · a^1/3 : a^1/6 (a > 0).

    • a^5/6
    • a
    • a^1/36
    • a^2/3

    Отговор: a^2/3

    Показателите: 1/2 + 1/3 − 1/6 = 2/3.

11. Пресметнете (1/16)^−3/4.

    • 1/8
    • 8
    • 12
    • −8

    Отговор: 8

    (1/16)^−3/4 = 16^3/4 = (∜16)³ = 8.

12. Изнесете множител пред корена: ∛54.

    • 2∛3
    • 3∛6
    • 9∛2
    • 3∛2

    Отговор: 3∛2

    54 = 27 · 2, затова ∛54 = ∛27 · ∛2 = 3∛2.

13. Сравнете числата ∛3 и √2.

    • ∛3 < √2
    • ∛3 = √2
    • не могат да се сравнят
    • ∛3 > √2

    Отговор: ∛3 > √2

    Повдигаме на шеста степен: (∛3)⁶ = 9, (√2)⁶ = 8, а 9 > 8.

14. Опростете ∛(a²·√a) при a > 0.

    • a^5/3
    • a^7/6
    • a^5/6
    • a^1/2

    Отговор: a^5/6

    a²·a^1/2 = a^5/2, ∛(a^5/2) = a^5/6.

15. Опростете (√a − √b)/(⁴√a − ⁴√b) при a, b > 0 и a ≠ b.

    • ⁴√a − ⁴√b
    • ⁴√a + ⁴√b
    • √a + √b
    • 1

    Отговор: ⁴√a + ⁴√b

    √a − √b = (⁴√a − ⁴√b)(⁴√a + ⁴√b), съкращаваме.

Логаритми

1. Пресметнете log₂8.

   • 3
   • 4
   • 1/3
   • 6

   Отговор: 3

   2³ = 8.

2. Пресметнете lg 1000.

   • 100
   • 30
   • 3
   • 4

   Отговор: 3

   lg е логаритъм при основа 10, а 10³ = 1000.

3. Пресметнете log₇1.

   • 1
   • 7
   • 0
   • −1

   Отговор: 0

   7⁰ = 1, затова log₇1 = 0.

4. Пресметнете log₃(1/9).

   • −2
   • 2
   • −3
   • 1/2

   Отговор: −2

   3⁻² = 1/9.

5. Пресметнете 5^log₅7.

   • 5
   • 35
   • log₅7
   • 7

   Отговор: 7

   По основното логаритмично тъждество a^log_ab = b.

6. Пресметнете log₄2.

   • 2
   • 1/2
   • −2
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   4^1/2 = √4 = 2, затова log₄2 = 1/2.

7. Пресметнете log₆4 + log₆9.

   • log₆13
   • 6
   • 36
   • 2

   Отговор: 2

   log₆4 + log₆9 = log₆36 = 2.

8. Пресметнете log₃54 − log₃2.

   • 27
   • 52
   • log₃52
   • 3

   Отговор: 3

   log₃(54/2) = log₃27 = 3.

9. Пресметнете 2log₃6 − log₃4.

   • 2
   • 3
   • 1
   • log₃8

   Отговор: 2

   2log₃6 = log₃36, а log₃36 − log₃4 = log₃9 = 2.

10. Кое е дефиниционното множество на функцията y = log₂(x − 3)?

    • x > 3
    • x ≥ 3
    • x > 0
    • x ≠ 3

    Отговор: x ∈ (3; +∞)

    Логаритмуваното число трябва да е положително: x − 3 > 0.

11. Решете уравнението log₂x = −3.

    • x = 1/8
    • x = −8
    • x = −6
    • x = 8

    Отговор: x = 1/8

    x = 2⁻³ = 1/8.

12. Пресметнете log₈32.

    • 4
    • 3/5
    • 5/2
    • 5/3

    Отговор: 5/3

    8 = 2³ и 32 = 2⁵, затова log₈32 = 5/3.

13. Ако log₂5 = a, изразете log₂40 чрез a.

    • 8a
    • 3a
    • 5 + a
    • 3 + a

    Отговор: 3 + a

    log₂40 = log₂(8·5) = log₂8 + log₂5 = 3 + a.

14. Сравнете log_0,53 и log_0,55.

    • log_0,53 0,55
    • равни са
    • не могат да се сравнят
    • log_0,53 > log_0,55

    Отговор: log_0,53 > log_0,55

    При основа между 0 и 1 логаритмичната функция е намаляваща, а 3 < 5.

15. Пресметнете 9^log₃5.

    • 10
    • 25
    • 15
    • 5

    Отговор: 25

    9^log₃5 = (3^log₃5)² = 5² = 25.

Равнинни фигури

1. Успоредник има страни 6 cm и 8 cm и ъгъл 30°. Колко е лицето му?

   • 48 cm²
   • 24 cm²
   • 24√3 cm²
   • 14 cm²

   Отговор: 24 cm²

   S = ab·sin α = 6·8·1/2 = 24.

2. Колко е сборът на вътрешните ъгли на четириъгълник?

   • 180°
   • 540°
   • 720°
   • 360°

   Отговор: 360°

   Диагонал го дели на два триъгълника: 2·180° = 360°.

3. Колко е лицето на ромб с диагонали 8 cm и 6 cm?

   • 48 cm²
   • 24 cm²
   • 14 cm²
   • 12 cm²

   Отговор: 24 cm²

   S = d₁·d₂/2 = 8 · 6/2 = 24 cm².

4. Ромб има диагонали 10 cm и 24 cm. Колко е страната му?

   • 17 cm
   • 26 cm
   • 13 cm
   • 12 cm

   Отговор: 13 cm

   Диагоналите се разполовяват под прав ъгъл: a² = 5² + 12² = 169.

5. Колко градуса е вътрешният ъгъл на правилен шестоъгълник?

   • 120°
   • 135°
   • 108°
   • 60°

   Отговор: 120°

   Сборът на ъглите е 4·180° = 720°, 720°/6 = 120°.

6. Трапец има основи 6 cm и 10 cm. Колко е средната му основа?

   • 16 cm
   • 4 cm
   • 8 cm
   • 6 cm

   Отговор: 8 cm

   Средната основа е полусборът на основите: (6 + 10)/2 = 8 cm.

7. Колко е лицето на правилен шестоъгълник със страна 4 cm?

   • 24√3 cm²
   • 16√3 cm²
   • 96 cm²
   • 4√3 cm²

   Отговор: 24√3 cm²

   Шестоъгълникът се състои от 6 равностранни триъгълника с лице 16√3/4 = 4√3 всеки.

8. Ромб има страна 6 cm и ъгъл 60°. Колко е по-малкият му диагонал?

   • 6√3 cm
   • 6 cm
   • 3 cm
   • 12 cm

   Отговор: 6 cm

   Късият диагонал дели ромба на два равностранни триъгълника със страна 6 cm.

9. Правоъгълник има страни 5 cm и 12 cm. Колко е радиусът на описаната около него окръжност?

   • 6,5 cm
   • 13 cm
   • 6 cm
   • 8,5 cm

   Отговор: 6,5 cm

   Диагоналът е √(25 + 144) = 13 cm и е диаметър на описаната окръжност, затова R = 6,5 cm.

10. Успоредник има страни 5 cm и 8 cm и ъгъл 60°. Колко е по-малкият му диагонал?

    • √129 cm
    • 7 cm
    • 13 cm
    • √89 cm

    Отговор: 7 cm

    По косинусовата теорема: d² = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60° = 49.

11. Колко е радиусът на описаната окръжност около квадрат със страна 4 cm?

    • 4 cm
    • 2√2 cm
    • 2 cm
    • 4√2 cm

    Отговор: 2√2 cm

    Радиусът е половината от диагонала 4√2 cm.

12. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, ∠A = 70° и ∠B = 95°. Колко е ∠D?

    • 110°
    • 95°
    • 70°
    • 85°

    Отговор: 85°

    Във вписан четириъгълник срещуположните ъгли имат сбор 180°: ∠D = 180° − 95° = 85°.

13. Равнобедрен трапец има основи 10 cm и 4 cm и бедро 5 cm. Колко е лицето му?

    • 35 cm²
    • 56 cm²
    • 28 cm²
    • 14 cm²

    Отговор: 28 cm²

    Проекцията на бедрото е 3, височината е √(25 − 9) = 4, S = (10 + 4)/2·4 = 28.

14. Равнобедрен трапец има основи 16 cm и 4 cm и перпендикулярни диагонали. Колко е лицето му?

    • 80 cm²
    • 100 cm²
    • 200 cm²
    • 64 cm²

    Отговор: 100 cm²

    При перпендикулярни диагонали височината е равна на средната основа: h = (16 + 4)/2 = 10 cm, S = 10·10 = 100 cm².

15. Колко е лицето на триъгълник със страни 13 cm, 14 cm и 15 cm?

    • 96 cm²
    • 84 cm²
    • 72 cm²
    • 105 cm²

    Отговор: 84 cm²

    По Херон: p = 21, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 cm².

Обобщен ъгъл. Радиан

1. Колко радиана е ъгъл 180°?

   • 2π
   • π/2
   • 180π
   • π

   Отговор: π rad

   Пълният ъгъл 360° е 2π, значи 180° = π.

2. На колко е равно sin(3π/2)?

   • 1
   • 0
   • −1
   • 1/2

   Отговор: −1

   3π/2 = 270°, крайната точка е (0; −1).

3. Колко градуса е ъгъл π/6 радиана?

   • 60°
   • 45°
   • 30°
   • 15°

   Отговор: 30°

   π rad = 180°, затова π/6 = 180°/6 = 30°.

4. Колко градуса е ъгъл 3π/4 радиана?

   • 135°
   • 270°
   • 45°
   • 120°

   Отговор: 135°

   3π/4 = 3·180°/4 = 135°.

5. Кой ъгъл има същата крайна страна като 30°?

   • 210°
   • 150°
   • 390°
   • −30°

   Отговор: 390°

   Ъглите с еднаква крайна страна се различават с k·360°: 30° + 360° = 390°.

6. Пресметнете cos 180°.

   • −1
   • 0
   • 1
   • 1/2

   Отговор: −1

   Краят на ъгъл 180° е точката (−1; 0) от единичната окръжност, затова cos 180° = −1.

7. В кой квадрант е краят на ъгъл 250°?

   • II
   • III
   • IV
   • I

   Отговор: III квадрант

   180° < 250° < 270°.

8. Какъв е знакът на cos 200°?

   • отрицателен
   • положителен
   • нула
   • не може да се определи

   Отговор: отрицателен

   200° е в III квадрант, където косинусът е отрицателен.

9. Какъв е знакът на tg 300°?

   • положителен
   • отрицателен
   • нула
   • не е дефиниран

   Отговор: отрицателен

   300° е в IV квадрант, където синусът е отрицателен, а косинусът положителен, затова tg 300° < 0.

10. Пресметнете sin 150°.

    • −1/2
    • √3/2
    • 1/2
    • −√3/2

    Отговор: 1/2

    sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

11. Окръжност има радиус 6 cm. Колко е дължината на дъгата при централен ъгъл 2 радиана?

    • 3 cm
    • 6π cm
    • 12 cm
    • 12π cm

    Отговор: 12 cm

    l = r·α = 6·2 = 12 cm.

12. Пресметнете sin(−120°).

    • √3/2
    • −1/2
    • 1/2
    • −√3/2

    Отговор: −√3/2

    sin(−120°) = −sin 120° = −√3/2.

13. Пресметнете cos(−480°).

    • 1/2
    • −√3/2
    • −1/2
    • √3/2

    Отговор: −1/2

    cos е четна и с период 360°: cos(−480°) = cos 480° = cos 120° = −1/2.

14. Пресметнете tg(7π/4) + cos(5π/3).

    • 3/2
    • −1/2
    • −3/2
    • 1/2

    Отговор: −1/2

    tg 315° = −1, cos 300° = 1/2, сборът е −1/2.

15. Пресметнете sin(11π/6) + cos(2π/3).

    • 0
    • −1
    • 1
    • −1/2

    Отговор: −1

    sin(11π/6) = sin 330° = −1/2 и cos(2π/3) = cos 120° = −1/2, сборът е −1.

Тригонометрия

1. На какво е равно sin²α + cos²α?

   • 1
   • 0
   • 2
   • sin 2α

   Отговор: 1

   Основно тригонометрично тъждество.

2. Коя е формулата за sin 2α?

   • sin² α − cos² α
   • 2sin α
   • sin α·cos α
   • 2sin α·cos α

   Отговор: 2sin α·cos α

   Това е формулата за синус от удвоен ъгъл.

3. На какво е равно tg α · cotg α (при допустими стойности на α)?

   • 0
   • 1
   • tg²α
   • −1

   Отговор: 1

   cotg α = 1/tg α, затова произведението е 1.

4. Колко е основният период на функцията y = sin x?

   • π
   • π/2
   • 2π
   • 4π

   Отговор: 2π

   sin(x + 2π) = sin x и няма по-малко положително число с това свойство.

5. Пресметнете cos² 15° − sin² 15°.

   • √3/2
   • 1/2
   • 1
   • √2/2

   Отговор: √3/2

   cos² α − sin² α = cos 2α = cos 30° = √3/2.

6. Кое е множеството от стойности на функцията y = cos x?

   • [0; 1]
   • (−∞; +∞)
   • [−1; 1]
   • [−π; π]

   Отговор: [−1; 1]

   Косинусът е абсцисата на точка от единичната окръжност, затова приема стойности от −1 до 1.

7. sin α = 3/5 и 90° < α < 180°. Намерете cos α.

   • 4/5
   • −3/5
   • 5/4
   • −4/5

   Отговор: −4/5

   cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, а във II квадрант cos α < 0.

8. Пресметнете sin 75°.

   • (√6 + √2)/4
   • (√6 − √2)/4
   • √3/2
   • (√3 + 1)/2

   Отговор: (√6 + √2)/4

   sin(45° + 30°) = sin 45°cos 30° + cos 45°sin 30° = (√6 + √2)/4.

9. α е остър ъгъл и sin α = 5/13. Намерете tg α.

   • 5/12
   • 12/5
   • 12/13
   • 13/12

   Отговор: 5/12

   cos α = √(1 − 25/169) = 12/13, tg α = (5/13) : (12/13) = 5/12.

10. Коя от функциите е нечетна?

    • y = cos x
    • y = sin x
    • y = x²
    • y = |x|

    Отговор: y = sin x

    sin(−x) = −sin x. Останалите са четни.

11. Колко е най-голямата стойност на функцията y = 3sin x − 1?

    • 3
    • 4
    • 2
    • −4

    Отговор: 2

    Най-голямата стойност на sin x е 1, затова 3·1 − 1 = 2.

12. Колко е основният период на функцията y = cos 2x?

    • 2π
    • π/2
    • 4π
    • π

    Отговор: π

    Периодът на cos kx е 2π/k = 2π/2 = π.

13. Ако tg α = 2, пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).

    • −3
    • 1/3
    • 3
    • 2

    Отговор: 3

    Делим числител и знаменател на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.

14. cos α = 1/3. Пресметнете cos 2α.

    • 7/9
    • 2/3
    • −1/9
    • −7/9

    Отговор: −7/9

    cos 2α = 2cos² α − 1 = 2/9 − 1 = −7/9.

15. Пресметнете sin 15° · cos 15°.

    • 1/2
    • 1/4
    • √3/4
    • √2/4

    Отговор: 1/4

    sin 15° · cos 15° = (1/2)sin 30° = 1/4.

Финален въпрос