Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Уравнения: задачи за подготовка за ДЗИ“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 12 клас · урок 3 от 5

Логаритмични уравнения: дефиниционно множество и проверка

Q: Какво се учи в урока „Логаритмични уравнения: дефиниционно множество и проверка“?

Основното логаритмично уравнение logₐf(x) = c е равносилно на f(x) = a^c. Преди решаването се определя дефиниционното множество (ДМ): аргументите трябва да са положителни, а основата положителна и различна от 1. Сборът на логаритми с една основа се записва като логаритъм от произведение. Получените корени се проверяват дали са в ДМ. При уравнения като log²x − 3log x + 2 = 0 се полага t = log x.

Основното логаритмично уравнение log_af(x) = c е равносилно на f(x) = a^c. Преди решаването се определя дефиниционното множество (ДМ): аргументите трябва да са положителни, а основата положителна и различна от 1. Сборът на логаритми с една основа се записва като логаритъм от произведение. Получените корени се проверяват дали са в ДМ. При уравнения като log²x − 3log x + 2 = 0 се полага t = log x.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

log_af(x) = c ⇔ f(x) = a^c (при f(x) > 0).
log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0.
Корените задължително се проверяват спрямо ДМ.
Ако едната страна расте, а другата намалява, уравнението има най-много един корен.

Пример

lg x + lg(x − 3) = 1: ДМ x > 3; x(x − 3) = 10 дава 5 и −2; остава само x = 5.

Проверете се: 10 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Решете уравнението log₄x = 3.
- 12
- 81
- 3/4
- 64
Отговор: 64
x = 4³ = 64.
Решете уравнението log₃(x + 2) = 2.
- 9
- 4
- 7
- 11
Отговор: 7
x + 2 = 3² = 9, x = 7.
Решете уравнението lg x + lg(x + 3) = 1.
- 2 и −5
- −5
- 10
- 2
Отговор: 2
ДМ: x > 0; x(x + 3) = 10, x² + 3x − 10 = 0, x = 2 или x = −5; −5 не е в ДМ.
Решете уравнението log₃²x − log₃x − 2 = 0.
- 2 и −1
- 9
- 3 и 1/9
- 9 и 1/3
Отговор: 9 и 1/3
t = log₃x: t² − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1, x = 9 или x = 1/3.
Решете уравнението log₃(x + 1) + log₃(x + 3) = 1.
- 0 и −4
- 0
- −4
- 2
Отговор: 0
ДМ: x > −1; (x + 1)(x + 3) = 3, x² + 4x = 0, x = 0 или x = −4; остава x = 0.
Решете уравнението lg x = −1.
- 0,1
- −10
- 10
- 0,01
Отговор: 0,1
x = 10⁻¹ = 0,1.
Решете уравнението log_x27 = 3.
- 9
- 1/3
- 81
- 3
Отговор: 3
x³ = 27, x = 3 (x > 0, x ≠ 1).
Решете уравнението log₃(x² − 7) = 2.
- 4
- −3 и 3
- −4 и 4
- 16
Отговор: −4 и 4
x² − 7 = 9, x = ±4; и двата корена са в ДМ.
Решете уравнението log₅(3x + 1) = log₅(x + 7).
- 4
- 2
- 6
- 3
Отговор: 3
3x + 1 = x + 7, x = 3; тогава 3x + 1 = 10 > 0.
Решете уравнението log₂x = 6 − x.
- 2
- 8
- 4
- 6
Отговор: 4
x = 4: log₂4 = 2 = 6 − 4; лявата страна расте, дясната намалява, затова коренът е един.