Квадратен корен

Ирационални числа

1. Кое от числата е ирационално?

   • √7
   • √16
   • 3/4
   • −2,5

   Отговор: √7

   √16 = 4, а 3/4 и −2,5 са дроби. 7 не е точен квадрат, затова √7 е ирационално.

2. Как се записва всяко ирационално число в десетична форма?

   • крайна десетична дроб
   • безкрайна периодична десетична дроб
   • безкрайна непериодична десетична дроб
   • цяло число

   Отговор: безкрайна непериодична десетична дроб

   Рационалните числа са крайни или безкрайни периодични дроби, а ирационалните са безкрайни непериодични.

3. С коя буква се означава множеството на рационалните числа?

   • ℕ
   • ℤ
   • ℚ
   • ℝ

   Отговор: ℚ

   ℕ са естествените, ℤ целите, ℚ рационалните, ℝ реалните числа.

4. Между кои две последователни цели числа се намира √40?

   • 5 и 6
   • 7 и 8
   • 20 и 21
   • 6 и 7

   Отговор: 6 и 7

   36 < 40 < 49, затова 6 < √40 < 7.

5. Какво число е сборът на рационално и ирационално число?

   • ирационално
   • рационално
   • цяло
   • може да е рационално или ирационално

   Отговор: ирационално

   Ако сборът беше рационален, ирационалното число щеше да е разлика на две рационални числа, т.е. рационално, а това е невъзможно.

6. Какво число е π?

   • цяло
   • ирационално
   • рационално
   • естествено

   Отговор: ирационално

   π = 3,14159... е безкрайна непериодична дроб, т.е. ирационално число.

7. Кое от числата е рационално?

   • √2 + 1
   • √8
   • √12 · √3
   • √5/5

   Отговор: √12 · √3

   √12 · √3 = √36 = 6.

8. Колко естествени числа n удовлетворяват неравенството √n < 4?

   • 16
   • 4
   • 3
   • 15

   Отговор: 15

   √n < 4 означава n < 16, т.е. n = 1, 2, ..., 15.

9. Кое е вярно за произведението на две ирационални числа?

   • винаги е ирационално
   • винаги е рационално
   • може да е и рационално, и ирационално
   • винаги е цяло

   Отговор: може да е и рационално, и ирационално

   √2·√2 = 2 е рационално, а √2·√3 = √6 е ирационално.

10. Колко цели числа има между −√10 и √30?

    • 8
    • 9
    • 10
    • 7

    Отговор: 9

    −√10 ≈ −3,16 и √30 ≈ 5,48. Целите числа са от −3 до 5, т.е. 9.

11. Само едно от числата е ирационално. Кое е то?

    • √0,09
    • √1,6
    • √2,25
    • √(4/9)

    Отговор: √1,6

    √0,09 = 0,3, √2,25 = 1,5 и √(4/9) = 2/3, а 1,6 = 8/5 не е квадрат на рационално число.

12. Колко ирационални числа има между 1 и 2?

    • нито едно
    • едно
    • точно 10
    • безбройно много

    Отговор: безбройно много

    Например √2, √3, 1 + √2/10, 1 + √2/100 и т.н. са безбройно много.

13. Кое е най-малкото естествено число n, за което √(12n) е естествено число?

    • 3
    • 12
    • 2
    • 6

    Отговор: 3

    12n = 4·3·n трябва да е точен квадрат, затова най-малкото n е 3: √36 = 6.

14. Колко от числата √1, √2, √3, ..., √50 са рационални?

    • 5
    • 7
    • 6
    • 8

    Отговор: 7

    Рационални са корените от точните квадрати 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49, т.е. 7 числа.

15. a = 2 + √3 и b = 2 − √3. Кое от числата a + b, a − b и a·b е ирационално?

    • a + b
    • a − b
    • a·b
    • нито едно

    Отговор: a − b

    a + b = 4, a·b = 4 − 3 = 1, а a − b = 2√3 е ирационално.

Квадратен корен

1. На колко е равно √(0,36)?

   • 0,06
   • 6
   • 0,18
   • 0,6

   Отговор: 0,6

   0,6² = 0,36.

2. На колко е равно √81?

   • 3
   • 18
   • 40,5
   • 9

   Отговор: 9

   9² = 81, а 9 ≥ 0, затова √81 = 9.

3. Какво може да се каже за квадратния корен от отрицателно число?

   • е отрицателно число
   • не е определен
   • е нула
   • е положително число

   Отговор: не е определен

   Квадратът на всяко реално число е неотрицателен, затова √ от отрицателно число не е определен.

4. На колко е равно √((−7)²)?

   • −7
   • 49
   • 7
   • 14

   Отговор: 7

   √(a²) = |a|, а |−7| = 7.

5. Решете уравнението √x = 5.

   • x = 25
   • x = √5
   • x = 10
   • x = 5

   Отговор: x = 25

   Повдигаме на квадрат: x = 5² = 25.

6. На колко е равно (√11)²?

   • 11
   • √11
   • 121
   • 22

   Отговор: 11

   (√a)² = a при a ≥ 0.

7. При кои стойности на x изразът √(6 − 2x) има смисъл?

   • x ≥ 3
   • x ≤ 3
   • x < 3
   • x ≤ −3

   Отговор: x ≤ 3

   Подкоренната величина трябва да е неотрицателна: 6 − 2x ≥ 0, т.е. x ≤ 3.

8. При кои стойности на x е вярно равенството √(x²) = x?

   • за всяко x
   • x ≤ 0
   • x ≥ 0
   • x > 1

   Отговор: x ≥ 0

   √(x²) = |x|, а |x| = x само при x ≥ 0.

9. Решете уравнението x² = 7.

   • x = √7
   • x = 49
   • x = ±49
   • x = ±√7

   Отговор: x = ±√7

   Числата, чийто квадрат е 7, са √7 и −√7.

10. Намерете стойността на √(x² − 6x + 9) при x = −2.

    • 5
    • −5
    • 1
    • 25

    Отговор: 5

    √((x − 3)²) = |x − 3| = |−5| = 5.

11. Решете уравнението √(x − 3) = 4.

    • x = 7
    • x = 13
    • x = 1
    • x = 19

    Отговор: x = 19

    x − 3 = 16, откъдето x = 19.

12. При кои стойности на x изразът 1/√(x − 5) има смисъл?

    • x ≥ 5
    • x > 5
    • x ≠ 5
    • x < 5

    Отговор: x > 5

    Трябва x − 5 ≥ 0 и коренът да не е 0, т.е. x − 5 > 0.

13. Опростете √((√5 − 3)²).

    • √5 − 3
    • √5 + 3
    • −2
    • 3 − √5

    Отговор: 3 − √5

    √(a²) = |a|. Понеже √5 < 3, |√5 − 3| = 3 − √5.

14. Опростете √((2 − √7)²) + √((3 − √7)²).

    • 5 − 2√7
    • 1
    • 2√7 − 5
    • 5

    Отговор: 1

    Понеже 2 < √7 < 3, получаваме (√7 − 2) + (3 − √7) = 1.

15. Пресметнете √(16·25·0,04).

    • 40
    • 0,4
    • 4
    • 20

    Отговор: 4

    √16·√25·√0,04 = 4·5·0,2 = 4.

Действия с корени

1. На колко е равно √2 · √18?

   • √20
   • 36
   • 6
   • 9

   Отговор: 6

   √2 · √18 = √36 = 6.

2. На колко е равно √3 · √3?

   • 9
   • √6
   • 3
   • 6

   Отговор: 3

   √a · √a = a за a ≥ 0, затова √3 · √3 = 3.

3. Пресметнете 3√5 + 2√5.

   • 5√10
   • 5√5
   • 6√5
   • √25

   Отговор: 5√5

   Събираме подобни: (3 + 2)√5 = 5√5.

4. Изнесете множител пред корена: √75.

   • 3√5
   • 5√3
   • 25√3
   • 15√5

   Отговор: 5√3

   √75 = √(25·3) = 5√3.

5. Пресметнете √50 : √2.

   • 5
   • 25
   • 10
   • √48

   Отговор: 5

   √50 : √2 = √(50 : 2) = √25 = 5.

6. Пресметнете √(9·49).

   • 21
   • 58
   • 441
   • 16

   Отговор: 21

   √9·√49 = 3·7 = 21.

7. Опростете √12 + √27 − √48.

   • √3
   • −√3
   • 0
   • 3√3

   Отговор: √3

   2√3 + 3√3 − 4√3 = √3.

8. Внесете множителя под корена: 3√2.

   • √6
   • √12
   • √36
   • √18

   Отговор: √18

   3√2 = √(9·2) = √18.

9. Пресметнете √8·√2 + √27 : √3.

   • 5
   • 12
   • 7
   • 10

   Отговор: 7

   √16 + √9 = 4 + 3 = 7.

10. Пресметнете (√7 − √3)(√7 + √3).

    • 10
    • 2√21
    • 16
    • 4

    Отговор: 4

    По формулата (a − b)(a + b) = a² − b²: 7 − 3 = 4.

11. Пресметнете (√6 + √2)².

    • 8
    • 8 + 4√3
    • 8 + 2√3
    • 10 + 4√3

    Отговор: 8 + 4√3

    6 + 2√12 + 2 = 8 + 2·2√3 = 8 + 4√3.

12. Опростете √(18a²) при a > 0.

    • 9a√2
    • 3√(2a)
    • 2a√3
    • 3a√2

    Отговор: 3a√2

    √(9·2·a²) = 3a√2, защото a > 0.

13. Пресметнете (2√3 − 1)² + 4√3.

    • 11
    • 13 + 8√3
    • 13
    • 11 + 8√3

    Отговор: 13

    (2√3 − 1)² = 12 − 4√3 + 1 = 13 − 4√3. Добавяме 4√3 и получаваме 13.

14. Опростете √(7 + 4√3).

    • 1 + 2√3
    • 2 + √3
    • 3 + √2
    • 4 + √3

    Отговор: 2 + √3

    (2 + √3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3, а 2 + √3 > 0.

15. Пресметнете (√5 + √3)² − (√5 − √3)².

    • 4√15
    • 0
    • 16
    • 2√15

    Отговор: 4√15

    (8 + 2√15) − (8 − 2√15) = 4√15.

Сравняване

1. Кое от числата е най-голямо?

   • 2√3
   • 3√2
   • √17
   • 4

   Отговор: 3√2

   Сравняваме квадратите: 18, 12, 17 и 16. Най-голям е 18, т.е. 3√2.

2. Кое от двете числа е по-голямо: √17 или 4?

   • 4
   • равни са
   • не могат да се сравнят
   • √17

   Отговор: √17

   4 = √16, а 17 > 16, затова √17 > 4.

3. Кое от числата е по-малко от 2?

   • √3
   • √5
   • √4
   • √8

   Отговор: √3

   2 = √4, а от дадените само √3 < √4.

4. Кое от числата е най-малко?

   • 2√6
   • 5
   • √26
   • 3√3

   Отговор: 2√6

   Квадратите са 24, 25, 26 и 27. Най-малкото е 2√6.

5. Подредете във възходящ ред числата 2√3, 3√2 и 4.

   • 2√3 < 4 < 3√2
   • 3√2 < 4 < 2√3
   • 4 < 2√3 < 3√2
   • 2√3 < 3√2 < 4

   Отговор: 2√3 < 4 < 3√2

   2√3 = √12, 4 = √16 и 3√2 = √18, а 12 < 16 < 18.

6. Подредете във възходящ ред числата √10, 3 и π.

   • π < 3 < √10
   • 3 < π < √10
   • √10 < π < 3
   • 3 < √10 < π

   Отговор: 3 < π < √10

   √10 ≈ 3,162, а π ≈ 3,142, значи 3 < π < √10.

7. Кое неравенство е вярно?

   • √7 − √3 > 2
   • √15 > 4
   • √2 > 1,5
   • √7 + √3 > √10

   Отговор: √7 + √3 > √10

   (√7 + √3)² = 10 + 2√21 > 10. Останалите са неверни: √7 − √3 ≈ 0,91; √15 < √16; √2 ≈ 1,41.

8. Сравнете числата 5√2 и 7.

   • 5√2 < 7
   • 5√2 = 7
   • 5√2 > 7
   • не могат да се сравнят

   Отговор: 5√2 > 7

   5√2 = √50, а 7 = √49, затова 5√2 > 7.

9. Сравнете числата −√5 и −2,3.

   • −√5 > −2,3
   • −√5 < −2,3
   • −√5 = −2,3
   • не могат да се сравнят

   Отговор: −√5 > −2,3

   √5 ≈ 2,236 −2,3.

10. Коя от разликите е най-голяма?

    • √11 − √10
    • √12 − √11
    • √10 − √9
    • √13 − √12

    Отговор: √10 − √9

    √(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n) намалява при растящо n, затова най-голямо е √10 − √9.

11. Кое от числата е между 3 и 4?

    • √8
    • √17
    • 2√5
    • √10

    Отговор: √10

    3 = √9 и 4 = √16, а само 10 е между 9 и 16 (2√5 = √20).

12. Колко естествени числа има между √20 и √90?

    • 4
    • 6
    • 70
    • 5

    Отговор: 5

    √20 ≈ 4,47, √90 ≈ 9,49. Между тях са 5, 6, 7, 8 и 9.

13. Кой от сборовете е най-голям?

    • √3 + √6
    • √4 + √5
    • √2 + √7
    • √1 + √8

    Отговор: √4 + √5

    Квадратите са 9 + 2√20, 9 + 2√18, 9 + 2√14 и 9 + 2√8. Най-голям е първият.

14. Сравнете числата 3 + √2 и 2 + √5.

    • 3 + √2 < 2 + √5
    • 3 + √2 > 2 + √5
    • 3 + √2 = 2 + √5
    • не могат да се сравнят

    Отговор: 3 + √2 > 2 + √5

    Сравняваме 1 + √2 и √5: (1 + √2)² = 3 + 2√2 > 5, защото 2√2 = √8 > 2.

15. Сравнете числата √(2 + √3) и (√6 + √2)/2.

    • първото е по-голямо
    • второто е по-голямо
    • равни са
    • не могат да се сравнят

    Отговор: равни са

    ((√6 + √2)/2)² = (8 + 2√12)/4 = 2 + √3. Двете положителни числа имат равни квадрати.

Рационализиране

1. Рационализирайте знаменателя: 6/√3.

   • 2√3
   • 6√3
   • √3/2
   • 3√2

   Отговор: 2√3

   6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

2. Рационализирайте знаменателя: 1/√2.

   • √2
   • 1/2
   • √2/2
   • 2√2

   Отговор: √2/2

   Умножаваме числителя и знаменателя по √2: √2/2.

3. С кое число трябва да се умножат числителят и знаменателят на 1/√7, за да се рационализира знаменателят?

   • 7
   • √7
   • 1/√7
   • √7 − 1

   Отговор: √7

   √7·√7 = 7, затова умножаваме с √7: 1/√7 = √7/7.

4. Рационализирайте знаменателя: 1/(√3 − 1).

   • √3 + 1
   • (√3 − 1)/2
   • (√3 + 1)/4
   • (√3 + 1)/2

   Отговор: (√3 + 1)/2

   Умножаваме по √3 + 1: (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2.

5. Опростете √3/√6.

   • √2/2
   • √2
   • 1/2
   • √3/2

   Отговор: √2/2

   √3/√6 = √(1/2) = 1/√2 = √2/2.

6. С кой израз се умножават числителят и знаменателят на 1/(√5 + 2), за да се рационализира знаменателят?

   • √5 − 2
   • √5 + 2
   • √5
   • 5 − 2

   Отговор: √5 − 2

   Със спрегнатия израз: (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1.

7. Пресметнете 4/(√5 + 1) + 4/(√5 − 1).

   • 2
   • √5
   • 2√5
   • 4√5

   Отговор: 2√5

   4/(√5 + 1) = √5 − 1 и 4/(√5 − 1) = √5 + 1. Сборът е 2√5.

8. Рационализирайте знаменателя: 2/(√5 − √3).

   • √5 − √3
   • (√5 + √3)/2
   • 2√5 + 2√3
   • √5 + √3

   Отговор: √5 + √3

   Умножаваме по √5 + √3: 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3.

9. Рационализирайте знаменателя: 4/(3 + √5).

   • 3 + √5
   • (3 − √5)/2
   • 3 − √5
   • 2(3 − √5)

   Отговор: 3 − √5

   4(3 − √5)/((3 + √5)(3 − √5)) = 4(3 − √5)/4 = 3 − √5.

10. Рационализирайте знаменателя: 3/(2√3).

    • √3/3
    • √3/2
    • 2√3
    • 3√3/2

    Отговор: √3/2

    3/(2√3) = 3√3/(2·3) = √3/2.

11. Пресметнете 1/(2 − √3) − √3.

    • 2√3
    • 2
    • 2 + 2√3
    • 4

    Отговор: 2

    1/(2 − √3) = (2 + √3)/(4 − 3) = 2 + √3, а 2 + √3 − √3 = 2.

12. Опростете √(3/5), като рационализирате знаменателя.

    • √3/5
    • √15/3
    • 3/√5
    • √15/5

    Отговор: √15/5

    √3/√5 = √3·√5/5 = √15/5.

13. Опростете (√7 + √2)/(√7 − √2).

    • (9 + 2√14)/5
    • (9 + 2√14)/9
    • (5 + 2√14)/5
    • 1

    Отговор: (9 + 2√14)/5

    Умножаваме по √7 + √2: (7 + 2√14 + 2)/(7 − 2) = (9 + 2√14)/5.

14. Пресметнете (√3 + 1)/(√3 − 1) − (√3 − 1)/(√3 + 1).

    • 4
    • 2√3
    • 0
    • √3

    Отговор: 2√3

    Първата дроб е (√3 + 1)²/2 = 2 + √3, а втората е 2 − √3. Разликата е 2√3.

15. Пресметнете 1/(1 + √2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3 + 2).

    • 1
    • 2
    • √3
    • 2 − √2

    Отговор: 1

    Рационализираме: (√2 − 1) + (√3 − √2) + (2 − √3) = 1.

Финален въпрос