Тъждествени изрази
Два израза са тъждествено равни, ако имат равни числени стойности за всички допустими стойности на променливите. Равенство на такива изрази се нарича тъждество, например 2(x + 3) = 2x + 6. За да докажем тъждество, преобразуваме едната страна, докато получим другата. За да покажем, че едно равенство не е тъждество, е достатъчна една стойност, за която то не е вярно.
Какво да запомним
- Тъждество: равенство, вярно за всички стойности на променливите.
- Доказваме го чрез преобразуване на едната или двете страни.
- Един контрапример е достатъчен, за да не е тъждество.
- Тъждествените преобразувания не променят стойността на израза.
Пример
3(x − 2) − 2(x − 3) = 3x − 6 − 2x + 6 = x, значи 3(x − 2) − 2(x − 3) = x е тъждество.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Кое равенство е тъждество?
- (a + b)2 = a2 + b2
- a2 − b2 = (a − b)2
- (a − b)3 = a3 − b3
- (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Отговор: (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
Разликата на двата квадрата е (a2 + 2ab + b2) − (a2 − 2ab + b2) = 4ab за всички a и b.
Как се нарича равенство на два израза, което е вярно за всички стойности на променливите?
- уравнение
- тъждество
- неравенство
- едночлен
Отговор: тъждество
Тъждеството е вярно при всички допустими стойности на променливите.
Тъждествено равни ли са изразите 2(x + 3) и 2x + 6?
- Само за x = 0
- Не
- Да, за всяко x
- Само за x > 0
Отговор: Да, за всяко x
Разкриваме скобите: 2(x + 3) = 2x + 6 за всяко x.
Кой израз е тъждествено равен на 3(x − 2) − 2(x − 3)?
- x − 12
- x
- 5x − 12
- x + 12
Отговор: x
3x − 6 − 2x + 6 = x.
С коя стойност на x се показва, че равенството x2 + 1 = 2x НЕ е тъждество?
- x = 1
- x = 0
- Не може да се покаже
- Само с дробна стойност на x
Отговор: x = 0
При x = 0 лявата страна е 1, а дясната е 0, значи равенството не е вярно за всяко x.
Кое от равенствата е вярно за всички стойности на a и b?
- a − b = b − a
- a : b = b : a
- 2a = a2
- a + b = b + a
Отговор: a + b = b + a
Разместителното свойство на събирането е тъждество.
Равенството x2 = 2x е вярно при x = 2. Тъждество ли е?
- Не
- Да, защото е вярно при x = 2
- Да, за всяко x
- Само при x > 0
Отговор: Не
При x = 1 имаме 1 = 2, което не е вярно, затова не е тъждество.
Кой израз е тъждествено равен на 4(a − 2) + 8?
- 4a + 6
- 4a
- 4a − 16
- a + 6
Отговор: 4a
4a − 8 + 8 = 4a.
Кой израз е тъждествено равен на (x + 1)2 − x2?
- 1
- 2x
- 2x + 1
- x + 1
Отговор: 2x + 1
x2 + 2x + 1 − x2 = 2x + 1.
На какво е тъждествено равен изразът 5(2x − 1) − 2(5x − 3)?
- −11
- 20x − 11
- 2x
- 1
Отговор: 1
10x − 5 − 10x + 6 = 1.
За коя стойност на k равенството 2(x + k) = 2x + 10 е тъждество?
- k = 5
- k = 10
- k = 2
- k = 8
Отговор: k = 5
2x + 2k = 2x + 10 за всяко x, когато 2k = 10.
Кой контрапример показва, че (a + b)2 = a2 + b2 не е тъждество?
- a = 0, b = 3
- a = 1, b = 1
- a = 2, b = 0
- a = 0, b = 0
Отговор: a = 1, b = 1
При a = b = 1 лявата страна е 4, а дясната 2.
За кои стойности на x е вярно равенството (x + 2)2 = x2 + 4x + 4?
- само за x = 0
- само за x > 0
- за всяко x
- за никое x
Отговор: за всяко x
Това е формулата за квадрат на сбор, т.е. тъждество.
За кои стойности на a и b равенството ax + 3 = 2x + b е тъждество?
- a = 3, b = 2
- a = 2, b = 0
- a = 0, b = 3
- a = 2, b = 3
Отговор: a = 2, b = 3
Коефициентите пред x и свободните членове трябва да са равни.
Кое от следните равенства е тъждество?
- (a − b)2 = (b − a)2
- (a − b)3 = (b − a)3
- a − b = b − a
- (a + b)2 = a2 + b2
Отговор: (a − b)2 = (b − a)2
a − b и b − a са противоположни числа, а квадратите им са равни.