Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Математика 12 клас: Екстремални задачи“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 1 от 4

Линейна и квадратна функция. Най-малка и най-голяма стойност

Линейната функция f(x) = ax + b е растяща при a > 0 и намаляваща при a < 0, затова в затворен интервал най-малката и най-голямата ѝ стойност се достигат в краищата. Квадратната функция има екстремум във върха на параболата x = −b/(2a). В интервал сравняваме стойностите в краищата и във върха, ако той е в интервала. Така намираме най-малка и най-голяма стойност без производни.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

f(x) = ax + b: растяща при a > 0, намаляваща при a < 0
Връх на параболата: x₀ = −b/(2a)
При a > 0 параболата има най-малка стойност във върха, при a < 0 най-голяма
В интервал [p; q] проверяваме краищата и върха (ако е в интервала)

Пример

y = x² − 4x + 7 има връх при x = 2, а y(2) = 3. Това е най-малката стойност.

Проверете се: 20 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Намерете най-голямата стойност на f(x) = 2x − 1 в интервала [−1; 3].
- −3
- 5
- 3
- 7
Отговор: 5
Функцията е растяща, затова най-голямата стойност е f(3) = 5.
Намерете най-малката стойност на f(x) = −3x + 4 в интервала [0; 2].
- 4
- 0
- 10
- −2
Отговор: −2
Функцията е намаляваща, затова най-малката стойност е f(2) = −2.
При кои стойности на m функцията f(x) = (m − 1)x + 2 е намаляваща?
- m > 1
- m < 0
- m > 2
- m < 1
Отговор: m < 1
Линейната функция намалява, когато ъгловият коефициент е отрицателен: m − 1 < 0.
Намерете най-голямата стойност на f(x) = |x − 1| в интервала [−2; 3].
- 2
- 3
- 0
- 4
Отговор: 3
f(−2) = 3, f(3) = 2, а в x = 1 функцията е 0. Най-голямата стойност е 3.
Линейната функция f(x) = ax + b е такава, че f(1) = 3 и f(3) = 7. Намерете най-голямата ѝ стойност в интервала [0; 5].
- 7
- 13
- 11
- 9
Отговор: 11
a = (7 − 3)/2 = 2, b = 1. Функцията расте, затова най-голямата стойност е f(5) = 11.
Намерете най-малката стойност на f(x) = x + 3 в интервала [−2; 4].
- 1
- 7
- 3
- −2
Отговор: 1
Функцията е растяща, затова най-малката стойност е f(−2) = −2 + 3 = 1.
Намерете най-голямата стойност на f(x) = −2x + 5 в интервала [−1; 3].
- −1
- 5
- 7
- 3
Отговор: 7
Функцията е намаляваща, затова най-голямата стойност е f(−1) = 2 + 5 = 7.
При кои стойности на k функцията f(x) = (3 − k)x + 1 е растяща?
- k > 3
- k < 3
- k = 3
- k < −3
Отговор: k < 3
Линейната функция е растяща, когато ъгловият коефициент е положителен: 3 − k > 0, т.е. k < 3.
Колко е разликата между най-голямата и най-малката стойност на f(x) = 4x − 3 в интервала [1; 5]?
- 20
- 4
- 17
- 16
Отговор: 16
f(5) = 17 и f(1) = 1, разликата е 17 − 1 = 16.
Намерете най-малката стойност на f(x) = |x + 1| + |x − 3|.
- 2
- 4
- 3
- 0
Отговор: 4
Сборът на разстоянията от x до −1 и до 3 е поне разстоянието между −1 и 3, т.е. 4, и се достига за всяко x от [−1; 3].
Кой е върхът на параболата y = x² − 4x + 7?
- (−2; 19)
- (4; 7)
- (2; −3)
- (2; 3)
Отговор: (2; 3)
x₀ = 4/2 = 2, y₀ = 4 − 8 + 7 = 3.
Намерете най-голямата стойност на y = −x² + 6x − 5.
- −5
- 3
- 4
- 9
Отговор: 4
Върхът е при x = 3: y = −9 + 18 − 5 = 4.
Намерете най-малката стойност на y = x² − 2x − 3 в интервала [2; 5].
- −4
- 12
- 0
- −3
Отговор: −3
Върхът x = 1 е вън от интервала, а функцията расте в [2; 5]: y(2) = −3.
Намерете най-голямата стойност на y = x² − 6x + 5 в интервала [0; 4].
- 5
- −3
- −4
- 4
Отговор: 5
Върхът x = 3 е вътре и дава най-малката стойност −4. Най-голямата е в по-далечния край: y(0) = 5 > y(4) = −3.
При коя стойност на a най-малката стойност на y = x² + 4x + a е 5?
- 1
- 9
- 5
- −1
Отговор: 9
Най-малката стойност е y(−2) = a − 4 = 5, a = 9.
Намерете най-малката стойност на y = x² + 2.
- 0
- 2
- −2
- 4
Отговор: 2
x² ≥ 0, затова y ≥ 2, като равенство има при x = 0.
Намерете най-малката стойност на y = x² − 8x + 10.
- −6
- 10
- 4
- −22
Отговор: −6
Върхът е при x = 4: y(4) = 16 − 32 + 10 = −6.
Намерете най-голямата стойност на y = −x² + 4x + 1 в интервала [3; 5].
- 5
- 1
- 4
- −4
Отговор: 4
Върхът x = 2 е извън интервала, функцията намалява в [3; 5], затова най-голямата стойност е y(3) = −9 + 12 + 1 = 4.
Намерете най-малката стойност на y = 2x² − 4x + 5 в интервала [−1; 2].
- 11
- 5
- 2
- 3
Отговор: 3
Върхът x = 1 е в интервала: y(1) = 2 − 4 + 5 = 3.
Най-голямата стойност на y = −x² + 6x в интервала [0; m], където 0 < m < 3, е 5. Намерете m.
- 1
- 5
- 2
- 3
Отговор: 1
При m 2 + 6m = 5, откъдето m = 1 (коренът 5 не е по-малък от 3).