Математика 12 клас: към ДЗИ, втори срок

Квадратна функция

1. Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = x² − 6x + 10.

   • 1
   • 3
   • 10
   • −1

   Отговор: 1

   Върхът е при x = 3: f(3) = 9 − 18 + 10 = 1.

2. Кой е върхът на параболата y = x² − 4x + 1?

   • (−2; 13)
   • (4; 1)
   • (2; 1)
   • (2; −3)

   Отговор: (2; −3)

   x₀ = −b/(2a) = 2, а y₀ = 4 − 8 + 1 = −3.

3. Кои са нулите на функцията f(x) = x² − 5x + 6?

   • 2 и 3
   • −2 и −3
   • 1 и 6
   • −1 и 6

   Отговор: 2 и 3

   x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), така че нулите са 2 и 3.

4. Намерете най-голямата стойност на функцията f(x) = −2x² + 8x − 3.

   • 2
   • −3
   • 13
   • 5

   Отговор: 5

   Върхът е при x = −8/(2·(−2)) = 2: f(2) = −8 + 16 − 3 = 5.

5. В кой интервал функцията f(x) = x² − 2x е намаляваща?

   • [1; +∞)
   • (−∞; 2]
   • (−∞; 1]
   • [0; 2]

   Отговор: (−∞; 1]

   Параболата е с връх при x = 1 и клонове нагоре, затова f намалява до върха.

6. Коя права е ос на симетрия на параболата y = 2x² + 8x − 1?

   • x = 2
   • x = −2
   • x = −4
   • x = 4

   Отговор: x = −2

   Оста на симетрия минава през върха: x = −b/(2a) = −8/4 = −2.

7. Намерете най-голямата стойност на f(x) = x² − 4x в интервала [0; 5].

   • 0
   • −4
   • 5
   • 45

   Отговор: 5

   Върхът x = 2 дава най-малката стойност. Най-голямата е в край на интервала: f(0) = 0, f(5) = 5.

8. Кое е множеството от стойности на f(x) = −x² + 4x + 1?

   • [5; +∞)
   • (−∞; 1]
   • [1; 5]
   • (−∞; 5]

   Отговор: (−∞; 5]

   Върхът е при x = 2, f(2) = −4 + 8 + 1 = 5, а параболата е с клонове надолу.

9. Намерете най-голямата стойност на f(x) = −x² + 2x + 3 в интервала [2; 4].

   • 4
   • −5
   • 3
   • 0

   Отговор: 3

   Върхът е при x = 1, извън интервала, и f намалява в [2; 4]. Най-голямата стойност е f(2) = −4 + 4 + 3 = 3.

10. Намерете най-малката стойност на f(x) = x² + 2x − 3 в интервала [1; 3].

    • −4
    • 12
    • −3
    • 0

    Отговор: 0

    Върхът x = −1 е вън от интервала и f расте в [1; 3], затова най-малката стойност е f(1) = 0.

11. Намерете най-малката стойност на f(x) = 2x² − 8x + 1 в интервала [3; 5].

    • −5
    • −7
    • 11
    • 1

    Отговор: −5

    Върхът x = 2 не е в [3; 5], там f е растяща, затова най-малката стойност е f(3) = 18 − 24 + 1 = −5.

12. При коя стойност на c най-малката стойност на f(x) = x² − 4x + c в интервала [3; 5] е 2?

    • c = 6
    • c = 2
    • c = 3
    • c = 5

    Отговор: c = 5

    Върхът x = 2 е извън [3; 5], f расте там, затова минимумът е f(3) = 9 − 12 + c = c − 3 = 2, т.е. c = 5.

13. За коя положителна стойност на m най-малката стойност на f(x) = x² − 2mx + m + 6 е равна на 0?

    • m = 2
    • m = 6
    • m = 3
    • m = 1

    Отговор: m = 3

    Най-малката стойност е f(m) = −m² + m + 6 = 0, т.е. m² − m − 6 = 0, m = 3 или m = −2. Положителната е m = 3.

14. При кои стойности на m функцията f(x) = x² + mx + 4 е положителна за всяко x?

    • m ∈ (−4; 4)
    • m ∈ [−4; 4]
    • m > 4
    • m ∈ (−2; 2)

    Отговор: m ∈ (−4; 4)

    Нужно е D = m² − 16 < 0, т.е. −4 < m < 4.

15. Намерете най-малката стойност на функцията f(x) = x² − 2|x| − 3.

    • −3
    • −4
    • −5
    • −2

    Отговор: −4

    С t = |x| ≥ 0 получаваме t² − 2t − 3 = (t − 1)² − 4, най-малко при t = 1, т.е. x = ±1. Стойността е −4.

Средни стойности

1. Кое неравенство е вярно за всяко a > 0?

   • a + 1/a ≤ 2
   • a + 1/a > 3
   • a + 1/a ≥ 2
   • a + 1/a < 2

   Отговор: a + 1/a ≥ 2

   a + 1/a − 2 = (a − 1)²/a ≥ 0 при a > 0.

2. Колко е средното геометрично на числата 4 и 9?

   • 6,5
   • 6
   • 13
   • 36

   Отговор: 6

   √(4·9) = √36 = 6.

3. Колко е средното аритметично на числата 3 и 12?

   • 6
   • 9
   • 7,5
   • 15

   Отговор: 7,5

   (3 + 12)/2 = 15/2 = 7,5.

4. Намерете най-малката стойност на x + 9/x при x > 0.

   • 9
   • 10
   • 3
   • 6

   Отговор: 6

   По неравенството между средното аритметично и средното геометрично x + 9/x ≥ 2√9 = 6, с равенство при x = 3.

5. Кое неравенство е вярно за всеки a ≥ 0 и b ≥ 0?

   • (a + b)/2 ≤ √(ab)
   • a + b ≤ 2√(ab)
   • ab ≥ (a + b)²
   • (a + b)/2 ≥ √(ab)

   Отговор: (a + b)/2 ≥ √(ab)

   Това е неравенството между средно аритметично и средно геометрично: (√a − √b)² ≥ 0.

6. Средното аритметично на две положителни числа е 5. Колко е най-голямата възможна стойност на средното им геометрично?

   • 25
   • 5
   • 10
   • √5

   Отговор: 5

   Средното геометрично не надминава средното аритметично, а равенство има при равни числа (5 и 5): √25 = 5.

7. Сборът на две положителни числа е 10. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?

   • 24
   • 50
   • 25
   • 100

   Отговор: 25

   xy ≤ ((x + y)/2)² = 25, с равенство при x = y = 5.

8. Намерете най-малката стойност на x + 4/(x − 1) при x > 1.

   • 4
   • 3
   • 5
   • 6

   Отговор: 5

   x + 4/(x − 1) = (x − 1) + 4/(x − 1) + 1 ≥ 2·2 + 1 = 5, с равенство при x − 1 = 2.

9. Намерете най-малката стойност на 2x + 8/x при x > 0.

   • 4
   • 10
   • 16
   • 8

   Отговор: 8

   2x + 8/x ≥ 2√(2x · 8/x) = 2√16 = 8, с равенство при 2x = 8/x, т.е. x = 2.

10. Произведението на две положителни числа е 36. Колко е най-малкият възможен техен сбор?

    • 13
    • 18
    • 6
    • 12

    Отговор: 12

    x + y ≥ 2√(xy) = 2·6 = 12, с равенство при x = y = 6.

11. Сборът на три положителни числа е 12. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?

    • 48
    • 27
    • 72
    • 64

    Отговор: 64

    От неравенството за три числа abc ≤ ((a + b + c)/3)³ = 4³ = 64, с равенство при a = b = c = 4.

12. Положителните числа x, y и z имат произведение xyz = 27. Колко е най-малкият възможен сбор x + y + z?

    • 9
    • 27
    • 3
    • 12

    Отговор: 9

    По неравенството между средните (x + y + z)/3 ≥ ∛(xyz) = 3, откъдето x + y + z ≥ 9, с равенство при x = y = z = 3.

13. Намерете най-малката стойност на (x² + 4)/x при x > 0.

    • 2
    • 4
    • 5
    • 8

    Отговор: 4

    (x² + 4)/x = x + 4/x ≥ 2√4 = 4, с равенство при x = 2.

14. Намерете най-голямата стойност на x(6 − 2x) при 0 < x < 3.

    • 4,5
    • 9
    • 3
    • 6

    Отговор: 4,5

    x(6 − 2x) = (1/2)·2x(6 − 2x) ≤ (1/2)·((2x + 6 − 2x)/2)² = 4,5, с равенство при x = 1,5.

15. Намерете най-малката стойност на (a + b)(1/a + 1/b) при a > 0 и b > 0.

    • 2
    • 1
    • 4
    • 8

    Отговор: 4

    (a + b)(1/a + 1/b) = 2 + a/b + b/a ≥ 2 + 2 = 4, с равенство при a = b.

Екстремални задачи

1. Периметърът на правоъгълник е 20 cm. Колко е най-голямото възможно лице?

   • 25 cm²
   • 20 cm²
   • 24 cm²
   • 100 cm²

   Отговор: 25 cm²

   Страните са x и 10 − x, S = x(10 − x) е най-голямо при x = 5: S = 25 cm².

2. Разликата на две числа е 6. Колко е най-малкото възможно тяхно произведение?

   • 0
   • −9
   • −6
   • 9

   Отговор: −9

   x(x + 6) = (x + 3)² − 9 ≥ −9, с равенство при x = −3.

3. Височината на топка е h(t) = 6t − t² метра. В кой момент t (в секунди) тя е най-голяма?

   • t = 3
   • t = 6
   • t = 9
   • t = 2

   Отговор: t = 3

   Върхът на параболата е при t = −6/(2 · (−1)) = 3.

4. Височината на хвърлено нагоре тяло е h(t) = 20t − 5t² метра след t секунди. Колко метра е най-голямата височина?

   • 40 m
   • 10 m
   • 15 m
   • 20 m

   Отговор: 20 m

   Върхът е при t = 20/(2·5) = 2 s: h(2) = 40 − 20 = 20 m.

5. Печалбата на фирма е P(x) = −x² + 40x − 300 хиляди евро, където x е броят произведени хиляди изделия. При колко хиляди изделия печалбата е най-голяма?

   • 40
   • 10
   • 20
   • 30

   Отговор: 20

   Върхът на параболата е при x = −40/(2·(−1)) = 20.

6. Приходът на фирма е R(x) = 100x − 2x² евро. Колко е най-големият възможен приход?

   • 2500 евро
   • 1250 евро
   • 625 евро
   • 5000 евро

   Отговор: 1250 евро

   Върхът е при x = 100/4 = 25, а R(25) = 2500 − 1250 = 1250 евро.

7. Билет струва 10 евро и се продават 200 билета. При всяко поскъпване с 1 евро се продават с 10 билета по-малко. При каква цена приходът е най-голям?

   • 15 евро
   • 10 евро
   • 20 евро
   • 25 евро

   Отговор: 15 евро

   При цена 10 + x приходът е (10 + x)(200 − 10x), квадратна функция с върх при x = 5. Цената е 15 евро.

8. Кое число превишава квадрата си с най-много?

   • 1
   • 1/2
   • 1/4
   • 2

   Отговор: 1/2

   x − x² = 1/4 − (x − 1/2)² е най-голямо при x = 1/2.

9. Кое положително число има най-малък сбор с реципрочната си стойност?

   • 1/2
   • 2
   • 1
   • √2

   Отговор: 1

   x + 1/x ≥ 2 при x > 0, като равенство има само при x = 1.

10. Сборът на две числа е 8. Колко е най-малкият възможен сбор от квадратите им?

    • 64
    • 32
    • 16
    • 34

    Отговор: 32

    x² + (8 − x)² = 2x² − 16x + 64 е най-малко при x = 4: 16 + 16 = 32.

11. Положителните числа a и b са такива, че 2a + b = 12. Колко е най-голямата стойност на ab?

    • 36
    • 24
    • 18
    • 16

    Отговор: 18

    ab = a(12 − 2a) = −2a² + 12a, с връх при a = 3, т.е. ab = 3·6 = 18.

12. Неотрицателните числа x и y имат сбор 6. Колко е най-голямата стойност на x²y?

    • 27
    • 36
    • 24
    • 32

    Отговор: 32

    x/2 · x/2 · y ≤ ((x/2 + x/2 + y)/3)³ = 8, така че x²y ≤ 32, с равенство при x/2 = y, т.е. x = 4, y = 2.

13. Намерете най-малката стойност на f(x) = x⁴ − 8x² + 3.

    • 3
    • −5
    • −13
    • −29

    Отговор: −13

    Полагаме t = x² ≥ 0: t² − 8t + 3 е най-малко при t = 4: 16 − 32 + 3 = −13.

14. Намерете най-малката стойност на f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).

    • 0
    • −1
    • −9/16
    • −4

    Отговор: −1

    f = (x² − 5x + 4)(x² − 5x + 6). С t = x² − 5x + 5 получаваме f = t² − 1 ≥ −1, а t = 0 се достига.

15. Намерете най-малката стойност на f(x) = (x² − 4x)² + 2(x² − 4x).

    • −1
    • −8
    • 0
    • −4

    Отговор: −1

    С t = x² − 4x ≥ −4 имаме g(t) = t² + 2t = (t + 1)² − 1. Стойността t = −1 е допустима, затова минимумът е −1.

Екстремуми в геометрия

1. От всички правоъгълници с диагонал 10 cm кой има най-голямо лице и колко е то?

   • 100 cm²
   • 25 cm²
   • 50 cm²
   • 48 cm²

   Отговор: 50 cm²

   S = (1/2)d² sin φ е най-голямо при φ = 90°, т.е. за квадрат: S = 100/2 = 50 cm².

2. От всички правоъгълници с лице 36 cm² колко е най-малкият възможен периметър?

   • 24 cm
   • 26 cm
   • 36 cm
   • 40 cm

   Отговор: 24 cm

   При дадено лице периметърът е най-малък за квадрат: страна 6 cm, P = 24 cm.

3. Квадрат и правоъгълник 4 cm × 9 cm имат еднакво лице. Коя фигура има по-малък периметър?

   • правоъгълникът
   • квадратът
   • периметрите са равни
   • не може да се определи

   Отговор: квадратът

   Квадратът има страна 6 cm и периметър 24 cm, а правоъгълникът има периметър 26 cm.

4. Две страни на триъгълник са 6 cm и 8 cm. Колко е най-голямото възможно лице на триъгълника?

   • 48 cm²
   • 24 cm²
   • 12 cm²
   • 12√3 cm²

   Отговор: 24 cm²

   S = (1/2)·6·8·sin γ ≤ 24, с равенство при γ = 90°.

5. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице на триъгълника?

   • 50 cm²
   • 24 cm²
   • 20 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 25 cm²

   a² + b² = 100 и ab ≤ (a² + b²)/2 = 50, затова S = ab/2 ≤ 25, при a = b = 5√2.

6. Диагоналите на четириъгълник са 6 cm и 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице на четириъгълника?

   • 60 cm²
   • 15 cm²
   • 30 cm²
   • 32 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = (1/2)d₁d₂sin φ ≤ (1/2) · 6 · 10 = 30 cm², при перпендикулярни диагонали.

7. С ограда от 40 m се загражда правоъгълен двор до стена (покрай стената ограда не се слага). Колко е най-голямото възможно лице на двора?

   • 100 m²
   • 200 m²
   • 400 m²
   • 150 m²

   Отговор: 200 m²

   Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, то S = x(40 − 2x) е най-голямо при x = 10: S = 10·20 = 200 m².

8. С 60 m ограда се загражда правоъгълен двор и се разделя на две части с ограда, успоредна на едната страна. Колко е най-голямото възможно лице на двора?

   • 150 m²
   • 225 m²
   • 200 m²
   • 180 m²

   Отговор: 150 m²

   Ако x е страната, успоредна на разделителната ограда: 3x + 2y = 60, S = x(60 − 3x)/2, с най-голяма стойност при x = 10, y = 15, S = 150 m².

9. Колко е най-голямото възможно лице на триъгълник, вписан в окръжност с радиус 2 cm?

   • 4 cm²
   • 6 cm²
   • 2√3 cm²
   • 3√3 cm²

   Отговор: 3√3 cm²

   Най-голямо лице има равностранният триъгълник. Страната му е R√3 = 2√3 cm, а лицето е (√3/4) · 12 = 3√3 cm².

10. Бедрата на равнобедрен триъгълник са 10 cm. Колко е най-голямото възможно лице на триъгълника?

    • 50 cm²
    • 25√3 cm²
    • 100 cm²
    • 25 cm²

    Отговор: 50 cm²

    S = (1/2)·10·10·sin γ ≤ 50, с равенство при γ = 90°.

11. Сборът на страна на триъгълник и височината към нея е 12 cm. Колко е най-голямото възможно лице на триъгълника?

    • 18 cm²
    • 36 cm²
    • 24 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 18 cm²

    S = a·h/2, а при a + h = 12 произведението ah е най-голямо при a = h = 6: S = 18 cm².

12. Периметърът на кръгов сектор е 20 cm. Колко е най-голямото възможно лице на сектора?

    • 50 cm²
    • 25 cm²
    • 100/π cm²
    • 20 cm²

    Отговор: 25 cm²

    Ако r е радиусът, а l дъгата, 2r + l = 20 и S = rl/2 = r(10 − r), най-голямо при r = 5: S = 25 cm².

13. В правоъгълен триъгълник с катети 6 cm и 8 cm е вписан правоъгълник: две от страните му лежат на катетите, а един връх е на хипотенузата. Колко е най-голямото възможно лице на правоъгълника?

    • 24 cm²
    • 6 cm²
    • 16 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 12 cm²

    За страни x и y е x/6 + y/8 = 1, т.е. y = 8 − 4x/3, S = x(8 − 4x/3) е най-голямо при x = 3: S = 3·4 = 12 cm².

14. Правоъгълник е вписан в полукръг с радиус 4 cm, като едната му страна лежи на диаметъра. Колко е най-голямото възможно лице на правоъгълника?

    • 32 cm²
    • 8 cm²
    • 16 cm²
    • 12 cm²

    Отговор: 16 cm²

    При страни 2x и √(16 − x²): S = 2x√(16 − x²) ≤ x² + (16 − x²) = 16, с равенство при x = 2√2.

15. Точка M се движи по хипотенузата AB на правоъгълен триъгълник с катети AC = 6 cm и BC = 8 cm. Колко е най-малкото разстояние CM?

    • 5 cm
    • 6 cm
    • 4,8 cm
    • 4 cm

    Отговор: 4,8 cm

    Най-малкото разстояние е височината към хипотенузата: h = (6 · 8)/10 = 4,8 cm.

Екстремуми на функции

1. Намерете най-голямата стойност на функцията y = 3sin x + 1.

   • 4
   • 3
   • 1
   • 2

   Отговор: 4

   sin x ≤ 1, затова y ≤ 3 + 1 = 4.

2. Намерете най-голямата стойност на функцията y = √(9 − x²).

   • 9
   • 3
   • 0
   • √3

   Отговор: 3

   9 − x² ≤ 9, затова y ≤ 3, с равенство при x = 0.

3. Намерете най-малката стойност на функцията y = 5 − 2cos x.

   • 3
   • 5
   • 7
   • −2

   Отговор: 3

   Най-малка е при cos x = 1: y = 5 − 2 = 3.

4. Намерете най-малката стойност на функцията y = 2 − cos 2x.

   • 2
   • 1
   • 3
   • 0

   Отговор: 1

   cos 2x ≤ 1, затова y ≥ 2 − 1 = 1.

5. Намерете най-малката стойност на функцията y = sin²x + 2.

   • 1
   • 2
   • 3
   • 0

   Отговор: 2

   sin²x ≥ 0, с равенство при x = kπ, затова най-малката стойност е 2.

6. Намерете най-голямата стойност на функцията y = (1/2)^x2.

   • 1/2
   • 0
   • 1
   • 2

   Отговор: 1

   Основата е между 0 и 1, а x² ≥ 0, затова y ≤ (1/2)⁰ = 1, при x = 0.

7. Намерете най-малката стойност на функцията y = 2^{x2 − 2x}.

   • 1/2
   • 1
   • 0
   • 2

   Отговор: 1/2

   Показателят x² − 2x има най-малка стойност −1 при x = 1, а y = 2^t е растяща: y ≥ 2⁻¹ = 1/2.

8. Намерете най-малката стойност на функцията y = log₂(x² + 8).

   • 8
   • 0
   • 2√2
   • 3

   Отговор: 3

   x² + 8 ≥ 8, а log₂ е растяща, затова y ≥ log₂8 = 3.

9. Намерете най-голямата стойност на функцията y = sin x · cos x.

   • 1
   • 1/2
   • √2/2
   • 2

   Отговор: 1/2

   sin x cos x = (1/2)sin 2x ≤ 1/2.

10. Намерете най-голямата стойност на функцията y = sin x + cos x.

    • √2
    • 2
    • 1
    • √3

    Отговор: √2

    sin x + cos x = √2·sin(x + π/4) ≤ √2.

11. Намерете най-малката стойност на функцията y = 4^x − 2^{x + 2} + 7.

    • 3
    • 7
    • −1
    • 4

    Отговор: 3

    С t = 2^x > 0: y = t² − 4t + 7 = (t − 2)² + 3 ≥ 3, с равенство при t = 2.

12. Намерете най-малката стойност на функцията y = cos²x − 4cos x.

    • −4
    • 5
    • 0
    • −3

    Отговор: −3

    С t = cos x ∈ [−1; 1]: t² − 4t намалява в [−1; 1] (върхът е при t = 2), затова минимумът е при t = 1: 1 − 4 = −3.

13. Намерете най-малката стойност на функцията y = |x − 1| + |x − 5|.

    • 6
    • 4
    • 0
    • 5

    Отговор: 4

    Сборът от разстоянията от x до 1 и до 5 е поне 5 − 1 = 4 и е точно 4 за всяко x от [1; 5].

14. Намерете най-голямата стойност на функцията y = cos 2x + 2sin x.

    • 3
    • 1
    • 3/2
    • 2

    Отговор: 3/2

    y = 1 − 2s² + 2s, където s = sin x ∈ [−1; 1]. Върхът е при s = 1/2 и y = 1 − 1/2 + 1 = 3/2.

15. Намерете най-голямата стойност на функцията y = √(x − 2) + √(6 − x).

    • 2√2
    • 2
    • 4
    • √2

    Отговор: 2√2

    y² = 4 + 2√((x − 2)(6 − x)) ≤ 4 + (x − 2) + (6 − x) = 8, така че y ≤ 2√2, с равенство при x = 4.

Финален въпрос