Математика 7 клас: преговор втори срок, към НВО

Еднакви триъгълници

1. В равнобедрен триъгълник ABC (AC = BC) ∠A = 70°. Колко градуса е ∠C?

   • 70°
   • 40°
   • 110°
   • 55°

   Отговор: 40°

   Ъглите при основата са равни: ∠B = ∠A = 70°, затова ∠C = 180° − 2·70° = 40°.

2. Колко градуса е всеки остър ъгъл на равнобедрен правоъгълен триъгълник?

   • 90°
   • 45°
   • 60°
   • 30°

   Отговор: 45°

   Двата остри ъгъла са равни и сборът им е 90°.

3. Колко градуса е всеки ъгъл на равностранен триъгълник?

   • 45°
   • 60°
   • 90°
   • 30°

   Отговор: 60°

   Ъглите на равностранния триъгълник са равни, а сборът им е 180°: 180° : 3 = 60°.

4. В равностранен триъгълник ABC точката M е среда на AB. Колко градуса е ∠ACM?

   • 30°
   • 60°
   • 45°
   • 90°

   Отговор: 30°

   Медианата CM е и ъглополовяща на ∠C = 60°, затова ∠ACM = 30°.

5. ΔABC ≅ ΔKLM и ∠B = 47°. Колко градуса е ∠L?

   • 133°
   • 43°
   • 94°
   • 47°

   Отговор: 47°

   В еднаквите триъгълници съответните ъгли са равни: ∠L съответства на ∠B.

6. Кой признак за еднаквост на триъгълници използва две страни и ъгъла между тях?

   • I признак
   • II признак
   • III признак
   • IV признак

   Отговор: I признак

   I признак: две страни и ъгълът между тях. II признак: страна и двата прилежащи ъгъла. III признак: три страни.

7. В правоъгълен триъгълник ABC (∠C = 90°) ∠A = 30° и AB = 14 cm. Колко сантиметра е BC?

   • 7 cm
   • 28 cm
   • 14 cm
   • 3,5 cm

   Отговор: 7 cm

   Катетът срещу ъгъл 30° е половината от хипотенузата: BC = 14 : 2 = 7 cm.

8. В ΔABC AC = BC, а външният ъгъл при върха C е 100°. Колко градуса е ∠A?

   • 80°
   • 40°
   • 100°
   • 50°

   Отговор: 50°

   Външният ъгъл е ∠A + ∠B = 100°, а ∠A = ∠B, значи ∠A = 50°.

9. В ΔABC медианата CM е равна на половината от страната AB. Колко градуса е ∠ACB?

   • 60°
   • 90°
   • 120°
   • 45°

   Отговор: 90°

   Щом MA = MB = MC, триъгълниците AMC и BMC са равнобедрени и ∠ACB = ∠A + ∠B. Тъй като сборът е 180°, ∠ACB = 90°.

10. В правоъгълен триъгълник ABC (∠C = 90°) CM е медиана и ∠A = 25°. Колко градуса е ∠BMC?

    • 25°
    • 50°
    • 65°
    • 130°

    Отговор: 50°

    CM = AM (медианата към хипотенузата е половината от нея), затова ∠ACM = ∠A = 25°. ∠BMC е външен за ΔAMC: 25° + 25° = 50°.

11. В ΔABC AC = BC, ∠C = 40°, а AH е височина (H е на BC). Колко градуса е ∠BAH?

    • 30°
    • 20°
    • 50°
    • 70°

    Отговор: 20°

    ∠B = (180° − 40°) : 2 = 70°, а в правоъгълния ΔABH ∠BAH = 90° − 70° = 20°.

12. Точката M лежи на симетралата на отсечката AB. Ако MA = 7 cm и AB = 6 cm, колко сантиметра е периметърът на ΔABM?

    • 13 cm
    • 17 cm
    • 20 cm
    • 21 cm

    Отговор: 20 cm

    Всяка точка от симетралата е на равни разстояния от A и B, затова MB = 7 cm. Периметърът е 7 + 7 + 6 = 20 cm.

13. Симетралата на страната AB на ΔABC пресича страната BC в точка D. Ако AC = 8 cm и BC = 11 cm, колко сантиметра е периметърът на ΔADC?

    • 27 cm
    • 22 cm
    • 16 cm
    • 19 cm

    Отговор: 19 cm

    D е от симетралата, затова DA = DB. P = AD + DC + AC = BD + DC + AC = BC + AC = 11 + 8 = 19 cm.

14. В правоъгълен ΔABC (∠C = 90°) ∠A = 15° и AB = 12 cm. Колко сантиметра е височината CH?

    • 3 cm
    • 6 cm
    • 4 cm
    • 2 cm

    Отговор: 3 cm

    Медианата CM = 6 cm и ∠BMC = 2·15° = 30°. В ΔMHC катетът CH срещу 30° е CM : 2 = 3 cm.

15. В ΔABC ∠A = 40° и ∠B = 60°. Ъглополовящите на ∠A и ∠B се пресичат в точка O. Колко градуса е ∠AOB?

    • 100°
    • 120°
    • 140°
    • 130°

    Отговор: 130°

    В ΔABO ∠OAB = 20° и ∠OBA = 30°, затова ∠AOB = 180° − 50° = 130°.

Линейни неравенства

1. Решете неравенството 2x − 3 > 7.

   • x > 2
   • x < 5
   • x > 5
   • x > 10

   Отговор: x > 5

   2x > 10, откъдето x > 5.

2. Кое число е решение на неравенството x − 4 > 1?

   • 5
   • 4
   • 6
   • 0

   Отговор: 6

   x > 5, а от числата само 6 е по-голямо от 5.

3. Кое от числата НЕ е решение на неравенството x < 3?

   • 2
   • 0
   • −5
   • 3

   Отговор: 3

   3 < 3 не е вярно, а останалите числа са по-малки от 3.

4. Решете неравенството −3x ≤ 12.

   • x ≤ −4
   • x ≥ 4
   • x ≥ −4
   • x ≤ 4

   Отговор: x ≥ −4

   Делим на −3 и обръщаме знака: x ≥ −4.

5. Решете неравенството x/3 ≥ 2.

   • x ≤ 6
   • x ≥ 2/3
   • x ≥ 5
   • x ≥ 6

   Отговор: x ≥ 6

   Умножаваме двете страни по 3 > 0 и знакът се запазва.

6. Какво става със знака на неравенство, когато умножим двете му страни с отрицателно число?

   • запазва се
   • обръща се
   • става равенство
   • изчезва

   Отговор: обръща се

   При умножение или деление с отрицателно число знакът на неравенството се обръща.

7. Кое е най-малкото цяло число, което е решение на неравенството 5(x − 2) > 2x + 3?

   • 4
   • 13
   • 5
   • 6

   Отговор: 5

   5x − 10 > 2x + 3, 3x > 13, x > 13/3 = 4 1/3. Най-малкото цяло число е 5.

8. Колко естествени числа са решения на неравенството 2x − 1 < 9?

   • 5
   • 4
   • 9
   • 3

   Отговор: 4

   2x < 10, x < 5, значи решенията са 1, 2, 3 и 4.

9. Решете неравенството 4 − x ≥ 2x − 5.

   • x ≥ 3
   • x ≤ −3
   • x ≤ 3
   • x ≥ −3

   Отговор: x ≤ 3

   −x − 2x ≥ −5 − 4, −3x ≥ −9, x ≤ 3 (знакът се обръща).

10. Решете неравенството (x − 1)/2 − (x + 2)/3 < 1.

    • x < 1
    • x < 13
    • x > 13
    • x < 5

    Отговор: x < 13

    Умножаваме по 6: 3x − 3 − 2x − 4 < 6, откъдето x < 13.

11. Решете неравенството (x + 2)² − x² > 0.

    • x < −1
    • x > 1
    • x > −1
    • x > −4

    Отговор: x > −1

    (x + 2)² − x² = 4x + 4 > 0, откъдето x > −1.

12. Кои цели числа са решения и на двете неравенства x > −2 и 2x ≤ 4?

    • −1; 0; 1; 2
    • −2; −1; 0; 1; 2
    • 0; 1; 2
    • −1; 0; 1

    Отговор: −1; 0; 1; 2

    От 2x ≤ 4 следва x ≤ 2. Целите числа с −2 < x ≤ 2 са −1, 0, 1 и 2.

13. За кои стойности на a числото 3 е решение на неравенството ax − 5 > 2a + 1?

    • a > 6
    • a < 6
    • a > −4
    • a > 4

    Отговор: a > 6

    Заместваме x = 3: 3a − 5 > 2a + 1, откъдето a > 6.

14. За кои стойности на m уравнението 2x − m = 4 има положителен корен?

    • m > −4
    • m > 4
    • m < −4
    • m > 0

    Отговор: m > −4

    x = (4 + m)/2 > 0, откъдето m > −4.

15. Решете неравенството 2(x − 3) − 3(x + 1) > x − 5.

    • x > −2
    • x < 2
    • x > 2
    • x < −2

    Отговор: x < −2

    2x − 6 − 3x − 3 > x − 5, −x − 9 > x − 5, −2x > 4, x < −2.

Страни и ъгли в Δ

1. Кои три отсечки могат да бъдат страни на триъгълник?

   • 2 cm, 3 cm, 6 cm
   • 1 cm, 2 cm, 3 cm
   • 3 cm, 4 cm, 5 cm
   • 4 cm, 4 cm, 9 cm

   Отговор: 3 cm, 4 cm, 5 cm

   Всяка страна трябва да е по-малка от сбора на другите две: 5 < 3 + 4.

2. Срещу най-големия ъгъл в триъгълник лежи:

   • най-малката страна
   • най-голямата страна
   • медианата
   • височината

   Отговор: най-голямата страна

   В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

3. Кой е най-големият ъгъл в правоъгълен триъгълник?

   • правият ъгъл
   • най-малкият остър ъгъл
   • всички ъгли са равни
   • зависи от страните

   Отговор: правият ъгъл

   Правият ъгъл е 90°, а другите два са остри и заедно са 90°.

4. Две страни на триъгълник са 4 cm и 9 cm. Колко сантиметра може да е третата страна?

   • 5 cm
   • 7 cm
   • 13 cm
   • 3 cm

   Отговор: 7 cm

   Третата страна c трябва да е 9 − 4 < c < 9 + 4, т.е. 5 < c < 13. От вариантите става само 7 cm.

5. Коя е най-дългата страна в правоъгълен триъгълник?

   • хипотенузата
   • по-дългият катет
   • по-късият катет
   • всички са равни

   Отговор: хипотенузата

   Хипотенузата лежи срещу правия ъгъл, който е най-големият.

6. В ΔABC AB = AC. Кои ъгли са равни?

   • ∠A и ∠B
   • ∠B и ∠C
   • ∠A и ∠C
   • и трите

   Отговор: ∠B и ∠C

   Срещу равни страни лежат равни ъгли. Срещу AC лежи ∠B, а срещу AB лежи ∠C.

7. В ΔABC ∠A = 50° и ∠B = 70°. Коя е най-дългата страна?

   • AC
   • AB
   • BC
   • AB и AC са равни

   Отговор: AC

   ∠C = 60°. Най-големият ъгъл е ∠B = 70°, а срещу него лежи страната AC.

8. В ΔABC AB = 8 cm, BC = 5 cm и AC = 7 cm. Кой е най-малкият ъгъл?

   • ∠B
   • ∠C
   • ∠A
   • ъглите са равни

   Отговор: ∠A

   Най-малката страна е BC, а срещу нея лежи ∠A.

9. В ΔABC ∠A = 45° и ∠B = 65°. Колко градуса е външният ъгъл при върха C?

   • 70°
   • 100°
   • 110°
   • 120°

   Отговор: 110°

   Външният ъгъл е равен на сбора от двата несъседни вътрешни ъгъла: 45° + 65° = 110°.

10. Равнобедрен триъгълник има страни 5 cm и 11 cm. Колко сантиметра е периметърът му?

    • 21 cm
    • 21 cm или 27 cm
    • 16 cm
    • 27 cm

    Отговор: 27 cm

    Ако бедрата са 5 cm, то 5 + 5 < 11 и триъгълник няма. Бедрата са 11 cm: P = 11 + 11 + 5 = 27 cm.

11. Две страни на триъгълник са 6 cm и 10 cm. В какви граници е третата страна c?

    • 6 cm < c < 10 cm
    • 4 cm < c < 10 cm
    • 0 cm < c < 16 cm
    • 4 cm < c < 16 cm

    Отговор: 4 cm < c < 16 cm

    По неравенството на триъгълника 10 − 6 < c < 10 + 6.

12. В ΔABC ∠A = 35° и ∠B = 95°. Как са подредени страните по дължина?

    • BC < AB < AC
    • AB < BC < AC
    • AC < AB < BC
    • BC < AC < AB

    Отговор: BC < AB < AC

    ∠C = 50°. Срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна: BC (срещу 35°) < AB (срещу 50°) < AC (срещу 95°).

13. Страните на триъгълник са 3 cm, 8 cm и x cm, където x е цяло число. Колко са възможните стойности на x?

    • 4
    • 6
    • 11
    • 5

    Отговор: 5

    8 − 3 < x < 8 + 3, т.е. 5 < x < 11: x = 6, 7, 8, 9, 10. Стойностите са 5.

14. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 20 cm, а страните му са цели числа сантиметри. Колко такива триъгълника има?

    • 5
    • 3
    • 4
    • 6

    Отговор: 4

    Ако бедрото е b, основата е 20 − 2b. От 2b > 20 − 2b и 20 − 2b > 0 следва 5 < b < 10, т.е. b = 6, 7, 8, 9.

15. Съществува ли триъгълник със страни 2a, 3a и 5a, където a > 0?

    • да, винаги
    • само при a > 1
    • само при a < 1
    • не, никога

    Отговор: не, никога

    2a + 3a = 5a, а сборът на две страни трябва да е по-голям от третата. Неравенството на триъгълника не е изпълнено.

Успоредник

1. В успоредник ABCD ∠A = 65°. Колко градуса е ∠B?

   • 65°
   • 25°
   • 115°
   • 135°

   Отговор: 115°

   Съседните ъгли на успоредник се допълват до 180°: 180° − 65° = 115°.

2. На колко е равен сборът на ъглите в успоредник?

   • 360°
   • 180°
   • 540°
   • 720°

   Отговор: 360°

   Сборът на ъглите на всеки изпъкнал четириъгълник е 360°.

3. Кой четириъгълник има четири равни страни и четири прави ъгъла?

   • ромб
   • правоъгълник
   • квадрат
   • трапец

   Отговор: квадрат

   Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник.

4. Периметърът на успоредник е 36 cm, а едната му страна е 7 cm. Колко сантиметра е другата страна?

   • 11 cm
   • 29 cm
   • 22 cm
   • 18 cm

   Отговор: 11 cm

   Полупериметърът е 18 cm, затова другата страна е 18 − 7 = 11 cm.

5. Какво е вярно за диагоналите на всеки успоредник?

   • винаги са равни
   • разполовяват се
   • винаги са перпендикулярни
   • винаги са ъглополовящи

   Отговор: разполовяват се

   Пресечната точка на диагоналите на успоредника е среда на всеки от тях.

6. Колко сантиметра е периметърът на ромб със страна 6 cm?

   • 12 cm
   • 24 cm
   • 36 cm
   • 18 cm

   Отговор: 24 cm

   Всички страни на ромба са равни: 4·6 = 24 cm.

7. В ромб ABCD ∠ABC = 120°. Колко градуса е ∠ABD?

   • 30°
   • 120°
   • 45°
   • 60°

   Отговор: 60°

   Диагоналите на ромба са ъглополовящи на ъглите му: 120° : 2 = 60°.

8. Ромб има периметър 20 cm и ъгъл 60°. Колко сантиметра е по-късият му диагонал?

   • 10 cm
   • 20 cm
   • 2,5 cm
   • 5 cm

   Отговор: 5 cm

   Страната е 5 cm, а по-късият диагонал образува със страните равностранен триъгълник.

9. В правоъгълник ABCD диагоналът AC е 10 cm. Колко сантиметра е диагоналът BD?

   • 5 cm
   • 20 cm
   • 10 cm
   • не може да се определи

   Отговор: 10 cm

   Диагоналите на правоъгълника са равни.

10. В правоъгълник ABCD диагоналите се пресичат в точка O и ∠AOB = 50°. Колко градуса е ∠OAB?

    • 50°
    • 25°
    • 65°
    • 130°

    Отговор: 65°

    Диагоналите на правоъгълника са равни и се разполовяват, затова OA = OB и ∠OAB = (180° − 50°) : 2 = 65°.

11. В успоредник ABCD ∠A : ∠B = 2 : 7. Колко градуса е ∠C?

    • 40°
    • 140°
    • 80°
    • 50°

    Отговор: 40°

    ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 40°, а ∠C = ∠A = 40°.

12. В успоредник ABCD ∠A е с 40° по-малък от ∠B. Колко градуса е ∠D?

    • 110°
    • 70°
    • 140°
    • 40°

    Отговор: 110°

    ∠A + ∠B = 180° и ∠B − ∠A = 40°, значи ∠A = 70°, ∠B = 110°. Срещулежащите ъгли са равни: ∠D = ∠B = 110°.

13. В успоредник ABCD ъглополовящата на ∠A пресича страната BC в точка M. Ако AB = 6 cm и AD = 10 cm, колко сантиметра е MC?

    • 6 cm
    • 4 cm
    • 10 cm
    • 5 cm

    Отговор: 4 cm

    ∠BMA = ∠MAD = ∠BAM (кръстни ъгли), затова ΔABM е равнобедрен и BM = AB = 6 cm. MC = 10 − 6 = 4 cm.

14. В успоредник ABCD ∠A = 30° и AD = 10 cm. Колко сантиметра е разстоянието от D до правата AB?

    • 10 cm
    • 5 cm
    • 20 cm
    • 2,5 cm

    Отговор: 5 cm

    Перпендикулярът DH е катет срещу ъгъл 30° в ΔAHD, значи DH = AD : 2 = 5 cm.

15. Диагоналите на ромб са 6 cm и 8 cm. Колко сантиметра е височината му?

    • 5 cm
    • 4 cm
    • 2,4 cm
    • 4,8 cm

    Отговор: 4,8 cm

    Лицето е 6·8 : 2 = 24 cm². Страната е 5 cm (катети 3 cm и 4 cm). Височината е 24 : 5 = 4,8 cm.

Вероятност, статистика

1. В кутия има 4 червени и 6 сини топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да е червена?

   • 2/3
   • 3/5
   • 1/4
   • 2/5

   Отговор: 2/5

   Благоприятните изходи са 4 от общо 10: 4/10 = 2/5.

2. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне 6?

   • 1/2
   • 1/3
   • 6
   • 1/6

   Отговор: 1/6

   Има 6 равновъзможни резултата и само един е благоприятен.

3. Каква е вероятността при хвърляне на монета да се падне ези?

   • 1
   • 1/2
   • 1/4
   • 0

   Отговор: 1/2

   Възможните изходи са 2, благоприятен е 1.

4. От 240 ученици 25% предпочитат баскетбол. Колко са тези ученици?

   • 25
   • 60
   • 96
   • 48

   Отговор: 60

   25% от 240 = 240 : 4 = 60.

5. Колко е средното аритметично на числата 6, 8 и 13?

   • 27
   • 8
   • 9
   • 10

   Отговор: 9

   (6 + 8 + 13) : 3 = 27 : 3 = 9.

6. Колко е 15% от 80?

   • 12
   • 15
   • 8
   • 18

   Отговор: 12

   0,15·80 = 12.

7. В кръгова диаграма секторът за отговор „Да“ е с централен ъгъл 144°. Колко процента от анкетираните са отговорили „Да“?

   • 40%
   • 44%
   • 36%
   • 14,4%

   Отговор: 40%

   144° : 360° = 0,4 = 40%.

8. Продукт струва 50 евро. Цената му се увеличава с 20%. Каква е новата цена?

   • 70 евро
   • 52 евро
   • 60 евро
   • 40 евро

   Отговор: 60 евро

   20% от 50 е 10, а 50 + 10 = 60 евро.

9. Цената на стока е намалена с 25% и е станала 60 евро. Колко е била първоначалната цена?

   • 75 евро
   • 80 евро
   • 85 евро
   • 90 евро

   Отговор: 80 евро

   60 евро са 75% от цената: 60 : 0,75 = 80 евро.

10. От числата от 1 до 30 избираме случайно едно. Каква е вероятността то да се дели на 3 или на 5?

    • 8/15
    • 1/2
    • 2/5
    • 7/15

    Отговор: 7/15

    Кратните на 3 са 10, на 5 са 6, а на 15 (преброени два пъти) са 2. Благоприятни: 10 + 6 − 2 = 14, P = 14/30 = 7/15.

11. От числата от 1 до 20 избираме случайно едно. Каква е вероятността то да е просто?

    • 9/20
    • 1/2
    • 7/20
    • 2/5

    Отговор: 2/5

    Простите числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19, т.е. 8 от 20, а 8/20 = 2/5.

12. В кутия има 5 бели, 3 черни и 2 червени топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да НЕ е бяла?

    • 1/5
    • 3/10
    • 1/2
    • 1/3

    Отговор: 1/2

    Небелите топки са 3 + 2 = 5 от 10: 5/10 = 1/2.

13. В клас има 12 момчета и 18 момичета. Средната оценка на момчетата е 4,5, а на момичетата е 5. Каква е средната оценка на целия клас?

    • 4,8
    • 4,75
    • 4,7
    • 4,9

    Отговор: 4,8

    (12·4,5 + 18·5) : 30 = (54 + 90) : 30 = 4,8.

14. Средното аритметично на 4 числа е 15. Добавяме пето число и средното става 16. Кое е петото число?

    • 20
    • 16
    • 31
    • 1

    Отговор: 20

    Сборът на 4-те числа е 60, а на петте е 80, значи петото е 20.

15. Цената на стока е увеличена с 20%, а след това новата цена е намалена с 20%. Как се е променила цената спрямо началната?

    • не се е променила
    • увеличила се е с 4%
    • намаляла е с 2%
    • намаляла е с 4%

    Отговор: намаляла е с 4%

    1,2·0,8 = 0,96, т.е. крайната цена е 96% от началната.

Финален въпрос