Неравенства

Числови неравенства

1. Кое неравенство е вярно?

   • −2 < −5
   • 0 < −1
   • −5 < −2
   • −3 > 1

   Отговор: −5 < −2

   На числовата ос −5 е наляво от −2, затова е по-малко.

2. Сравнете числата 0,3 и 1/3.

   • 0,3 > 1/3
   • 0,3 < 1/3
   • 0,3 = 1/3
   • 1/3 < 0,3

   Отговор: 0,3 < 1/3

   1/3 = 0,333..., което е повече от 0,3.

3. Кое е най-малкото естествено число, по-голямо от 4,7?

   • 4
   • 5
   • 6
   • 47

   Отговор: 5

   След 4,7 първото естествено число е 5.

4. Известно е, че a < b. Кое неравенство е вярно?

   • −2a < −2b
   • a − 5 > b − 5
   • −2a > −2b
   • a/3 > b/3

   Отговор: −2a > −2b

   При умножение на двете страни с отрицателно число знакът на неравенството се обръща.

5. Кое число е между −3 и −2?

   • −2,5
   • −3,5
   • −1,5
   • 2,5

   Отговор: −2,5

   На числовата ос −2,5 е между −3 и −2.

6. Известно е, че a > 3. Кое неравенство е вярно?

   • a + 5 < 8
   • a + 5 > 8
   • a + 5 ≤ 8
   • a + 5 = 8

   Отговор: a + 5 > 8

   Прибавяме 5 към двете страни: a + 5 > 8.

7. Сравнете дробите 3/7 и 5/12.

   • 3/7 > 5/12
   • 3/7 < 5/12
   • 3/7 = 5/12
   • не могат да се сравнят

   Отговор: 3/7 > 5/12

   3/7 = 36/84, а 5/12 = 35/84, затова 3/7 > 5/12.

8. Ако a > 0 и b < 0, какъв е знакът на ab?

   • ab > 0
   • ab = 0
   • ab < 0
   • не може да се определи

   Отговор: ab < 0

   Произведението на положително и отрицателно число е отрицателно.

9. Ако a < b и c < d, кое неравенство е винаги вярно?

   • ac < bd
   • a − c < b − d
   • a + c < b + d
   • a/c < b/d

   Отговор: a + c < b + d

   Еднопосочни неравенства могат да се събират почленно.

10. Ако 2 < x < 5, в какви граници се намира изразът 3x − 1?

    • 6 < 3x − 1 < 15
    • 5 < 3x − 1 < 14
    • 1 < 3x − 1 < 4
    • 5 < 3x − 1 < 15

    Отговор: 5 < 3x − 1 < 14

    Умножаваме по 3: 6 < 3x < 15, после изваждаме 1: 5 < 3x − 1 < 14.

11. Кое от числата е най-голямо?

    • 2/3
    • 0,7
    • 5/8
    • 0,65

    Отговор: 0,7

    2/3 ≈ 0,667, 5/8 = 0,625, значи най-голямо е 0,7.

12. Ако 1 < a < 2 и 3 < b < 5, в какви граници е a − b?

    • −2 < a − b < −1
    • −4 < a − b < −3
    • −2 < a − b < −3
    • −4 < a − b < −1

    Отговор: −4 < a − b < −1

    −5 < −b < −3, събираме с 1 < a < 2: −4 < a − b < −1.

13. За положителните числа a и b кое неравенство е винаги вярно?

    • a² + b² ≥ 2ab
    • a − b > 0
    • a² > b
    • a + b < 2ab

    Отговор: a² + b² ≥ 2ab

    a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0 за всички a и b.

14. Ако 0 < a < 1, кое неравенство е вярно?

    • a² > a
    • a² = a
    • a² > 1
    • a² < a

    Отговор: a² < a

    Умножаваме a 0 и получаваме a² < a.

15. Ако a < b < 0, кое неравенство е вярно?

    • a² > b²
    • a² 2
    • a² = b²
    • ab < 0

    Отговор: a² > b²

    При отрицателни числа по-малкото има по-голям модул, затова квадратът му е по-голям, напр. (−3)² > (−2)².

Линейни неравенства

1. Решете неравенството x + 4 < 9.

   • x > 5
   • x < 13
   • x > 13
   • x < 5

   Отговор: x < 5

   Изваждаме 4 от двете страни: x < 5.

2. Кое от числата е решение на неравенството 3x ≥ 12?

   • 4
   • 3
   • 0
   • −4

   Отговор: 4

   x ≥ 4, а 4 удовлетворява неравенството.

3. Кое от числата НЕ е решение на неравенството x > −2?

   • 0
   • −1
   • −3
   • 5

   Отговор: −3

   −3 е по-малко от −2.

4. Решете неравенството 4 − 2x ≥ 10.

   • x ≥ −3
   • x ≤ 3
   • x ≥ 3
   • x ≤ −3

   Отговор: x ≤ −3

   −2x ≥ 6. Делим на −2 и обръщаме знака: x ≤ −3.

5. Решете неравенството −x > 3.

   • x > −3
   • x > 3
   • x < −3
   • x < 3

   Отговор: x < −3

   Умножаваме по −1 и обръщаме знака.

6. Решете неравенството x/3 < 2.

   • x < 6
   • x < 2/3
   • x > 6
   • x < 5

   Отговор: x < 6

   Умножаваме двете страни по 3 > 0: x < 6.

7. Решете неравенството 3(x − 1) − 2(x + 2) > 0.

   • x > −1
   • x < 7
   • x > 7
   • x > 1

   Отговор: x > 7

   3x − 3 − 2x − 4 > 0, т.е. x − 7 > 0, x > 7.

8. Решете неравенството 5x − 2 ≤ 3x + 6.

   • x ≥ 4
   • x ≤ 2
   • x ≥ 2
   • x ≤ 4

   Отговор: x ≤ 4

   5x − 3x ≤ 6 + 2, 2x ≤ 8, x ≤ 4.

9. Решете неравенството (x − 1)/2 ≥ (x + 1)/3.

   • x ≤ 5
   • x ≥ 1
   • x ≥ 5
   • x ≥ −5

   Отговор: x ≥ 5

   Умножаваме по 6: 3x − 3 ≥ 2x + 2, x ≥ 5.

10. Кое е най-голямото цяло число, което е решение на неравенството (2x + 1)/3 − (x − 1)/2 > x?

    • 1
    • −1
    • 5
    • 0

    Отговор: 0

    Умножаваме по 6: 4x + 2 − 3x + 3 > 6x, т.е. 5 > 5x, x < 1. Най-голямото цяло число е 0.

11. Колко цели числа са решения на двойното неравенство −3 < 2x + 1 ≤ 7?

    • 6
    • 5
    • 4
    • 7

    Отговор: 5

    −4 < 2x ≤ 6, −2 < x ≤ 3, т.е. −1, 0, 1, 2 и 3.

12. При какви стойности на x изразът 5 − 2x е положителен?

    • x > 2,5
    • x < 2,5
    • x < −2,5
    • x > 5

    Отговор: x < 2,5

    5 − 2x > 0, −2x > −5, x < 2,5 (знакът се обръща).

13. Кое неравенство НЯМА решение?

    • 2x + 1 > 2x
    • x − 1 < 2x
    • 3x ≤ 3x + 1
    • 2(x + 1) < 2x

    Отговор: 2(x + 1) < 2x

    2x + 2 < 2x води до 2 < 0, което не е вярно при никое x.

14. Решете неравенството (x − 3)² − (x + 1)(x − 1) ≥ 4.

    • x ≤ 1
    • x ≥ 1
    • x ≤ −1
    • x ≥ 2

    Отговор: x ≤ 1

    x² − 6x + 9 − x² + 1 ≥ 4, −6x ≥ −6, x ≤ 1.

15. При коя стойност на a решенията на неравенството ax > 3 са x < −1?

    • a = 3
    • a = −1
    • a = 1/3
    • a = −3

    Отговор: a = −3

    Знакът се обръща, значи a < 0 и x < 3/a. От 3/a = −1 следва a = −3.

Числови интервали

1. Кой интервал съответства на неравенството x ≥ 2?

   • (2; +∞)
   • (−∞; 2]
   • [2; +∞)
   • (−∞; 2)

   Отговор: [2; +∞)

   Числото 2 е включено (квадратна скоба), а числата продължават към +∞.

2. Кой интервал съответства на неравенството x < 5?

   • (−∞; 5]
   • (5; +∞)
   • (−∞; 5)
   • [5; +∞)

   Отговор: (−∞; 5)

   Числото 5 не е решение, затова скобата при 5 е кръгла.

3. Кое е най-малкото число в интервала [4; 9)?

   • 4
   • 5
   • 9
   • няма най-малко

   Отговор: 4

   Квадратната скоба означава, че 4 принадлежи на интервала.

4. Колко цели числа има в интервала (−2; 3]?

   • 6
   • 5
   • 4
   • 3

   Отговор: 5

   Това са −1, 0, 1, 2 и 3 (−2 не е включено, а 3 е включено).

5. Кое от числата принадлежи на интервала [−1; 4)?

   • 4
   • −1
   • −2
   • 5

   Отговор: −1

   Квадратната скоба означава, че −1 е включено, а кръглата, че 4 не е.

6. Каква е дължината на интервала [−2; 5]?

   • 3
   • 7
   • 5
   • 8

   Отговор: 7

   5 − (−2) = 7.

7. Кое неравенство описва интервала (−∞; −1)?

   • x ≤ −1
   • x > −1
   • x ≥ −1
   • x < −1

   Отговор: x < −1

   Кръглата скоба при −1 показва, че −1 не е включено.

8. Кое двойно неравенство описва интервала [0; 7]?

   • 0 < x < 7
   • 0 ≤ x < 7
   • 0 < x ≤ 7
   • 0 ≤ x ≤ 7

   Отговор: 0 ≤ x ≤ 7

   Двата края са включени, затова и двата знака са ≤.

9. Кой интервал е обединението на [−1; 3) и [3; 6]?

   • [3; 6]
   • (−1; 6)
   • [−1; 3)
   • [−1; 6]

   Отговор: [−1; 6]

   Двата интервала се допълват в точката 3 и дават [−1; 6].

10. Кой интервал съдържа точно числата, за които x > −3 и x ≤ 4 едновременно?

    • [−3; 4)
    • (−3; 4]
    • (−3; 4)
    • (−∞; 4]

    Отговор: (−3; 4]

    Сечението започва след −3 (без него) и завършва с 4 (включено).

11. Коя е общата част (сечението) на интервалите [−2; 5) и (1; 8]?

    • (1; 5)
    • [−2; 8]
    • (1; 5]
    • [−2; 1)

    Отговор: (1; 5)

    Общите числа са по-големи от 1 и по-малки от 5.

12. Кое е сечението на интервалите (−∞; 3] и [3; +∞)?

    • празното множество
    • само числото 3
    • (−∞; +∞)
    • [3; +∞)

    Отговор: само числото 3

    Общото на двата интервала е само числото 3.

13. Решете двойното неравенство 5 − x ≤ 2x − 1 < 9.

    • (2; 5]
    • [2; 5)
    • [2; 5]
    • (−∞; 5)

    Отговор: [2; 5)

    5 − x ≤ 2x − 1 дава x ≥ 2, а 2x − 1 < 9 дава x < 5. Сечението е [2; 5).

14. Кой интервал съдържа точно решенията на неравенството |x − 1| ≤ 2?

    • (−1; 3)
    • [−1; 3]
    • [−3; 3]
    • (−∞; 3]

    Отговор: [−1; 3]

    Разстоянието от x до 1 е най-много 2, значи −1 ≤ x ≤ 3.

15. Кое множество съдържа точно решенията на неравенството |x| > 2?

    • (−2; 2)
    • (2; +∞)
    • (−∞; −2) ∪ (2; +∞)
    • [−2; 2]

    Отговор: (−∞; −2) ∪ (2; +∞)

    |x| > 2 означава x > 2 или x < −2.

Приложения

1. Ученик има 20 евро, а една книжка струва 3 евро. Колко книжки най-много може да купи?

   • 6
   • 7
   • 5
   • 20

   Отговор: 6

   3x ≤ 20 дава x ≤ 6,66..., а най-голямото естествено число е 6.

2. Асансьор издържа най-много 600 kg. Колко души по 80 kg най-много могат да се качат в него?

   • 8
   • 6
   • 9
   • 7

   Отговор: 7

   80x ≤ 600, x ≤ 7,5, значи най-много 7 души.

3. През деня температурата t е била поне −3° и най-много 5°. Кое неравенство описва t?

   • −3 < t < 5
   • −3 ≤ t ≤ 5
   • t ≥ 5
   • t ≤ −3

   Отговор: −3 ≤ t ≤ 5

   "Поне" дава ≥, а "най-много" дава ≤.

4. Такси взима 3 евро при качване и по 1,5 евро за всеки километър. Колко километра най-много може да се пътува с 18 евро?

   • 10 km
   • 12 km
   • 9 km
   • 13 km

   Отговор: 10 km

   3 + 1,5x ≤ 18, 1,5x ≤ 15, x ≤ 10.

5. Иван има 50 евро и иска да купи химикалка за 6 евро и тетрадки по 4 евро. Колко тетрадки най-много може да купи?

   • 12
   • 10
   • 11
   • 14

   Отговор: 11

   6 + 4x ≤ 50, 4x ≤ 44, x ≤ 11.

6. Колко най-малко автобуса по 45 места са нужни за 200 ученици?

   • 4
   • 6
   • 5
   • 3

   Отговор: 5

   45 · 4 = 180 < 200, а 45 · 5 = 225 ≥ 200, значи 5 автобуса.

7. Едната страна на правоъгълник е 7 cm, а периметърът му е по-малък от 30 cm. Каква може да е другата страна a?

   • a < 15 (cm)
   • a > 8 (cm)
   • 0 < a < 16 (cm)
   • 0 < a < 8 (cm)

   Отговор: 0 < a < 8 (cm)

   2(7 + a) < 30, 7 + a < 15, a < 8, а дължината е положителна.

8. Сборът на три последователни цели числа е по-малък от 30. Колко най-много може да е най-голямото от тях?

   • 9
   • 10
   • 11
   • 29

   Отговор: 10

   (n − 1) + n + (n + 1) = 3n < 30, n ≤ 9, а най-голямото число е n + 1 = 10.

9. Правоъгълник има страна 5 cm и лице поне 40 cm². Колко най-малко е другата му страна?

   • 8 cm
   • 35 cm
   • 7 cm
   • 9 cm

   Отговор: 8 cm

   5a ≥ 40, a ≥ 8 cm.

10. Ани има оценки 5, 4 и 6. Каква най-малко трябва да е четвъртата ѝ оценка, за да е средният успех поне 5,00?

    • 6
    • 5
    • 4
    • 3

    Отговор: 5

    (15 + x)/4 ≥ 5, 15 + x ≥ 20, x ≥ 5.

11. Кола има 40 l гориво и харчи 6 l на 100 km. Колко километра най-много може да измине, така че в резервоара да останат поне 10 l?

    • 500 km
    • 666 km
    • 400 km
    • 600 km

    Отговор: 500 km

    Може да изразходва най-много 30 l: 30 : 6 = 5, а 5·100 = 500 km.

12. Удвоеното естествено число x, намалено със 7, е по-малко от 15. Кое е най-голямото такова x?

    • 11
    • 4
    • 7
    • 10

    Отговор: 10

    2x − 7 < 15, 2x < 22, x < 11, значи най-голямото е 10.

13. Абонамент A струва 10 евро на месец плюс 0,05 евро на минута, а абонамент B струва 0,15 евро на минута. При колко минути най-малко (цяло число) A е по-евтин от B?

    • 101
    • 100
    • 67
    • 200

    Отговор: 101

    10 + 0,05x 100. Най-малкото цяло число е 101.

14. Ученик има оценки 4, 5 и 5. Колко най-малко шестици трябва да получи, за да е средният му успех поне 5,50?

    • 3
    • 4
    • 6
    • 5

    Отговор: 5

    (14 + 6x) : (3 + x) ≥ 5,5, 14 + 6x ≥ 16,5 + 5,5x, 0,5x ≥ 2,5, x ≥ 5.

15. В клас има 28 ученици. Момичетата са поне 2 пъти повече от момчетата. Колко най-много могат да са момчетата?

    • 10
    • 9
    • 14
    • 8

    Отговор: 9

    28 − b ≥ 2b, 3b ≤ 28, b ≤ 9,33..., значи най-много 9.

Неравенства в Δ

1. Какво лежи срещу по-голямата страна в триъгълник?

   • по-малкият ъгъл
   • по-големият ъгъл
   • винаги тъп ъгъл
   • винаги прав ъгъл

   Отговор: по-големият ъгъл

   В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно.

2. Сборът на всеки две страни на триъгълник е ... от третата страна.

   • по-малък
   • равен
   • по-голям
   • два пъти по-голям

   Отговор: по-голям

   Това е неравенството на триъгълника.

3. Коя е най-голямата страна в правоъгълен триъгълник?

   • катетът
   • хипотенузата
   • височината
   • медианата

   Отговор: хипотенузата

   Хипотенузата е срещу правия ъгъл, който е най-големият ъгъл.

4. В ΔABC AB = 5 cm, BC = 7 cm и AC = 6 cm. Кой е най-големият ъгъл?

   • ∠B
   • ∠A
   • ∠C
   • всички са равни

   Отговор: ∠A

   Най-дългата страна е BC, а срещу нея лежи ∠A.

5. Кои отсечки НЕ могат да бъдат страни на триъгълник?

   • 2 cm, 3 cm и 4 cm
   • 1 cm, 2 cm и 3 cm
   • 3 cm, 3 cm и 5 cm
   • 4 cm, 5 cm и 6 cm

   Отговор: 1 cm, 2 cm и 3 cm

   1 + 2 = 3, а сборът на две страни трябва да е по-голям от третата.

6. Две страни на триъгълник са 3 cm и 8 cm. Коя може да е третата?

   • 4 cm
   • 5 cm
   • 7 cm
   • 11 cm

   Отговор: 7 cm

   Третата страна е между 8 − 3 = 5 и 8 + 3 = 11 cm (без краищата).

7. Съществува ли триъгълник със страни 2 cm, 3 cm и 6 cm?

   • не, защото 2 + 3 < 6
   • да
   • да, и той е тъпоъгълен
   • не, защото 6 е четно число

   Отговор: не, защото 2 + 3 < 6

   Всяка страна трябва да е по-малка от сбора на другите две, а 6 > 2 + 3.

8. В ΔABC ∠C = 100°. Коя е най-дългата страна?

   • AC
   • BC
   • AB
   • не може да се определи

   Отговор: AB

   ∠C е тъп и е най-големият ъгъл, а срещу него лежи AB.

9. В ΔABC ∠A > ∠B. Какво може да се твърди за страните?

   • BC < AC
   • BC = AC
   • AB > BC
   • BC > AC

   Отговор: BC > AC

   Срещу по-големия ъгъл лежи по-голямата страна: срещу ∠A е BC, срещу ∠B е AC.

10. В ΔABC ∠A = 40° и ∠B = 75°. Коя е най-късата страна?

    • AC
    • AB
    • BC
    • AC и AB са равни

    Отговор: BC

    ∠C = 65°, най-малкият ъгъл е ∠A, а срещу него лежи BC.

11. В ΔABC AB = 7 cm, BC = 1 cm, а AC е цяло число сантиметри. Колко сантиметра е AC?

    • 6 cm
    • 8 cm
    • 9 cm
    • 7 cm

    Отговор: 7 cm

    7 − 1 < AC < 7 + 1, т.е. 6 < AC < 8, значи AC = 7 cm.

12. Две страни на триъгълник са 2 cm и 9 cm, а третата е нечетно цяло число сантиметри. Колко е тя?

    • 7 cm
    • 9 cm
    • 11 cm
    • 8 cm

    Отговор: 9 cm

    7 < c < 11, т.е. c е 8, 9 или 10; нечетно е само 9.

13. Основата на равнобедрен триъгълник е 10 cm, а бедрото е цяло число сантиметри. Колко е най-малкото възможно бедро?

    • 5 cm
    • 11 cm
    • 6 cm
    • 10 cm

    Отговор: 6 cm

    Трябва 2b > 10, т.е. b > 5. Най-малкото цяло число е 6.

14. Периметърът на триъгълник е 24 cm. Колко най-много може да е страната му, ако е цяло число сантиметри?

    • 11 cm
    • 12 cm
    • 10 cm
    • 23 cm

    Отговор: 11 cm

    От a < b + c следва 2a < 24, т.е. a < 12, значи най-много 11 cm.

15. Точка M е вътре в ΔABC. Кое е вярно?

    • MB + MC > AB + AC
    • зависи от триъгълника
    • MB + MC < AB + AC
    • MB + MC = AB + AC

    Отговор: MB + MC < AB + AC

    Продължаваме BM до пресичане с AC и прилагаме два пъти неравенството на триъгълника.

Финален въпрос