Успоредник

Свойства

1. Какви са срещуположните страни на успоредника?

   • успоредни и равни
   • перпендикулярни
   • успоредни, но с различна дължина
   • равни, но не успоредни

   Отговор: успоредни и равни

   По определение срещуположните страни на успоредника са успоредни, а от свойствата следва, че са и равни.

2. Какви са срещуположните ъгли на успоредника?

   • със сбор 180°
   • винаги прави
   • равни
   • със сбор 90°

   Отговор: равни

   В успоредника срещуположните ъгли са равни.

3. На колко е равен сборът на два съседни ъгъла на успоредник?

   • 90°
   • 180°
   • 360°
   • 120°

   Отговор: 180°

   Съседните ъгли са прилежащи при успоредни прави, затова сборът им е 180°.

4. В успоредник ABCD ∠B = 3·∠A. Колко градуса е ∠A?

   • 60°
   • 135°
   • 45°
   • 30°

   Отговор: 45°

   Съседните ъгли на успоредника имат сбор 180°: ∠A + 3∠A = 180°, ∠A = 45°.

5. В успоредник ABCD AB = 9 cm и BC = 5 cm. Колко сантиметра е периметърът?

   • 14 cm
   • 28 cm
   • 45 cm
   • 23 cm

   Отговор: 28 cm

   P = 2(9 + 5) = 28 cm.

6. Диагоналите на успоредник се пресичат в точка O. Каква е O за всеки от тях?

   • на 1/3 от единия край
   • по-близо до по-късия край
   • среда
   • край

   Отговор: среда

   Диагоналите на успоредника взаимно се разполовяват.

7. Диагоналите на успоредник ABCD се пресичат в точка O, AC = 14 cm и BD = 10 cm. На колко е равен сборът AO + BO?

   • 24 cm
   • 17 cm
   • 12 cm
   • 6 cm

   Отговор: 12 cm

   Диагоналите се разполовяват: AO = 7 cm, BO = 5 cm, сборът е 12 cm.

8. В успоредник ABCD ∠A + ∠C = 140°. Колко градуса е ∠B?

   • 110°
   • 70°
   • 140°
   • 40°

   Отговор: 110°

   ∠A = ∠C = 70°, а ∠B = 180° − 70° = 110°.

9. В успоредник ABCD ∠B е с 40° по-голям от ∠A. Колко градуса е ∠C?

   • 70°
   • 110°
   • 40°
   • 140°

   Отговор: 70°

   ∠A + ∠B = 180°, ∠A = 70°, а ∠C = ∠A = 70°.

10. Периметърът на успоредник е 40 cm, а едната му страна е с 4 cm по-дълга от другата. Колко сантиметра е по-дългата страна?

    • 8 cm
    • 16 cm
    • 12 cm
    • 22 cm

    Отговор: 12 cm

    Сборът на две съседни страни е 20 cm: b + (b + 4) = 20, b = 8, по-дългата е 12 cm.

11. В успоредник ABCD диагоналът BD е перпендикулярен на AD, ∠A = 60° и AD = 4 cm. Колко сантиметра е AB?

    • 4 cm
    • 2 cm
    • 12 cm
    • 8 cm

    Отговор: 8 cm

    В правоъгълния ΔABD ∠ABD = 30°, а AD е срещу него, значи AB = 2·AD = 8 cm.

12. В успоредник ABCD периметърът на ΔABD е 25 cm, а BD = 7 cm. Колко е периметърът на успоредника?

    • 25 cm
    • 32 cm
    • 50 cm
    • 36 cm

    Отговор: 36 cm

    AB + AD = 25 − 7 = 18 cm, периметърът е 2 · 18 = 36 cm.

13. В успоредник ABCD ъглополовящата на ∠D пресича страната AB в точка M, като AM = 5 cm и MB = 3 cm. Колко сантиметра е периметърът?

    • 26 cm
    • 16 cm
    • 21 cm
    • 32 cm

    Отговор: 26 cm

    ∠AMD = ∠MDC = ∠ADM (кръстни ъгли и ъглополовяща), затова AD = AM = 5 cm. AB = 8 cm, P = 2(5 + 8) = 26 cm.

14. В успоредник ABCD ъглополовящите на ∠A и ∠B се пресичат в точка M. Колко градуса е ∠AMB?

    • 60°
    • 120°
    • 90°
    • зависи от ъглите

    Отговор: 90°

    ∠A + ∠B = 180°, половинките им са 90°, значи ∠AMB = 90°.

15. В успоредник ABCD ∠A = 60°, AB = 6 cm, а височината от D разполовява AB. Колко е AD?

    • 3 cm
    • 6 cm
    • 12 cm
    • 9 cm

    Отговор: 6 cm

    AH = 3 cm. В ΔADH ∠ADH = 30°, затова AH = AD : 2 и AD = 6 cm.

Признаци за успоредник

1. Четириъгълник има две двойки успоредни срещуположни страни. Какъв е той?

   • трапец
   • делтоид
   • произволен четириъгълник
   • успоредник

   Отговор: успоредник

   Това е определението за успоредник.

2. Четириъгълник с две двойки равни срещуположни страни е:

   • успоредник
   • трапец
   • винаги квадрат
   • винаги ромб

   Отговор: успоредник

   Това е признак за успоредник.

3. Коя от фигурите е успоредник?

   • трапец
   • квадрат
   • делтоид
   • произволен четириъгълник

   Отговор: квадрат

   Квадратът има две двойки успоредни срещуположни страни.

4. Кое условие е достатъчно четириъгълникът ABCD да е успоредник?

   • диагоналите му се разполовяват
   • диагоналите му са равни
   • диагоналите му са перпендикулярни
   • две негови страни са равни

   Отговор: диагоналите му се разполовяват

   Ако диагоналите на четириъгълник се разполовяват, той е успоредник (признак).

5. Две срещуположни страни на четириъгълник са успоредни и равни. Какъв е той?

   • трапец
   • делтоид
   • не може да се определи
   • успоредник

   Отговор: успоредник

   Ако две срещуположни страни са успоредни и равни, четириъгълникът е успоредник.

6. В четириъгълник ABCD ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Какъв е той?

   • успоредник
   • трапец
   • делтоид
   • не може да се определи

   Отговор: успоредник

   Две двойки равни срещуположни ъгли са признак за успоредник.

7. Изпъкнал четириъгълник има последователни ъгли 70°, 110°, 70° и 110°. Какъв е той?

   • успоредник
   • задължително правоъгълник
   • трапец, който не е успоредник
   • такъв четириъгълник не съществува

   Отговор: успоредник

   Срещуположните му ъгли са равни, а това е признак за успоредник.

8. В четириъгълник ABCD диагоналите се пресичат в O, AO = OC = 5 cm и BO = 3 cm. Колко сантиметра трябва да е OD, за да е ABCD успоредник?

   • 5 cm
   • 3 cm
   • 8 cm
   • 2 cm

   Отговор: 3 cm

   Диагоналите трябва да се разполовяват, значи OD = OB = 3 cm.

9. В четириъгълник ABCD AB ∥ CD и AD ∥ BC. Ако AB = 8 cm и BC = 5 cm, колко е CD?

   • 5 cm
   • 13 cm
   • 8 cm
   • 3 cm

   Отговор: 8 cm

   ABCD е успоредник, а срещуположните му страни са равни: CD = AB = 8 cm.

10. В ΔABC точката M е среда на BC. На продължението на AM след M е взета точка D, така че MD = AM. Какъв е четириъгълникът ABDC?

    • винаги ромб
    • винаги квадрат
    • трапец
    • успоредник

    Отговор: успоредник

    Диагоналите AD и BC на ABDC се разполовяват в M, затова той е успоредник.

11. В четириъгълник ABCD AB ∥ CD и ∠A = ∠C. Какъв е ABCD?

    • трапец
    • правоъгълник
    • успоредник
    • не може да се определи

    Отговор: успоредник

    ∠A + ∠D = 180°, а ∠A = ∠C, значи ∠C + ∠D = 180° и AD ∥ BC.

12. Кое условие НЕ е достатъчно четириъгълникът ABCD да е успоредник?

    • AB ∥ CD и AB = CD
    • AB ∥ CD и AD = BC
    • AB = CD и AD = BC
    • диагоналите се разполовяват

    Отговор: AB ∥ CD и AD = BC

    Равнобедреният трапец има AB ∥ CD и AD = BC, но не е успоредник.

13. Точките M и N са среди на страните AB и CD на успоредника ABCD. Какъв е четириъгълникът AMCN?

    • винаги ромб
    • успоредник
    • трапец
    • винаги правоъгълник

    Отговор: успоредник

    AM ∥ CN и AM = CN (половинки на равни страни), затова AMCN е успоредник.

14. В успоредник ABCD точките M и N са върху диагонала AC, като AM = CN. Какъв е четириъгълникът BMDN?

    • успоредник
    • трапец
    • винаги ромб
    • винаги правоъгълник

    Отговор: успоредник

    O е среда на AC и BD, а OM = ON, значи диагоналите на BMDN се разполовяват.

15. През всеки връх на ΔABC е прекарана права, успоредна на срещуположната страна. Колко пъти периметърът на получения триъгълник е по-голям от този на ΔABC?

    • 3
    • 4
    • 2
    • 1,5

    Отговор: 2

    Получават се три успоредника, затова всяка страна на големия триъгълник е 2 пъти по-голяма от съответната страна на ΔABC.

Правоъгълник

1. Какви са диагоналите на правоъгълника?

   • равни
   • перпендикулярни
   • винаги с различна дължина
   • ъглополовящи на ъглите му

   Отговор: равни

   Правоъгълникът е успоредник с равни диагонали.

2. Колко прави ъгъла има правоъгълникът?

   • 2
   • 4
   • 1
   • 3

   Отговор: 4

   Всички ъгли на правоъгълника са прави.

3. Правоъгълник има страни 8 cm и 3 cm. Колко е периметърът му?

   • 11 cm
   • 22 cm
   • 24 cm
   • 16 cm

   Отговор: 22 cm

   P = 2(8 + 3) = 22 cm.

4. Диагоналът на правоъгълник е 18 cm. На какво разстояние от всеки връх е пресечната точка на диагоналите?

   • 18 cm
   • 9 cm
   • 36 cm
   • 6 cm

   Отговор: 9 cm

   Диагоналите са равни и се разполовяват: 18 : 2 = 9 cm.

5. Правоъгълник има страни 6 cm и 4 cm. Колко е лицето му?

   • 20 cm²
   • 10 cm²
   • 48 cm²
   • 24 cm²

   Отговор: 24 cm²

   S = 6·4 = 24 cm².

6. Правоъгълникът успоредник ли е?

   • не
   • само ако е квадрат
   • да, винаги
   • понякога

   Отговор: да, винаги

   Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни, значи той е успоредник.

7. В правоъгълник ABCD ∠BAC = 35°. Колко градуса е ∠ACD?

   • 55°
   • 70°
   • 35°
   • 145°

   Отговор: 35°

   AB ∥ CD, а ∠BAC и ∠ACD са кръстни ъгли, затова са равни.

8. Успоредник има един прав ъгъл. Какъв е той?

   • ромб
   • трапец
   • правоъгълник
   • не може да се определи

   Отговор: правоъгълник

   Съседните ъгли имат сбор 180°, а срещуположните са равни, значи всички ъгли са прави.

9. Диагоналите на правоъгълник ABCD се пресичат в O и ∠AOB = 50°. Колко градуса е ∠OAB?

   • 65°
   • 50°
   • 25°
   • 130°

   Отговор: 65°

   OA = OB, затова ∠OAB = (180° − 50°) : 2 = 65°.

10. В правоъгълник ABCD диагоналите се пресичат в O, ∠AOD = 120° и AC = 12 cm. Колко сантиметра е AB?

    • 12 cm
    • 6 cm
    • 3 cm
    • 8 cm

    Отговор: 6 cm

    ∠AOB = 60°, а OA = OB = 6 cm, затова ΔAOB е равностранен и AB = 6 cm.

11. В правоъгълник ABCD ∠CAD = 30° и CD = 5 cm. Колко сантиметра е диагоналът BD?

    • 5 cm
    • 10 cm
    • 15 cm
    • 20 cm

    Отговор: 10 cm

    В ΔACD катетът CD е срещу ъгъл 30°, значи AC = 10 cm, а диагоналите на правоъгълника са равни.

12. Периметърът на правоъгълник е 34 cm, а едната му страна е със 7 cm по-дълга от другата. Колко е лицето му?

    • 70 cm²
    • 48 cm²
    • 72 cm²
    • 60 cm²

    Отговор: 60 cm²

    a + (a + 7) = 17, a = 5 cm, другата страна 12 cm, S = 60 cm².

13. Какъв е успоредник с равни диагонали?

    • ромб
    • правоъгълник
    • трапец
    • не е задължително специален вид

    Отговор: правоъгълник

    Това е признак за правоъгълник.

14. Ъглополовящата на ∠A на правоъгълника ABCD пресича BC в точка M, като BM = 6 cm и MC = 4 cm. Колко сантиметра е периметърът?

    • 26 cm
    • 36 cm
    • 40 cm
    • 32 cm

    Отговор: 32 cm

    ∠BAM = 45°, значи ΔABM е равнобедрен и AB = BM = 6 cm, а BC = 10 cm: P = 2(6 + 10) = 32 cm.

15. В правоъгълник ABCD AB = 2 · BC, а M е средата на CD. Колко градуса е ∠AMB?

    • 60°
    • 90°
    • 120°
    • 45°

    Отговор: 90°

    DM = AD и CM = BC, затова ∠DMA = ∠CMB = 45° и ∠AMB = 180° − 90° = 90°.

Ромб

1. Какво е взаимното положение на диагоналите на ромба?

   • успоредни са
   • винаги са равни
   • съвпадат със страните
   • перпендикулярни са

   Отговор: перпендикулярни са

   Диагоналите на ромба са перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите му.

2. Какви са страните на ромба?

   • всички са равни
   • само срещуположните са равни
   • само две са равни
   • всички са различни

   Отговор: всички са равни

   Ромбът е успоредник с равни страни.

3. Колко оси на симетрия има ромб, който не е квадрат?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 0

   Отговор: 2

   Осите на симетрия са правите, на които лежат двата диагонала.

4. Периметърът на ромб е 36 cm. Колко сантиметра е страната му?

   • 18 cm
   • 12 cm
   • 9 cm
   • 6 cm

   Отговор: 9 cm

   Четирите страни са равни: 36 : 4 = 9 cm.

5. Какви са диагоналите на ромба спрямо ъглите му?

   • ъглополовящи
   • винаги равни на страната
   • медиани
   • успоредни

   Отговор: ъглополовящи

   Диагоналите на ромба разполовяват ъглите му.

6. В ромб ABCD ∠A = 40°. Колко градуса е ∠B?

   • 40°
   • 70°
   • 140°
   • 50°

   Отговор: 140°

   Съседните ъгли на ромба имат сбор 180°: ∠B = 140°.

7. В ромб ABCD ∠A = 70°. Колко градуса е ∠ABD?

   • 35°
   • 70°
   • 110°
   • 55°

   Отговор: 55°

   ∠B = 180° − 70° = 110°, а диагоналът BD е ъглополовяща: 110° : 2 = 55°.

8. В ромб ABCD ∠BAD = 50°, а O е пресечната точка на диагоналите. Колко градуса е ∠AOB?

   • 50°
   • 90°
   • 25°
   • 130°

   Отговор: 90°

   Диагоналите на ромба са перпендикулярни.

9. Успоредник има перпендикулярни диагонали. Какъв е той?

   • правоъгълник
   • трапец
   • делтоид
   • ромб

   Отговор: ромб

   Перпендикулярните диагонали са признак, че успоредникът е ромб.

10. В ромб ABCD ∠ABC = 120°, а диагоналът BD = 7 cm. Колко сантиметра е периметърът на ромба?

    • 14 cm
    • 21 cm
    • 42 cm
    • 28 cm

    Отговор: 28 cm

    ∠ABD = 60° и AB = AD, затова ΔABD е равностранен и страната е 7 cm: P = 28 cm.

11. Ъглите на ромб се отнасят както 1 : 2. Колко градуса е по-големият ъгъл?

    • 60°
    • 90°
    • 120°
    • 135°

    Отговор: 120°

    x + 2x = 180°, x = 60°, а по-големият е 120°.

12. В ромб ABCD диагоналът AC е равен на страната. Колко градуса е ∠ABC?

    • 60°
    • 120°
    • 90°
    • 30°

    Отговор: 60°

    AB = BC = AC, значи ΔABC е равностранен и ∠ABC = 60°.

13. Ромб има ъгъл 150° и страна 10 cm. Колко сантиметра е височината му?

    • 5 cm
    • 10 cm
    • 7,5 cm
    • 2,5 cm

    Отговор: 5 cm

    Острият ъгъл е 30°, а височината е катет срещу него в правоъгълен триъгълник с хипотенуза 10 cm: h = 5 cm.

14. Перпендикулярът от върха B на ромба ABCD към страната AD минава през средата ѝ. Колко градуса е ∠A?

    • 45°
    • 30°
    • 120°
    • 60°

    Отговор: 60°

    B е на симетралата на AD, значи BD = BA = AD и ΔABD е равностранен.

15. В ромб ABCD височината BH към AD сключва с диагонала BD ъгъл 20°. Колко градуса е ∠A?

    • 70°
    • 20°
    • 40°
    • 50°

    Отговор: 40°

    В ΔBHD ∠BDH = 70°. BD е ъглополовяща, затова ∠D = 140° и ∠A = 40°.

Квадрат

1. Кое твърдение за квадрата е вярно?

   • той не е успоредник
   • той е и ромб, и правоъгълник
   • диагоналите му не са равни
   • ъглите му са по 60°

   Отговор: той е и ромб, и правоъгълник

   Квадратът има равни страни (като ромба) и прави ъгли (като правоъгълника).

2. Колко оси на симетрия има квадратът?

   • 2
   • 1
   • 4
   • 8

   Отговор: 4

   Двата диагонала и двете прави през средите на срещуположните страни.

3. Какви са всички ъгли на квадрата?

   • остри
   • прави
   • тъпи
   • различни

   Отговор: прави

   Квадратът е правоъгълник, затова всичките му ъгли са по 90°.

4. Колко градуса е ъгълът между диагонала и страната на квадрат?

   • 90°
   • 30°
   • 45°
   • 60°

   Отговор: 45°

   Диагоналът е ъглополовяща на правия ъгъл: 90° : 2 = 45°.

5. Квадрат има страна 6 cm. Колко сантиметра е периметърът му?

   • 36 cm
   • 12 cm
   • 18 cm
   • 24 cm

   Отговор: 24 cm

   P = 4·6 = 24 cm.

6. Ромб има прав ъгъл. Какъв е той?

   • делтоид
   • трапец
   • квадрат
   • тъпоъгълен ромб

   Отговор: квадрат

   Ромб с прав ъгъл има всички ъгли прави и всички страни равни, значи е квадрат.

7. Периметърът на квадрат е 28 cm. Колко квадратни сантиметра е лицето му?

   • 196 cm²
   • 28 cm²
   • 56 cm²
   • 49 cm²

   Отговор: 49 cm²

   Страната е 28 : 4 = 7 cm, лицето е 7·7 = 49 cm².

8. Колко градуса е ъгълът между диагоналите на квадрата?

   • 90°
   • 45°
   • 60°
   • 180°

   Отговор: 90°

   Квадратът е ромб и диагоналите му са перпендикулярни.

9. Диагоналите на квадрат ABCD се пресичат в O. Какъв е ΔAOB?

   • равнобедрен правоъгълен
   • равностранен
   • тъпоъгълен
   • разностранен

   Отговор: равнобедрен правоъгълен

   Диагоналите са равни, разполовяват се и са перпендикулярни: OA = OB и ∠AOB = 90°.

10. От всички правоъгълници с периметър 24 cm най-голямо лице има квадратът. Колко е това лице?

    • 24 cm²
    • 36 cm²
    • 32 cm²
    • 48 cm²

    Отговор: 36 cm²

    Страната на квадрата е 24 : 4 = 6 cm, лицето е 36 cm².

11. Лицето на квадрат е 64 cm². Колко сантиметра е периметърът му?

    • 16 cm
    • 32 cm
    • 64 cm
    • 256 cm

    Отговор: 32 cm

    Страната е 8 cm, а P = 4·8 = 32 cm.

12. Квадрат има лице, равно на лицето на правоъгълник със страни 4 cm и 9 cm. Колко е периметърът на квадрата?

    • 26 cm
    • 36 cm
    • 13 cm
    • 24 cm

    Отговор: 24 cm

    S = 36 cm², страната на квадрата е 6 cm, P = 24 cm.

13. Върху страната CD на квадрата ABCD е построен равностранен ΔCDE, като E е във вътрешността на квадрата. Колко градуса е ∠AEB?

    • 120°
    • 90°
    • 150°
    • 135°

    Отговор: 150°

    DE = DA и ∠ADE = 30°, затова ∠DAE = 75° и ∠EAB = 15°. Аналогично ∠EBA = 15°, а ∠AEB = 180° − 30° = 150°.

14. Върху страната AB на квадрата ABCD, извън него, е построен равностранен ΔABE. Колко градуса е ∠AED?

    • 30°
    • 45°
    • 75°
    • 15°

    Отговор: 15°

    ∠DAE = 90° + 60° = 150° и AD = AE, значи ∠AED = (180° − 150°) : 2 = 15°.

15. Върху диагонала AC на квадрата ABCD е взета точка M, като AM = AB. Колко градуса е ∠MBC?

    • 22,5°
    • 45°
    • 67,5°
    • 30°

    Отговор: 22,5°

    ∠BAM = 45°, ΔABM е равнобедрен: ∠ABM = (180° − 45°) : 2 = 67,5°, ∠MBC = 90° − 67,5° = 22,5°.

Финален въпрос