Екстремални задачи в алгебрата
В тези задачи търсим кога даден израз е най-голям или най-малък. Обикновено го изразяваме като функция на една променлива и я свеждаме до квадратна функция, като отделяме точен квадрат или полагаме. При тригонометрични изрази полагаме t = sin x или t = cos x и не забравяме ограничението −1 ≤ t ≤ 1. Често се срещат практически задачи за най-голям приход или печалба.
Какво да запомним
- Отделяне на точен квадрат: x2 − 10x + 30 = (x − 5)2 + 5
- (x − a)2 ≥ 0, затова най-малката стойност е при x = a
- При полагане t = sin x или t = cos x: −1 ≤ t ≤ 1
- Приход = цена · брой продадени бройки
Пример
Сборът на две числа е 12: произведението x(12 − x) е най-голямо при x = 6 и е 36.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Сборът на две числа е 12. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?
- 35
- 72
- 36
- 144
Отговор: 36
x(12 − x) е най-голямо при x = 6: 6 · 6 = 36.
Разликата на две числа е 6. Колко е най-малкото възможно тяхно произведение?
- −9
- 0
- 9
- −6
Отговор: −9
x(x − 6) = x2 − 6x е най-малко при x = 3: 3 · (−3) = −9.
Намерете най-малката стойност на y = (x − 1)2 + (x − 5)2.
- 16
- 0
- 4
- 8
Отговор: 8
y = 2x2 − 12x + 26, върхът е при x = 3: y = 4 + 4 = 8.
При цена p евро се продават 100 − 2p броя от стока. Колко е най-големият възможен приход?
- 2500 евро
- 1200 евро
- 1250 евро
- 625 евро
Отговор: 1250 евро
Приходът p(100 − 2p) = −2p2 + 100p е най-голям при p = 25: 25 · 50 = 1250 евро.
Намерете най-голямата стойност на y = sin2x + 4cos x.
- 5
- 1
- 3
- 4
Отговор: 4
С cos x = t ∈ [−1; 1]: y = −t2 + 4t + 1. Върхът t = 2 е вън от [−1; 1], функцията расте, y(1) = 4.
Намерете най-малката стойност на y = (x − 3)2 + 2.
- 3
- 2
- 0
- −3
Отговор: 2
(x − 3)2 ≥ 0, затова y ≥ 2, равенство при x = 3.
При коя стойност на x изразът x2 − 10x + 30 е най-малък?
- 5
- −5
- 10
- 30
Отговор: 5
x2 − 10x + 30 = (x − 5)2 + 5, най-малък е при x = 5.
Намерете най-голямата стойност на y = 5 − |x − 2|.
- 2
- 3
- 5
- 7
Отговор: 5
|x − 2| ≥ 0, затова y ≤ 5, равенство при x = 2.
Намерете най-малката стойност на y = x4 − 4x2 + 1.
- 1
- −4
- −3
- −1
Отговор: −3
Полагаме t = x2 ≥ 0: t2 − 4t + 1 има най-малка стойност при t = 2, тя е 4 − 8 + 1 = −3.
Намерете най-голямата стойност на y = cos 2x + 2 sin x.
- 3
- 3/2
- 2
- 1
Отговор: 3/2
cos 2x = 1 − 2sin2x, затова y = −2t2 + 2t + 1 при t = sin x ∈ [−1; 1]; най-голяма стойност при t = 1/2: −1/2 + 1 + 1 = 3/2.
Колко е най-малката стойност на израза 2 + cos x?
- 1
- 2
- 0
- −1
Отговор: 1
Тъй като −1 ≤ cos x ≤ 1, най-малката стойност е 2 − 1 = 1.
Намерете най-малката стойност на x2 + y2 − 4x + 2y + 7.
- 7
- 2
- 0
- −2
Отговор: 2
Отделяме точни квадрати: (x − 2)2 + (y + 1)2 + 2 ≥ 2, с равенство при x = 2, y = −1.
Намерете най-малката стойност на y = cos2x − 2cos x.
- −2
- 0
- 3
- −1
Отговор: −1
Полагаме t = cos x, −1 ≤ t ≤ 1. Функцията t2 − 2t намалява до t = 1, затова най-малката стойност е 1 − 2 = −1.
Магазин продава по 40 тениски дневно на цена 20 евро. Всяко поскъпване с 1 евро намалява продажбите с 1 тениска. При каква цена приходът е най-голям?
- 30 евро
- 20 евро
- 25 евро
- 40 евро
Отговор: 30 евро
При поскъпване с k евро приходът е (20 + k)(40 − k). Върхът на параболата е при k = 10, т.е. цена 30 евро и приход 900 евро.
Намерете най-малката стойност на y = (x2 − 2x)2 + 6(x2 − 2x).
- −9
- −5
- −3
- 0
Отговор: −5
Полагаме t = x2 − 2x = (x − 1)2 − 1 ≥ −1. Функцията t2 + 6t расте при t ≥ −3, затова минимумът е при t = −1: 1 − 6 = −5.