Медицентър на триъгълник

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

1. Медицентърът на триъгълник е пресечната точка на неговите:

   • ъглополовящи
   • медиани
   • височини
   • симетрали на страните

   Отговор: медиани

   Трите медиани се пресичат в една точка, наречена медицентър.

2. Медианата AM на триъгълник е 12 cm, а G е медицентърът. Намерете AG.

   • 8 cm
   • 4 cm
   • 6 cm
   • 9 cm

   Отговор: 8 cm

   Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха: AG = 2/3·12 = 8 cm.

3. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 18 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до върха на правия ъгъл.

   • 9 cm
   • 3 cm
   • 12 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   Медианата към хипотенузата е половината от нея: 9 cm. От върха до медицентъра са 2/3 от нея: 6 cm.

4. Лицето на триъгълника ABC е 36 cm², а G е медицентърът. Намерете лицето на триъгълника ABG.

   • 18 cm²
   • 9 cm²
   • 12 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 12 cm²

   Височината от G към AB е 1/3 от височината от C, затова лицето е 1/3 от 36, т.е. 12 cm².

5. В триъгълника ABC AC = BC = 10 cm и AB = 16 cm. Намерете разстоянието от медицентъра до основата AB.

   • 4 cm
   • 2 cm
   • 3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 2 cm

   Медианата към основата е и височина: √(100 − 64) = 6 cm. Медицентърът е на 1/3 от нея от основата: 2 cm.

6. Медианата на триъгълник свързва връх със:

   • средата на съседна страна
   • центъра на описаната окръжност
   • средата на срещуположната страна
   • петата на височината

   Отговор: средата на срещуположната страна

   По определение медианата свързва връх със средата на срещуположната страна.

7. Къде се намира медицентърът на всеки триъгълник?

   • вътре в триъгълника
   • вън от триъгълника
   • на една от страните
   • в един от върховете

   Отговор: вътре в триъгълника

   Трите медиани лежат вътре в триъгълника, затова и пресечната им точка е вътре.

8. Равностранен триъгълник има страна 6√3 cm. Колко е разстоянието от медицентъра до един от върховете?

   • 3 cm
   • 9 cm
   • 3√3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   Медианата е и височина: 6√3·√3/2 = 9 cm. Разстоянието до върха е 2/3 от нея: 6 cm.

9. Медианите AA₁ и BB₁ на триъгълника ABC се пресичат в G, AA₁ = 12 cm и BB₁ = 9 cm. Колко е GA₁ + GB₁?

   • 14 cm
   • 7 cm
   • 21 cm
   • 10,5 cm

   Отговор: 7 cm

   GA₁ = 12 : 3 = 4 cm и GB₁ = 9 : 3 = 3 cm, общо 7 cm.

10. Медианите AM и BN на триъгълника ABC са перпендикулярни, AM = 9 cm и BN = 12 cm. Колко е AB?

    • 15 cm
    • 10 cm
    • 21 cm
    • 12 cm

    Отговор: 10 cm

    AG = 2/3·9 = 6 cm, BG = 2/3·12 = 8 cm, а триъгълникът ABG е правоъгълен: AB = √(36 + 64) = 10 cm.

11. Колко медиани има всеки триъгълник?

    • 3
    • 2
    • 1
    • 6

    Отговор: 3

    От всеки връх излиза по една медиана, общо 3.

12. Каква част от медианата е отсечката от медицентъра до средата на страната?

    • 2/3
    • 1/2
    • 1/4
    • 1/3

    Отговор: 1/3

    Медицентърът дели медианата в отношение 2 : 1 от върха, затова GM = 1/3 от медианата.

13. G е медицентърът на ΔABC, CM е медиана и GM = 3 cm. Намерете CM.

    • 6 cm
    • 4,5 cm
    • 9 cm
    • 12 cm

    Отговор: 9 cm

    CG = 2 · GM = 6 cm, затова CM = 6 + 3 = 9 cm.

14. Лицето на ΔABC е 30 cm². Медианите го разделят на шест триъгълника. Колко е лицето на всеки от тях?

    • 10 cm²
    • 6 cm²
    • 5 cm²
    • 15 cm²

    Отговор: 5 cm²

    Шестте триъгълника имат равни лица: 30 : 6 = 5 cm².

15. В равностранен триъгълник медицентърът е на 4 cm от една от страните. Колко е височината на триъгълника?

    • 12 cm
    • 8 cm
    • 6 cm
    • 16 cm

    Отговор: 12 cm

    В равностранен триъгълник височината е и медиана, а разстоянието до страната е 1/3 от нея: 3 · 4 = 12 cm.