Математика 11 клас: преговор втори срок

Сбор и разлика на ъгли

1. На какво е равно sin(α + β)?

   • sin α cos β − cos α sin β
   • cos α cos β − sin α sin β
   • sin α + sin β
   • sin α cos β + cos α sin β

   Отговор: sin α cos β + cos α sin β

   Това е формулата за синус от сбор на два ъгъла.

2. На какво е равно cos(α + β)?

   • cos α cos β + sin α sin β
   • sin α cos β + cos α sin β
   • cos α + cos β
   • cos α cos β − sin α sin β

   Отговор: cos α cos β − sin α sin β

   Това е формулата за косинус от сбор на два ъгъла.

3. На какво е равно cos(α − β)?

   • cos α cos β − sin α sin β
   • sin α cos β − cos α sin β
   • cos α cos β + sin α sin β
   • cos α sin β + sin α cos β

   Отговор: cos α cos β + sin α sin β

   Формулата за косинус от разлика е cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.

4. Пресметнете sin 75°.

   • (√6 − √2)/4
   • (√3 + 1)/2
   • (√6 + √2)/4
   • √3/4

   Отговор: (√6 + √2)/4

   sin(45° + 30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

5. Пресметнете cos 105°.

   • (√2 − √6)/4
   • (√6 − √2)/4
   • (√6 + √2)/4
   • −1/2

   Отговор: (√2 − √6)/4

   cos 105° = cos(60° + 45°) = (1/2)(√2/2) − (√3/2)(√2/2) = (√2 − √6)/4.

6. Пресметнете sin 15°.

   • (√6 − √2)/4
   • (√6 + √2)/4
   • (√3 − 1)/2
   • √2/4

   Отговор: (√6 − √2)/4

   sin 15° = sin(45° − 30°) = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2) = (√6 − √2)/4.

7. Пресметнете cos 70°·cos 10° + sin 70°·sin 10°.

   • √3/2
   • 1/2
   • cos 80°
   • 0

   Отговор: 1/2

   Това е cos(70° − 10°) = cos 60° = 1/2.

8. Пресметнете sin 50°·cos 20° − cos 50°·sin 20°.

   • √3/2
   • √2/2
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   Изразът е sin(50° − 20°) = sin 30° = 1/2.

9. Пресметнете tg 75°.

   • √3
   • 2 − √3
   • 2 + √3
   • 1 + √3

   Отговор: 2 + √3

   tg(45° + 30°) = (1 + √3/3)/(1 − √3/3) = (3 + √3)/(3 − √3) = 2 + √3.

10. tg α = 2 и tg β = 3. Намерете tg(α + β).

    • 1
    • 5
    • −1
    • −5

    Отговор: −1

    tg(α + β) = (2 + 3)/(1 − 2·3) = 5/(−5) = −1.

11. Опростете cos(60° + α) + cos(60° − α).

    • 2cos α
    • √3 cos α
    • cos α
    • 0

    Отговор: cos α

    Сборът е 2cos 60°·cos α = 2·(1/2)·cos α = cos α.

12. Пресметнете (tg 25° + tg 20°)/(1 − tg 25° · tg 20°).

    • √3
    • 0
    • 1/2
    • 1

    Отговор: 1

    Това е формулата за tg(25° + 20°) = tg 45° = 1.

13. sin α = 3/5 и cos β = 5/13, като α и β са остри ъгли. Намерете sin(α + β).

    • 63/65
    • 33/65
    • 56/65
    • 16/65

    Отговор: 63/65

    cos α = 4/5, sin β = 12/13: sin(α + β) = (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13) = 15/65 + 48/65 = 63/65.

14. α и β са остри ъгли, tg α = 1/7 и tg β = 3/4. Намерете α + β.

    • 60°
    • 45°
    • 30°
    • 90°

    Отговор: 45°

    tg(α + β) = (1/7 + 3/4)/(1 − 3/28) = (25/28)/(25/28) = 1, а 0° < α + β < 180°, затова α + β = 45°.

15. sin α = 4/5 и cos β = −12/13, като α и β са от II квадрант. Намерете cos(α − β).

    • 16/65
    • 56/65
    • −56/65
    • 33/65

    Отговор: 56/65

    cos α = −3/5, sin β = 5/13. cos(α − β) = (−3/5)(−12/13) + (4/5)(5/13) = 36/65 + 20/65 = 56/65.

Удвоен и половин ъгъл

1. На какво е равно sin 2α?

   • 2sin α
   • sin²α − cos²α
   • cos²α − sin²α
   • 2sin α cos α

   Отговор: 2sin α cos α

   Формулата за синус от удвоен ъгъл: sin 2α = 2sin α cos α.

2. На какво е равно tg 2α?

   • 2tg α/(1 − tg²α)
   • 2tg α/(1 + tg²α)
   • tg²α − 1
   • 2tg α

   Отговор: 2tg α/(1 − tg²α)

   От формулата за тангенс от сбор при β = α: tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α).

3. На какво е равно cos 2α, изразено само чрез cos α?

   • 2cos²α − 1
   • 1 − 2cos²α
   • 2cos α
   • cos²α − 1

   Отговор: 2cos²α − 1

   cos 2α = cos²α − sin²α = cos²α − (1 − cos²α) = 2cos²α − 1.

4. Пресметнете 2sin 15°·cos 15°.

   • √3/2
   • 1
   • 1/2
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   2sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2.

5. Пресметнете 2cos²15° − 1.

   • 1/2
   • √2/2
   • √3
   • √3/2

   Отговор: √3/2

   2cos²α − 1 = cos 2α, затова изразът е cos 30° = √3/2.

6. Пресметнете sin 22,5° · cos 22,5°.

   • √2/2
   • √2/4
   • 1/4
   • 1/2

   Отговор: √2/4

   sin 22,5° · cos 22,5° = (1/2)sin 45° = √2/4.

7. sin α = 3/5 и α е остър ъгъл. Намерете sin 2α.

   • 6/5
   • 7/25
   • 12/25
   • 24/25

   Отговор: 24/25

   cos α = 4/5, sin 2α = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25.

8. tg α = 3. Намерете tg 2α.

   • 3/4
   • −3/4
   • −4/3
   • 6/5

   Отговор: −3/4

   tg 2α = 2·3/(1 − 9) = 6/(−8) = −3/4.

9. cos α = 3/5 и α е остър ъгъл. Намерете cos 2α.

   • 7/25
   • 24/25
   • −7/25
   • −24/25

   Отговор: −7/25

   cos 2α = 2cos²α − 1 = 18/25 − 1 = −7/25.

10. Опростете (1 − cos 2α)/sin 2α.

    • cotg α
    • sin α
    • 2tg α
    • tg α

    Отговор: tg α

    1 − cos 2α = 2sin²α, sin 2α = 2sin α cos α, частното е sin α/cos α = tg α.

11. Пресметнете sin²22,5°.

    • (2 − √2)/4
    • (2 + √2)/4
    • √2/4
    • 1/4

    Отговор: (2 − √2)/4

    sin²(α/2) = (1 − cos α)/2, затова sin²22,5° = (1 − √2/2)/2 = (2 − √2)/4.

12. Пресметнете cos 15° чрез формулата за половин ъгъл.

    • √(2 − √3)/2
    • (√3 + 1)/2
    • √3/4
    • √(2 + √3)/2

    Отговор: √(2 + √3)/2

    cos 15° = √((1 + cos 30°)/2) = √((2 + √3)/4) = √(2 + √3)/2.

13. cos α = 1/8 и 0° < α < 90°. Намерете cos(α/2).

    • 3/4
    • −3/4
    • 9/16
    • √7/4

    Отговор: 3/4

    cos²(α/2) = (1 + cos α)/2 = (9/8)/2 = 9/16. Ъгълът α/2 е остър, затова cos(α/2) = 3/4.

14. sin α + cos α = 1/3. Намерете sin 2α.

    • 8/9
    • 2/3
    • −8/9
    • −2/3

    Отговор: −8/9

    Повдигаме на квадрат: 1 + 2sin α cos α = 1/9, т.е. sin 2α = 1/9 − 1 = −8/9.

15. sin α = 1/3. Пресметнете sin 3α.

    • 1
    • 25/27
    • 23/27
    • −1/27

    Отговор: 23/27

    sin 3α = 3sin α − 4sin³α = 1 − 4/27 = 23/27.

Сбор и произведение

1. Пресметнете sin 75° + sin 15°.

   • √6/2
   • √2/2
   • 1
   • √3/2

   Отговор: √6/2

   2sin 45° cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.

2. На какво е равно cos α + cos β?

   • 2sin((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
   • −2sin((α + β)/2)·sin((α − β)/2)
   • 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)
   • 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2)

   Отговор: 2cos((α + β)/2)·cos((α − β)/2)

   Това е формулата за сбор на косинуси.

3. На какво е равно sin α + sin β?

   • 2sin((α + β)/2) · cos((α − β)/2)
   • 2cos((α + β)/2) · cos((α − β)/2)
   • 2sin((α + β)/2) · sin((α − β)/2)
   • sin(α + β)

   Отговор: 2sin((α + β)/2) · cos((α − β)/2)

   Формулата за сбор на синуси: sin α + sin β = 2sin((α + β)/2) · cos((α − β)/2).

4. Пресметнете cos 75° − cos 15°.

   • √2/2
   • −√2/2
   • 0
   • −√6/2

   Отговор: −√2/2

   cos 75° − cos 15° = −2sin 45° sin 30° = −2·(√2/2)·(1/2) = −√2/2.

5. Пресметнете cos 105° + cos 15°.

   • √6/2
   • 1/2
   • √2/2
   • √3/2

   Отговор: √2/2

   cos 105° + cos 15° = 2cos 60°·cos 45° = 2·(1/2)·(√2/2) = √2/2.

6. Пресметнете 2cos 75° · cos 15°.

   • 1
   • 1/2
   • √3/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   2cos 75° · cos 15° = cos 60° + cos 90° = 1/2 + 0 = 1/2.

7. Пресметнете sin 75°·cos 15°.

   • (2 − √3)/4
   • (2 + √3)/4
   • 1/2
   • (1 + √3)/4

   Отговор: (2 + √3)/4

   sin 75° cos 15° = (sin 90° + sin 60°)/2 = (1 + √3/2)/2 = (2 + √3)/4.

8. Пресметнете 2sin 52,5°·cos 7,5°.

   • (√3 − √2)/2
   • (√6 + √2)/4
   • √3/2
   • (√3 + √2)/2

   Отговор: (√3 + √2)/2

   2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) = sin 60° + sin 45° = (√3 + √2)/2.

9. Опростете sin 80° − sin 20°.

   • sin 60°
   • sin 50°
   • cos 50°
   • 2cos 50°

   Отговор: cos 50°

   sin 80° − sin 20° = 2cos 50° · sin 30° = cos 50°.

10. Опростете (sin 3α + sin α)/(cos 3α + cos α).

    • tg 2α
    • tg α
    • cotg 2α
    • tg 4α

    Отговор: tg 2α

    Числител: 2sin 2α cos α, знаменател: 2cos 2α cos α. Частното е tg 2α.

11. Представете sin 5x − sin x като произведение.

    • 2sin 3x·cos 2x
    • 2cos 3x·sin 2x
    • 2cos 3x·cos 2x
    • sin 4x

    Отговор: 2cos 3x·sin 2x

    sin α − sin β = 2cos((α + β)/2)·sin((α − β)/2) = 2cos 3x·sin 2x.

12. Пресметнете (sin 70° + sin 50°)/cos 10°.

    • 1
    • 2
    • √3/2
    • √3

    Отговор: √3

    sin 70° + sin 50° = 2sin 60° · cos 10° = √3 · cos 10°, затова частното е √3.

13. Пресметнете cos 20°·cos 40°·cos 80°.

    • 1/8
    • 1/4
    • 1/16
    • √3/8

    Отговор: 1/8

    Умножаваме и делим на 8sin 20° и три пъти прилагаме 2sin x cos x = sin 2x: sin 160°/(8sin 20°) = 1/8.

14. Пресметнете sin 20°·sin 40°·sin 80°.

    • √3/8
    • 1/8
    • √3/4
    • 3/8

    Отговор: √3/8

    sin 20°·sin 40° = (cos 20° − cos 60°)/2. Умножаваме по sin 80°: (sin 80°cos 20°)/2 − (sin 80°)/4 = (sin 100° + sin 60°)/4 − (sin 80°)/4 = (sin 60°)/4 = √3/8.

15. Опростете (cos 5α + cos 3α)/(sin 5α − sin 3α).

    • cotg α
    • tg α
    • tg 4α
    • cotg 4α

    Отговор: cotg α

    Числителят е 2cos 4α · cos α, знаменателят е 2cos 4α · sin α, частното е cotg α.

Условна вероятност

1. A и B са независими събития, P(A) = 0,5 и P(B) = 0,4. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,9
   • 0,1
   • 0,45
   • 0,2

   Отговор: 0,2

   За независими събития P(A ∩ B) = P(A)·P(B) = 0,5·0,4 = 0,2.

2. Хвърля се зар и се знае, че се е паднало число, по-голямо от 2. Каква е вероятността то да е 5?

   • 1/6
   • 1/4
   • 1/3
   • 1/2

   Отговор: 1/4

   Възможните изходи са 3, 4, 5 и 6, равновъзможни, а само един от тях е 5.

3. A и B са независими събития и P(B) = 0,3. На какво е равно P(B | A), ако P(A) > 0?

   • 0,7
   • 0,3
   • 0,09
   • 1

   Отговор: 0,3

   При независими събития сбъдването на A не променя вероятността на B: P(B | A) = P(B) = 0,3.

4. P(A) = 0,6 и P(A ∩ B) = 0,3. Намерете условната вероятност P(B | A).

   • 0,18
   • 0,3
   • 0,5
   • 0,9

   Отговор: 0,5

   P(B | A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0,3/0,6 = 0,5.

5. P(A | B) = 0,5 и P(B) = 0,6. Намерете P(A ∩ B).

   • 0,5
   • 0,3
   • 0,6
   • 0,1

   Отговор: 0,3

   P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B) = 0,6·0,5 = 0,3.

6. В група от 20 ученици 8 играят футбол, а 5 от тях играят и баскетбол. Избран е случайно футболист. Каква е вероятността той да играе и баскетбол?

   • 5/8
   • 1/4
   • 8/20
   • 3/8

   Отговор: 5/8

   Условието ограничава избора до 8-те футболисти, от тях 5 играят баскетбол: 5/8.

7. В урна има 5 бели и 3 черни топки. Изтеглят се последователно 2 топки без връщане. Каква е вероятността и двете да са бели?

   • 25/64
   • 5/16
   • 5/7
   • 5/14

   Отговор: 5/14

   P = (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14.

8. В кутия има 3 червени и 7 сини химикалки. Изтеглят се последователно 2 без връщане. Каква е вероятността първата да е червена, а втората синя?

   • 21/100
   • 1/5
   • 7/15
   • 7/30

   Отговор: 7/30

   P = (3/10)·(7/9) = 21/90 = 7/30.

9. Хвърлят се два зара и се знае, че сборът е 6. Каква е вероятността на първия зар да е паднало 2?

   • 1/6
   • 2/5
   • 1/5
   • 1/36

   Отговор: 1/5

   Сбор 6 се получава при (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Само един от 5-те изхода има 2 на първия зар: 1/5.

10. Стрелец уцелва с вероятност 0,8. Стреля 2 пъти независимо. Каква е вероятността да уцели поне веднъж?

    • 0,64
    • 0,96
    • 0,8
    • 0,32

    Отговор: 0,96

    Противоположното събитие е два пропуска: 0,2·0,2 = 0,04. P = 1 − 0,04 = 0,96.

11. Цех I произвежда 60% от изделията с 2% брак, а цех II произвежда 40% с 5% брак. Каква е вероятността случайно изделие да е брак?

    • 0,032
    • 0,035
    • 0,07
    • 0,026

    Отговор: 0,032

    По формулата за пълната вероятност: 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032.

12. Монета се хвърля 3 пъти и се знае, че при първото хвърляне е паднало ези. Каква е вероятността ези да се е паднало общо точно 2 пъти?

    • 3/8
    • 1/4
    • 1/3
    • 1/2

    Отговор: 1/2

    Трябва точно едно ези от останалите две хвърляния: ЕТ или ТЕ, 2 от 4 изхода, т.е. 1/2.

13. Хвърлят се два зара и сборът е 8. Каква е вероятността при това условие и двата зара да показват четни числа?

    • 1/12
    • 2/5
    • 3/5
    • 1/3

    Отговор: 3/5

    Сбор 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). С четни числа са 3 от 5: P = 3/5.

14. При същите цехове (I: 60% от изделията, 2% брак; II: 40%, 5% брак) избраното изделие е брак. Каква е вероятността то да е от цех II?

    • 0,625
    • 0,4
    • 0,05
    • 0,375

    Отговор: 0,625

    По формулата на Бейс: 0,4·0,05/0,032 = 0,02/0,032 = 0,625.

15. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 и P(A | B) = 0,6. Намерете P(A ∪ B).

    • 0,9
    • 0,66
    • 0,6
    • 0,54

    Отговор: 0,66

    P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = 0,24, P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,24 = 0,66.

Бернули и геометрична

1. Точка се избира случайно в отсечката [0; 10]. Каква е вероятността тя да е в [2; 5]?

   • 3/10
   • 1/2
   • 2/5
   • 1/5

   Отговор: 3/10

   Геометрична вероятност: дължина 3 от дължина 10, P = 3/10.

2. Монета се хвърля 2 пъти. Каква е вероятността ези да се падне точно веднъж?

   • 1/4
   • 1/2
   • 3/4
   • 1/3

   Отговор: 1/2

   Благоприятни са изходите ЕТ и ТЕ, т.е. 2 от 4 равновъзможни.

3. Опит има успех с вероятност 0,5 и се повтаря 3 пъти независимо. Каква е вероятността и трите опита да са успешни?

   • 1/2
   • 1/8
   • 3/8
   • 1/6

   Отговор: 1/8

   (1/2)³ = 1/8.

4. Монета се хвърля 3 пъти. Каква е вероятността ези да се падне точно 2 пъти?

   • 1/4
   • 1/2
   • 3/8
   • 1/8

   Отговор: 3/8

   P = C₃²·(1/2)³ = 3/8.

5. Точка се избира случайно в отсечката [−2; 6]. Каква е вероятността тя да е положително число?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/4
   • 3/4

   Отговор: 3/4

   Положителните точки са в (0; 6] с дължина 6, а цялата отсечка е с дължина 8: 6/8 = 3/4.

6. Точка се избира случайно в квадрата ABCD. Каква е вероятността тя да е в триъгълника ABC?

   • 1/4
   • 1/3
   • 1/2
   • 2/3

   Отговор: 1/2

   Диагоналът AC разделя квадрата на два триъгълника с равни лица, затова вероятността е 1/2.

7. Зар се хвърля 4 пъти. Каква е вероятността шестица да се падне точно 2 пъти?

   • 25/216
   • 1/36
   • 25/1296
   • 1/6

   Отговор: 25/216

   По формулата на Бернули: C₄²·(1/6)²·(5/6)² = 6·25/1296 = 25/216.

8. Стрелец уцелва с вероятност 0,7 и стреля 3 пъти независимо. Каква е вероятността да уцели точно 2 пъти?

   • 0,49
   • 0,147
   • 0,343
   • 0,441

   Отговор: 0,441

   P = C₃²·0,7²·0,3 = 3·0,49·0,3 = 0,441.

9. Стрелец уцелва с вероятност 0,6 и стреля 2 пъти независимо. Каква е вероятността да не уцели нито веднъж?

   • 0,16
   • 0,4
   • 0,36
   • 0,24

   Отговор: 0,16

   Вероятността за пропуск е 0,4, за два пропуска 0,4 · 0,4 = 0,16.

10. Точка се избира случайно в квадрат със страна 2. Каква е вероятността тя да е във вписания в квадрата кръг?

    • π/2
    • π/4
    • 1/2
    • π/8

    Отговор: π/4

    Лицето на кръга с радиус 1 е π, на квадрата е 4: P = π/4.

11. Точка се избира случайно в триъгълник. Каква е вероятността тя да е в триъгълника, чиито върхове са средите на страните?

    • 1/2
    • 1/3
    • 1/4
    • 1/9

    Отговор: 1/4

    Средните отсечки разделят триъгълника на 4 еднакви триъгълника, затова отношението на лицата е 1/4.

12. Монета се хвърля 4 пъти. Каква е вероятността ези да се падне точно 3 пъти?

    • 3/16
    • 3/8
    • 1/8
    • 1/4

    Отговор: 1/4

    P = C₄³ · (1/2)⁴ = 4/16 = 1/4.

13. Точка се избира случайно в кръг с радиус 3. Каква е вероятността разстоянието ѝ до центъра да е по-голямо от 1?

    • 2/3
    • 8/9
    • 1/9
    • 1/3

    Отговор: 8/9

    Благоприятна е областта между окръжностите с радиуси 1 и 3: (9π − π)/(9π) = 8/9.

14. Монета се хвърля 5 пъти. Каква е вероятността ези да се падне поне 4 пъти?

    • 3/16
    • 5/32
    • 1/32
    • 1/4

    Отговор: 3/16

    P(4) + P(5) = (C₅⁴ + 1)/32 = (5 + 1)/32 = 3/16.

15. Точка се избира случайно в отсечката [0; 6] и я разделя на две части. Каква е вероятността дължините на частите да се различават с по-малко от 2?

    • 1/2
    • 2/3
    • 1/3
    • 1/6

    Отговор: 1/3

    |x − (6 − x)| < 2 дава |2x − 6| < 2, т.е. 2 < x < 4. Дължината 2 от 6 дава 1/3.

Финален въпрос