Квадратни уравнения

Непълни уравнения

1. Решете уравнението x² = 49.

   • x = 7
   • x = ±7
   • x = 49 и x = −49
   • няма решение

   Отговор: x = ±7

   x² = 49 има два корена: 7 и −7.

2. Кое от уравненията е непълно квадратно уравнение?

   • x² + 3x − 1 = 0
   • 2x + 7 = 0
   • 5x² − 20 = 0
   • x³ − x = 0

   Отговор: 5x² − 20 = 0

   Уравнението 5x² − 20 = 0 е квадратно и коефициентът пред x е 0, затова е непълно.

3. Решете уравнението x² = 0.

   • x = 0
   • x = 1
   • x = ±1
   • няма решение

   Отговор: x = 0

   Квадратът е 0 само за числото 0.

4. Решете уравнението 3x² − 12x = 0.

   • x = 0 и x = 4
   • x = 4
   • x = 0 и x = −4
   • x = ±2

   Отговор: x = 0 и x = 4

   3x(x − 4) = 0, откъдето x = 0 или x = 4.

5. Решете уравнението x² + 16 = 0.

   • няма реални корени
   • x = ±4
   • x = 4
   • x = −4

   Отговор: няма реални корени

   x² = −16, а квадратът на реално число не може да е отрицателен.

6. Колко реални корена има уравнението ax² + c = 0, ако a и c са ненулеви и с еднакви знаци?

   • 1
   • 0
   • 2
   • безбройно много

   Отговор: 0

   x² = −c/a < 0, а квадратът не може да е отрицателен.

7. Решете уравнението 2x² − 18 = 0.

   • x = ±9
   • x = 3
   • няма решение
   • x = ±3

   Отговор: x = ±3

   x² = 9, откъдето x = ±3.

8. Решете уравнението 5x² = 3x.

   • x = 3/5
   • x = 0 и x = 5/3
   • x = ±√(3/5)
   • x = 0 и x = 3/5

   Отговор: x = 0 и x = 3/5

   5x² − 3x = 0, x(5x − 3) = 0, откъдето x = 0 или x = 3/5.

9. Кое е вярно за уравнението ax² + bx = 0, ако a ≠ 0 и b ≠ 0?

   • няма корени
   • корените са противоположни
   • единият корен винаги е 0
   • има само един корен

   Отговор: единият корен винаги е 0

   x(ax + b) = 0, откъдето x = 0 и x = −b/a.

10. Решете уравнението (x − 2)² = 9.

    • x = −5 и x = 1
    • x = 5
    • x = 5 и x = −1
    • x = 11

    Отговор: x = 5 и x = −1

    x − 2 = 3 или x − 2 = −3, откъдето x = 5 или x = −1.

11. Решете уравнението (x + 3)² = 6x + 25.

    • x = 4
    • x = ±4
    • x = ±5
    • x = 0 и x = 4

    Отговор: x = ±4

    x² + 6x + 9 = 6x + 25, т.е. x² = 16 и x = ±4.

12. Решете уравнението (2x − 1)(x + 3) = −3.

    • x = 1/2 и x = −3
    • x = 0 и x = 5/2
    • x = −3
    • x = 0 и x = −5/2

    Отговор: x = 0 и x = −5/2

    2x² + 5x − 3 = −3, т.е. 2x² + 5x = 0 и x(2x + 5) = 0.

13. За коя стойност на a уравнението (a − 2)x² + 5x + a² − 4 = 0 е непълно квадратно уравнение?

    • a = 2
    • a = −2
    • a = ±2
    • a = 0

    Отговор: a = −2

    Свободният член трябва да е 0: a² − 4 = 0, т.е. a = ±2. При a = 2 уравнението не е квадратно, остава a = −2.

14. Единият корен на уравнението 3x² + bx = 0 е 4. Намерете b.

    • 12
    • −12
    • −48
    • −4

    Отговор: −12

    3·16 + 4b = 0, откъдето b = −12.

15. Корените на уравнението x² − k = 0 се различават с 10. Намерете k.

    • 25
    • 10
    • 100
    • 5

    Отговор: 25

    Корените са √k и −√k, разликата им е 2√k = 10, значи √k = 5 и k = 25.

Формула за корените

1. Намерете дискриминантата на уравнението x² − 5x + 6 = 0.

   • 1
   • 49
   • −1
   • 25

   Отговор: 1

   D = b² − 4ac = 25 − 24 = 1.

2. Как се пресмята дискриминантата на уравнението ax² + bx + c = 0?

   • D = b² + 4ac
   • D = 4ac − b²
   • D = b − 4ac
   • D = b² − 4ac

   Отговор: D = b² − 4ac

   По определение D = b² − 4ac.

3. Колко реални корена има квадратно уравнение с отрицателна дискриминанта?

   • 0
   • 1
   • 2
   • безбройно много

   Отговор: 0

   При D < 0 уравнението няма реални корени.

4. Решете уравнението x² + 2x − 15 = 0.

   • x = −3 и x = 5
   • x = 3 и x = 5
   • няма решение
   • x = 3 и x = −5

   Отговор: x = 3 и x = −5

   D = 4 + 60 = 64, x = (−2 ± 8)/2, т.е. 3 и −5.

5. Решете уравнението x² − 3x − 10 = 0.

   • x = 5 и x = −2
   • x = −5 и x = 2
   • x = 10 и x = −1
   • x = 5 и x = 2

   Отговор: x = 5 и x = −2

   D = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7)/2, т.е. x = 5 или x = −2.

6. Решете уравнението x² − 8x + 16 = 0.

   • x = ±4
   • x = −4
   • x = 4
   • x = 8

   Отговор: x = 4

   (x − 4)² = 0, D = 64 − 64 = 0, двоен корен x = 4.

7. Решете уравнението 2x² − 7x + 3 = 0.

   • x = −3 и x = −1/2
   • x = 3 и x = 2
   • x = 3 и x = 1/2
   • x = 6 и x = 1

   Отговор: x = 3 и x = 1/2

   D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/4, т.е. 3 и 1/2.

8. Решете уравнението 3x² + 5x − 2 = 0.

   • x = −1/3 и x = 2
   • x = 3 и x = −2
   • x = 1/3 и x = −2
   • x = 1 и x = −2/3

   Отговор: x = 1/3 и x = −2

   D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/6, т.е. x = 1/3 или x = −2.

9. Решете уравнението x² + 6x + 10 = 0.

   • x = −1 и x = −5
   • няма реални корени
   • x = −3
   • x = 2 и x = −5

   Отговор: няма реални корени

   D = 36 − 40 = −4 < 0.

10. Колко различни реални корена има уравнението 4x² − 12x + 9 = 0?

    • 2
    • 1
    • 0
    • безброй много

    Отговор: 1

    D = 144 − 144 = 0, затова има един (двоен) корен x = 1,5.

11. Решете уравнението x² − 4x − 1 = 0.

    • x = −2 ± √5
    • x = 4 ± √5
    • x = 2 ± √3
    • x = 2 ± √5

    Отговор: x = 2 ± √5

    По съкратената формула: x = 2 ± √(4 + 1) = 2 ± √5.

12. Решете уравнението x² − 2√3·x + 2 = 0.

    • x = 1 ± √3
    • x = 2√3 ± 2
    • няма реални корени
    • x = √3 ± 1

    Отговор: x = √3 ± 1

    D = 12 − 8 = 4, x = (2√3 ± 2)/2 = √3 ± 1.

13. За кои стойности на a уравнението x² − 6x + a = 0 няма реални корени?

    • a > 9
    • a < 9
    • a ≥ 9
    • a > 36

    Отговор: a > 9

    D = 36 − 4a 9.

14. За коя положителна стойност на k уравнението x² + kx + 9 = 0 има два равни корена?

    • k = 3
    • k = 6
    • k = 9
    • k = 36

    Отговор: k = 6

    Равни корени има при D = 0: k² − 36 = 0, а положителната стойност е k = 6.

15. За кои стойности на m уравнението mx² + 4x + 1 = 0 е квадратно и има два различни реални корена?

    • m < 4
    • m < 4 и m ≠ 0
    • m > 4
    • m ≤ 4

    Отговор: m < 4 и m ≠ 0

    Трябва m ≠ 0 и D = 16 − 4m > 0, т.е. m < 4.

Разлагане на тричлен

1. Разложете на множители x² − 7x + 10.

   • (x + 2)(x + 5)
   • (x − 1)(x − 10)
   • (x + 2)(x − 5)
   • (x − 2)(x − 5)

   Отговор: (x − 2)(x − 5)

   Корените на x² − 7x + 10 = 0 са 2 и 5, затова тричленът е (x − 2)(x − 5).

2. Разложете на множители x² − 25.

   • (x − 5)²
   • (x − 25)(x + 1)
   • (x − 5)(x + 5)
   • x(x − 25)

   Отговор: (x − 5)(x + 5)

   Разлика от квадрати: x² − 5² = (x − 5)(x + 5).

3. Корените на тричлена x² + bx + c са 1 и 4. Как се разлага той?

   • (x + 1)(x + 4)
   • (x − 1)(x − 4)
   • (x − 1)(x + 4)
   • (x + 1)(x − 4)

   Отговор: (x − 1)(x − 4)

   При корени x₁ и x₂: x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂).

4. Разложете на множители 2x² + x − 3.

   • (x + 1)(2x − 3)
   • 2(x − 1)(x + 3)
   • (x − 1)(2x + 3)
   • (2x − 1)(x + 3)

   Отговор: (x − 1)(2x + 3)

   Корените са 1 и −3/2: 2(x − 1)(x + 3/2) = (x − 1)(2x + 3).

5. Разложете на множители x² + x − 12.

   • (x + 4)(x − 3)
   • (x − 4)(x + 3)
   • (x + 6)(x − 2)
   • (x − 6)(x + 2)

   Отговор: (x + 4)(x − 3)

   Корените са 3 и −4, затова x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4).

6. Разложете на множители x² − 6x + 9.

   • (x − 3)²
   • (x + 3)²
   • (x − 3)(x + 3)
   • (x − 9)(x + 1)

   Отговор: (x − 3)²

   Това е точен квадрат: x² − 2·3·x + 3² = (x − 3)².

7. Съкратете дробта (x² − 9)/(x² + x − 6).

   • (x + 3)/(x − 2)
   • (x − 3)/(x − 2)
   • (x − 3)/(x + 2)
   • 3/2

   Отговор: (x − 3)/(x − 2)

   (x − 3)(x + 3)/((x + 3)(x − 2)) = (x − 3)/(x − 2).

8. Разложете на множители 3x² − 5x − 2.

   • (x + 2)(3x − 1)
   • (3x − 2)(x + 1)
   • (x − 1)(3x + 2)
   • (x − 2)(3x + 1)

   Отговор: (x − 2)(3x + 1)

   Корените са 2 и −1/3, затова 3x² − 5x − 2 = 3(x − 2)(x + 1/3) = (x − 2)(3x + 1).

9. Разложете на множители −x² + x + 6.

   • (x − 3)(x + 2)
   • −(x + 3)(x − 2)
   • (3 − x)(2 − x)
   • −(x − 3)(x + 2)

   Отговор: −(x − 3)(x + 2)

   Корените са 3 и −2, a = −1: −(x − 3)(x + 2).

10. Кой тричлен НЕ може да се разложи на линейни множители с реални коефициенти?

    • x² + x + 1
    • x² + x − 1
    • x² − 4x + 4
    • x² − 4

    Отговор: x² + x + 1

    Дискриминантата на x² + x + 1 е 1 − 4 = −3 < 0, затова няма реални корени.

11. Съкратете дробта (2x² − x − 1)/(x² − 1).

    • (2x − 1)/(x − 1)
    • (2x + 1)/(x + 1)
    • 2x + 1
    • (2x + 1)/(x − 1)

    Отговор: (2x + 1)/(x + 1)

    2x² − x − 1 = (x − 1)(2x + 1), а x² − 1 = (x − 1)(x + 1); съкращаваме x − 1.

12. Разложете на множители 4x² − 4x − 3.

    • (2x + 3)(2x − 1)
    • (4x − 3)(x + 1)
    • (2x − 3)(2x + 1)
    • (x − 3)(4x + 1)

    Отговор: (2x − 3)(2x + 1)

    D = 16 + 48 = 64, корени 3/2 и −1/2: 4(x − 3/2)(x + 1/2) = (2x − 3)(2x + 1).

13. Тричленът x² + bx + c има корени −3 и 5. На колко е равно b + c?

    • 17
    • −13
    • 13
    • −17

    Отговор: −17

    x² + bx + c = (x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15, затова b + c = −2 − 15 = −17.

14. Тричленът 2x² + bx − 6 има корен 2. Разложете го на множители.

    • (x − 2)(2x − 3)
    • (x − 2)(2x + 3)
    • (x + 2)(2x − 3)
    • (x − 2)(x + 3)

    Отговор: (x − 2)(2x + 3)

    8 + 2b − 6 = 0, откъдето b = −1. Корените на 2x² − x − 6 са 2 и −3/2: (x − 2)(2x + 3).

15. Съкратете дробта (x² − 5x + 6)/(2x² − 5x − 3).

    • (x − 2)/(2x + 1)
    • (x − 3)/(2x + 1)
    • (x − 2)/(2x − 1)
    • (x + 2)/(2x + 1)

    Отговор: (x − 2)/(2x + 1)

    Числителят е (x − 2)(x − 3), знаменателят е (x − 3)(2x + 1). Съкращаваме на x − 3.

Свеждане до квадратни

1. Кое от уравненията е биквадратно?

   • x³ − 5x + 4 = 0
   • x⁴ − 5x³ + 4 = 0
   • x⁴ − 5x² + 4 = 0
   • x² − 5x + 4 = 0

   Отговор: x⁴ − 5x² + 4 = 0

   Биквадратното уравнение има вида ax⁴ + bx² + c = 0.

2. С кое полагане уравнението x⁴ − 13x² + 36 = 0 се свежда до квадратно?

   • x⁴ = t
   • x = t²
   • 2x = t
   • x² = t

   Отговор: x² = t

   Полагаме x² = t и получаваме t² − 13t + 36 = 0.

3. Колко най-много реални корена може да има едно биквадратно уравнение?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 8

   Отговор: 4

   Полученото квадратно уравнение има най-много 2 положителни корена t, а всеки дава x = ±√t.

4. Решете уравнението x⁴ − 5x² + 4 = 0.

   • x = 1 и x = 4
   • x = ±1 и x = ±2
   • x = ±1
   • x = ±2 и x = ±4

   Отговор: x = ±1 и x = ±2

   t = x²: t² − 5t + 4 = 0, t = 1 или t = 4, откъдето x = ±1 или x = ±2.

5. Решете уравнението x⁴ − 16 = 0.

   • x = ±2
   • x = ±4
   • x = 2
   • x = ±8

   Отговор: x = ±2

   x⁴ = 16, т.е. x² = 4 (x² = −4 е невъзможно), откъдето x = ±2.

6. Решете уравнението x⁴ − 9x² = 0.

   • x = 0 и x = ±3
   • x = ±3
   • x = 0 и x = 9
   • x = ±9

   Отговор: x = 0 и x = ±3

   x²(x² − 9) = 0, откъдето x = 0 или x = ±3.

7. Колко реални корена има уравнението x⁴ − 3x² − 4 = 0?

   • 2
   • 4
   • 0
   • 1

   Отговор: 2

   t² − 3t − 4 = 0 дава t = 4 или t = −1. Само x² = 4 има решения: x = ±2.

8. Колко реални корена има уравнението x⁴ + 5x² + 6 = 0?

   • 2
   • 4
   • 0
   • 1

   Отговор: 0

   При x² = t: t² + 5t + 6 = 0, t = −2 или t = −3. И двете са отрицателни, затова няма реални корени.

9. Решете уравнението (x² − 1)² = 9.

   • x = 2
   • x = ±2
   • x = ±2 и x = 0
   • x = ±√10

   Отговор: x = ±2

   x² − 1 = 3 или x² − 1 = −3. Първото дава x = ±2, второто x² = −2 няма решение.

10. Решете уравнението (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0.

    • x = 3 и x = −1
    • x = −3, x = 1 и x = −1
    • x = 1
    • x = −1, x = 1 и x = 3

    Отговор: x = −1, x = 1 и x = 3

    t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0, t = 3 или t = −1. x² − 2x = 3 дава 3 и −1, а x² − 2x = −1 дава 1.

11. Решете уравнението x³ − 4x = 0.

    • x = ±2
    • x = 0 и x = 4
    • x = 0 и x = 2
    • x = 0 и x = ±2

    Отговор: x = 0 и x = ±2

    x(x² − 4) = 0, откъдето x = 0, x = 2 или x = −2.

12. Решете уравнението 2x⁴ − 7x² − 4 = 0.

    • x = ±4
    • x = ±1/2
    • x = ±2 и x = ±(√2)/2
    • x = ±2

    Отговор: x = ±2

    При x² = t: 2t² − 7t − 4 = 0, t = 4 или t = −1/2. Само t = 4 дава x = ±2.

13. Решете уравнението x³ − 2x² − 9x + 18 = 0.

    • x = −2 и x = ±3
    • x = 2 и x = 3
    • x = 2 и x = ±3
    • x = ±3

    Отговор: x = 2 и x = ±3

    x²(x − 2) − 9(x − 2) = (x − 2)(x − 3)(x + 3) = 0.

14. Решете уравнението (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

    • x = 0 и x = 5
    • x = 0 и x = −5
    • x = −1 и x = −4
    • x = 1 и x = −5

    Отговор: x = 0 и x = −5

    (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) = 24. При t = x² + 5x + 4: t(t + 2) = 24, t = 4 или t = −6. От x² + 5x = 0 следва x = 0 или x = −5, а x² + 5x + 10 = 0 няма реални корени.

15. Решете уравнението x⁴ − 4x³ + 4x² − 1 = 0.

    • x = 1 и x = 1 ± √2
    • x = ±1
    • x = 1 ± √2
    • x = 1

    Отговор: x = 1 и x = 1 ± √2

    (x² − 2x)² − 1 = 0, т.е. x² − 2x = 1 или x² − 2x = −1. Корени: 1 ± √2 и x = 1.

Формули на Виет

1. На колко е равен сборът на корените на уравнението x² − 9x + 14 = 0?

   • −9
   • 9
   • 14
   • −14

   Отговор: 9

   По Виет x₁ + x₂ = −b/a = 9.

2. На колко е равно произведението на корените на уравнението x² + 3x − 10 = 0?

   • 3
   • −3
   • −10
   • 10

   Отговор: −10

   По Виет x₁·x₂ = c/a = −10.

3. Кои са формулите на Виет за уравнението x² + px + q = 0?

   • x₁ + x₂ = p, x₁x₂ = q
   • x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q
   • x₁ + x₂ = q, x₁x₂ = −p
   • x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = −q

   Отговор: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q

   За приведеното уравнение сборът на корените е −p, а произведението q.

4. Единият корен на уравнението x² + px − 12 = 0 е 3. Намерете другия корен.

   • −4
   • 4
   • −9
   • 9

   Отговор: −4

   По Виет x₁·x₂ = −12, затова другият корен е −12 : 3 = −4.

5. На колко е равен сборът на корените на уравнението 2x² − 8x + 3 = 0?

   • 4
   • 8
   • −4
   • 3/2

   Отговор: 4

   x₁ + x₂ = −b/a = 8/2 = 4.

6. Отгатнете корените на уравнението x² − 7x + 12 = 0 с формулите на Виет.

   • 3 и 4
   • −3 и −4
   • 2 и 6
   • 1 и 12

   Отговор: 3 и 4

   Търсим числа със сбор 7 и произведение 12: 3 и 4.

7. x₁ и x₂ са корените на x² − 5x + 3 = 0. Намерете x₁² + x₂².

   • 25
   • 31
   • 22
   • 19

   Отговор: 19

   x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 6 = 19.

8. Без да решавате уравнението x² − 5x − 6 = 0, определете знаците на корените му.

   • двата корена са положителни
   • двата корена са отрицателни
   • няма реални корени
   • корените са с различни знаци

   Отговор: корените са с различни знаци

   x₁·x₂ = −6 < 0, затова корените са с различни знаци (те са 6 и −1).

9. x₁ и x₂ са корените на x² − 4x − 7 = 0. Намерете (x₁ − x₂)².

   • 16
   • 2
   • 44
   • −12

   Отговор: 44

   (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 16 + 28 = 44.

10. Кое квадратно уравнение има корени 2 и −7?

    • x² − 5x − 14 = 0
    • x² + 5x + 14 = 0
    • x² + 5x − 14 = 0
    • x² − 9x − 14 = 0

    Отговор: x² + 5x − 14 = 0

    Сборът е −5, а произведението е −14: x² − (−5)x + (−14) = x² + 5x − 14.

11. x₁ и x₂ са корените на уравнението x² − 6x + 4 = 0. Намерете 1/x₁ + 1/x₂.

    • 2/3
    • 3/2
    • −3/2
    • 6

    Отговор: 3/2

    1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁·x₂) = 6/4 = 3/2.

12. Единият корен на уравнението x² − 5x + q = 0 е с 3 по-голям от другия. Намерете q.

    • 6
    • −4
    • 10
    • 4

    Отговор: 4

    x₁ + x₂ = 5 и x₁ − x₂ = 3, значи корените са 4 и 1, а q = 4.

13. За коя стойност на m единият корен на x² − 6x + m = 0 е два пъти по-голям от другия?

    • m = 9
    • m = 8
    • m = 4
    • m = 12

    Отговор: m = 8

    Нека корените са t и 2t. Тогава 3t = 6, t = 2, а m = 2·4 = 8.

14. x₁ и x₂ са корените на уравнението x² + 3x − 5 = 0. Намерете x₁²x₂ + x₁x₂².

    • −15
    • 15
    • 8
    • −8

    Отговор: 15

    x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = (−5)·(−3) = 15.

15. x₁ и x₂ са корените на x² − 3x − 1 = 0. Кое уравнение има корени x₁ + 1 и x₂ + 1?

    • x² − 5x + 3 = 0
    • x² − 5x − 3 = 0
    • x² − 4x + 3 = 0
    • x² + 5x + 3 = 0

    Отговор: x² − 5x + 3 = 0

    Сборът на новите корени е 3 + 2 = 5, а произведението x₁x₂ + (x₁ + x₂) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3.

Финален въпрос