Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни
Някои уравнения от трета или по-висока степен могат да се сведат до квадратни. Най-често използваме изнасяне на общ множител, групиране или полагане на повтарящ се израз. Например в (x2 − 2x)2 − 2(x2 − 2x) − 3 = 0 полагаме x2 − 2x = t. Важно е да не загубим корен, например x = 0, затова не делим на израз, който съдържа x.
Какво да запомним
- Произведение е равно на 0, когато поне един от множителите е 0.
- Изнасяне на общ множител: x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2).
- Групиране: x3 − 2x2 − 9x + 18 = (x − 2)(x2 − 9).
- Полагаме повтарящия се израз = t, решаваме за t и се връщаме към x.
Пример
x3 − 4x = 0 ⇒ x(x2 − 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 2 или x = −2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Решете уравнението (x2 − 2x)2 − 2(x2 − 2x) − 3 = 0.
- x = 3 и x = −1
- x = −3, x = 1 и x = −1
- x = 1
- x = −1, x = 1 и x = 3
Отговор: x = −1, x = 1 и x = 3
t = x2 − 2x: t2 − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. x2 − 2x = 3 дава 3 и −1, а x2 − 2x = −1 дава 1.
Решете уравнението x3 − 2x2 − 9x + 18 = 0.
- x = −2 и x = ±3
- x = 2 и x = 3
- x = 2 и x = ±3
- x = ±3
Отговор: x = 2 и x = ±3
x2(x − 2) − 9(x − 2) = (x − 2)(x − 3)(x + 3) = 0.
Решете уравнението x3 − 4x = 0.
- x = ±2
- x = 0 и x = 4
- x = 0 и x = 2
- x = 0 и x = ±2
Отговор: x = 0 и x = ±2
x(x2 − 4) = 0, откъдето x = 0, x = 2 или x = −2.
Решете уравнението (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.
- x = 0 и x = 5
- x = 0 и x = −5
- x = −1 и x = −4
- x = 1 и x = −5
Отговор: x = 0 и x = −5
(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24. При t = x2 + 5x + 4: t(t + 2) = 24, t = 4 или t = −6. От x2 + 5x = 0 следва x = 0 или x = −5, а x2 + 5x + 10 = 0 няма реални корени.
Решете уравнението x3 − 6x2 + 9x = 0.
- x = 3
- x = 0 и x = 3
- x = 0 и x = −3
- x = ±3
Отговор: x = 0 и x = 3
x(x2 − 6x + 9) = x(x − 3)2 = 0, затова x = 0 или x = 3.
Кои са корените на уравнението (x − 1)(x + 4) = 0?
- x = 1 и x = −4
- x = −1 и x = 4
- x = 1 и x = 4
- x = −4
Отговор: x = 1 и x = −4
Произведението е 0, когато x − 1 = 0 или x + 4 = 0.
Решете уравнението x(x2 − 9) = 0.
- x = 0 и x = ±3
- x = ±3
- x = 0 и x = 9
- x = 0 и x = 3
Отговор: x = 0 и x = ±3
x = 0 или x2 = 9, т.е. x = ±3.
Кой множител изнасяме пред скоби в уравнението x3 + 5x2 = 0?
- x3
- 5
- x2
- x + 5
Отговор: x2
x3 + 5x2 = x2(x + 5).
Защо не бива да делим уравнението x3 = 25x на x?
- получаваме грешен знак
- губим корена x = 0
- уравнението става линейно
- няма причина
Отговор: губим корена x = 0
При делене на x изпускаме случая x = 0, който също е корен.
Решете уравнението x3 + 2x2 − 3x = 0.
- x = 0, x = 1 и x = −3
- x = 1 и x = −3
- x = 0, x = −1 и x = 3
- x = 0 и x = 3
Отговор: x = 0, x = 1 и x = −3
x(x2 + 2x − 3) = x(x − 1)(x + 3) = 0.
С какво полагане се решава (x2 + x)2 − 8(x2 + x) + 12 = 0?
- x2 = t
- x = t
- x4 = t
- x2 + x = t
Отговор: x2 + x = t
Изразът x2 + x се повтаря, затова го полагаме равен на t.
Решете уравнението (x − 2)(x2 − 5x + 6) = 0.
- x = 2
- x = −2 и x = −3
- x = 2 и x = 3
- x = 2, x = 3 и x = 6
Отговор: x = 2 и x = 3
x = 2 или x2 − 5x + 6 = 0, чиито корени са 2 и 3.
Решете уравнението x3 − 3x2 + x − 3 = 0.
- x = 3 и x = ±1
- x = 3
- x = ±3
- x = −3
Отговор: x = 3
x2(x − 3) + (x − 3) = (x − 3)(x2 + 1) = 0, а x2 + 1 > 0.
Колко реални корена има уравнението x3 − 8 = 0?
- 1
- 3
- 2
- 0
Отговор: 1
x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4), а x2 + 2x + 4 има D < 0, затова коренът е само x = 2.
Решете уравнението x4 − x3 − 2x2 = 0.
- x = 2 и x = −1
- x = 0, x = −2 и x = 1
- x = 0 и x = 2
- x = 0, x = 2 и x = −1
Отговор: x = 0, x = 2 и x = −1
x2(x2 − x − 2) = x2(x − 2)(x + 1) = 0.