Основни геометрични фигури

Видове ъгли

1. Колко градуса е изправеният ъгъл?

   • 90°
   • 360°
   • 100°
   • 180°

   Отговор: 180°

   Раменете на изправения ъгъл са противоположни лъчи и образуват права: 180°.

2. Колко градуса е правият ъгъл?

   • 180°
   • 45°
   • 360°
   • 90°

   Отговор: 90°

   Правият ъгъл е половината от изправения: 180° : 2 = 90°.

3. Колко градуса е пълният ъгъл?

   • 180°
   • 360°
   • 90°
   • 270°

   Отговор: 360°

   Пълният ъгъл е цяла обиколка около върха: 360°.

4. Какъв е ъгъл с големина 135°?

   • остър
   • тъп
   • прав
   • изправен

   Отговор: тъп

   Тъп е ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°.

5. Какъв е ъгъл с големина 89°?

   • прав
   • тъп
   • остър
   • изправен

   Отговор: остър

   Ъгъл, по-малък от 90°, е остър.

6. Ъглополовяща разделя ъгъл от 130° на два равни ъгъла. Колко градуса е всеки?

   • 130°
   • 75°
   • 65°
   • 60°

   Отговор: 65°

   130° : 2 = 65°.

7. На една права са отбелязани 4 точки. Колко са отсечките с краища в тези точки?

   • 4
   • 6
   • 3
   • 8

   Отговор: 6

   Всяка отсечка се определя от 2 от 4-те точки: 4·3 : 2 = 6.

8. Колко градуса описва минутната стрелка за 20 минути?

   • 20°
   • 120°
   • 60°
   • 100°

   Отговор: 120°

   За 60 минути описва 360°, т.е. по 6° на минута: 20·6° = 120°.

9. Колко градуса описва часовата стрелка за 1 час?

   • 30°
   • 6°
   • 60°
   • 15°

   Отговор: 30°

   За 12 часа описва 360°, за 1 час 360° : 12 = 30°.

10. Колко градуса е по-малкият ъгъл между часовата и минутната стрелка точно в 4 часа?

    • 120°
    • 90°
    • 150°
    • 100°

    Отговор: 120°

    Между две съседни цифри на циферблата има 360° : 12 = 30°. В 4 часа между стрелките има 4 деления: 4·30° = 120°.

11. ∠AOB = 140°, а лъчът OC е във вътрешността му, като ∠AOC е с 40° по-малък от ∠COB. Колко градуса е ∠COB?

    • 50°
    • 90°
    • 100°
    • 70°

    Отговор: 90°

    x + (x + 40°) = 140°, x = 50°, значи ∠COB = 90°.

12. ∠AOB = 120°, OC е ъглополовящата му, а OD е ъглополовящата на ∠AOC. Колко градуса е ∠DOB?

    • 60°
    • 90°
    • 30°
    • 100°

    Отговор: 90°

    ∠AOC = 60°, ∠AOD = 30°, ∠DOB = 120° − 30° = 90°.

13. Лъчите OA, OB и OC са в този ред, ∠AOB = 40° и ∠AOC = 110°. Колко градуса е ъгълът между ъглополовящите на ∠AOB и ∠BOC?

    • 75°
    • 35°
    • 45°
    • 55°

    Отговор: 55°

    ∠BOC = 110° − 40° = 70°. Ъгълът между ъглополовящите е 20° + 35° = 55°.

14. Колко градуса е по-малкият ъгъл между часовата и минутната стрелка в 3:30 часа?

    • 75°
    • 90°
    • 60°
    • 105°

    Отговор: 75°

    Минутната стрелка сочи 6 (180°), а часовата е по средата между 3 и 4 (105°): 180° − 105° = 75°.

15. От точка O излизат 5 лъча, никои два не лежат на една права. Колко ъгъла с рамене тези лъчи се получават?

    • 5
    • 15
    • 20
    • 10

    Отговор: 10

    Всяка двойка лъчи дава ъгъл: 5 · 4 : 2 = 10.

Двойки ъгли

1. На колко е равен сборът на два съседни ъгъла?

   • 90°
   • 360°
   • 120°
   • 180°

   Отговор: 180°

   Два съседни ъгъла заедно образуват изправен ъгъл.

2. Какви са противоположните (връхните) ъгли?

   • със сбор 180°
   • със сбор 90°
   • винаги прави
   • равни

   Отговор: равни

   Противоположните ъгли имат общ съседен ъгъл и затова са равни.

3. Как се наричат два ъгъла с общо рамо, чиито други рамене образуват права?

   • противоположни
   • равни
   • съседни
   • прави

   Отговор: съседни

   Това е определението за съседни ъгли; сборът им е 180°.

4. Две прави се пресичат и един от образуваните ъгли е 72°. Колко градуса е противоположният му ъгъл?

   • 72°
   • 108°
   • 18°
   • 144°

   Отговор: 72°

   Противоположните ъгли са равни.

5. Единият от два съседни ъгъла е 47°. Колко градуса е другият?

   • 43°
   • 47°
   • 133°
   • 143°

   Отговор: 133°

   Сборът на съседните ъгли е 180°: 180° − 47° = 133°.

6. Два съседни ъгъла са равни. Колко градуса е всеки от тях?

   • 45°
   • 60°
   • 180°
   • 90°

   Отговор: 90°

   2x = 180°, x = 90°.

7. Два съседни ъгъла се отнасят както 2 : 7. Колко градуса е по-малкият от тях?

   • 40°
   • 140°
   • 20°
   • 50°

   Отговор: 40°

   Сборът им е 180°, а една част е 180° : 9 = 20°. По-малкият ъгъл е 2·20° = 40°.

8. Две прави се пресичат и сборът на два противоположни ъгъла е 100°. Колко градуса е всеки от другите два ъгъла?

   • 50°
   • 80°
   • 130°
   • 100°

   Отговор: 130°

   Противоположните ъгли са по 50°, а съседните им са 180° − 50° = 130°.

9. Две прави се пресичат и един от ъглите е 3 пъти по-голям от друг. Колко градуса е по-малкият?

   • 60°
   • 45°
   • 30°
   • 135°

   Отговор: 45°

   Ъглите не са равни, значи са съседни: x + 3x = 180°, x = 45°.

10. При пресичането на две прави сборът на три от образуваните ъгли е 260°. Колко градуса е четвъртият ъгъл?

    • 80°
    • 130°
    • 100°
    • 60°

    Отговор: 100°

    Четирите ъгъла около точката на пресичане имат сбор 360°: 360° − 260° = 100°.

11. Три прави се пресичат в една точка и образуват 6 ъгъла. Два последователни от тях са 50° и 60°. Колко градуса е следващият след тях ъгъл?

    • 50°
    • 70°
    • 60°
    • 110°

    Отговор: 70°

    Три последователни ъгъла образуват изправен ъгъл: 180° − 50° − 60° = 70°.

12. Ъглите α и β са съседни, β и γ също са съседни, а γ ≠ α. Ако α = 40°, колко е γ?

    • 40°
    • 140°
    • 50°
    • 80°

    Отговор: 40°

    α и γ са противоположни (връхни) ъгли, значи γ = α = 40°.

13. Единият от два съседни ъгъла е с 30° по-голям от удвоения друг ъгъл. Колко градуса е по-големият ъгъл?

    • 50°
    • 110°
    • 150°
    • 130°

    Отговор: 130°

    x + (2x + 30°) = 180°, 3x = 150°, x = 50°. По-големият е 2·50° + 30° = 130°.

14. Колко градуса е ъгълът между ъглополовящите на два съседни ъгъла?

    • 180°
    • 45°
    • зависи от ъглите
    • 90°

    Отговор: 90°

    Той е половината от сбора им: 180° : 2 = 90°.

15. Две прави се пресичат. Разликата на два от образуваните ъгли е 50°. Колко градуса е по-малкият?

    • 50°
    • 130°
    • 65°
    • 115°

    Отговор: 65°

    Различни ъгли са съседни: x + (x + 50°) = 180°, x = 65°.

Успоредни прави

1. Две успоредни прави са пресечени от трета. Какви са вътрешните кръстни ъгли?

   • със сбор 180°
   • равни
   • със сбор 90°
   • винаги прави

   Отговор: равни

   При успоредни прави кръстните ъгли са равни.

2. Как се наричат две прави в една равнина, които нямат обща точка?

   • успоредни
   • пресекателни
   • перпендикулярни
   • съвпадащи

   Отговор: успоредни

   Успоредните прави лежат в една равнина и не се пресичат.

3. Две успоредни прави са пресечени от трета. Какви са съответните ъгли?

   • със сбор 90°
   • равни
   • със сбор 180°
   • прави

   Отговор: равни

   При успоредни прави съответните ъгли са равни.

4. Две успоредни прави са пресечени от трета. Единият от вътрешните прилежащи ъгли е 115°. Колко градуса е другият?

   • 115°
   • 25°
   • 75°
   • 65°

   Отговор: 65°

   Вътрешните прилежащи ъгли при успоредни прави имат сбор 180°: 180° − 115° = 65°.

5. Две успоредни прави са пресечени от трета. Единият от вътрешните кръстни ъгли е 52°. Колко градуса е другият?

   • 52°
   • 128°
   • 38°
   • 104°

   Отговор: 52°

   При успоредни прави кръстните ъгли са равни.

6. Колко прави, успоредни на дадена права, минават през точка извън нея?

   • безброй
   • две
   • една
   • нито една

   Отговор: една

   По аксиомата за успоредните прави тя е точно една.

7. Правите a и b са перпендикулярни на една и съща права c. Какво е взаимното положение на a и b?

   • перпендикулярни
   • успоредни
   • пресичат се под 45°
   • пресичат се под 60°

   Отговор: успоредни

   Съответните ъгли са прави, т.е. равни, затова a ∥ b.

8. Правите a и b са успоредни, а правата c е перпендикулярна на a. Какъв ъгъл сключва c с b?

   • 45°
   • 90°
   • 0°
   • 180°

   Отговор: 90°

   Съответните ъгли при успоредни прави са равни, значи c ⊥ b.

9. Две успоредни прави са пресечени от трета. Два съответни ъгъла са 3x и x + 50°. Колко градуса е x?

   • 20°
   • 50°
   • 75°
   • 25°

   Отговор: 25°

   Съответните ъгли са равни: 3x = x + 50°, x = 25°.

10. Две успоредни прави са пресечени от трета. Единият от вътрешните прилежащи ъгли е с 40° по-голям от другия. Колко градуса е по-големият?

    • 70°
    • 140°
    • 110°
    • 100°

    Отговор: 110°

    x + (x + 40°) = 180°, x = 70°, по-големият е 110°.

11. Две успоредни прави са пресечени от трета. Ъглополовящите на два вътрешни прилежащи ъгъла се пресичат. Колко градуса е ъгълът между тях?

    • 45°
    • 60°
    • 180°
    • 90°

    Отговор: 90°

    Сборът на прилежащите ъгли е 180°, а половинките им са 90°, значи третият ъгъл в триъгълника е 90°.

12. Две успоредни прави са пресечени от трета. Два вътрешни прилежащи ъгъла се отнасят както 4 : 5. Колко градуса е по-малкият?

    • 80°
    • 100°
    • 72°
    • 90°

    Отговор: 80°

    Сборът им е 180°: 4k + 5k = 180°, k = 20°, по-малкият е 80°.

13. Две успоредни прави са пресечени от трета, която не е перпендикулярна на тях. Колко различни по големина ъгли се получават?

    • 2
    • 4
    • 8
    • 1

    Отговор: 2

    Осемте ъгъла са два вида: равни на α или на 180° − α, а α ≠ 90°.

14. Две успоредни прави са пресечени от трета. Сборът на два от образуваните ъгли е 110°. Колко градуса е най-големият от образуваните ъгли?

    • 110°
    • 55°
    • 125°
    • 70°

    Отговор: 125°

    Неравните ъгли са със сбор 180°, значи двата ъгъла са равни по 55°, а другите са 180° − 55° = 125°.

15. Две успоредни прави са пресечени от трета. Ъглополовящата на един вътрешен кръстен ъгъл сключва с другата права ъгъл 35°. Колко градуса е вътрешният кръстен ъгъл?

    • 35°
    • 70°
    • 110°
    • 140°

    Отговор: 70°

    Половината от ъгъла и ъгълът на ъглополовящата с другата права са кръстни, значи равни: ъгълът е 2 · 35° = 70°.

Ъгли в триъгълник

1. На колко е равен сборът на ъглите в триъгълник?

   • 360°
   • 90°
   • 180°
   • 270°

   Отговор: 180°

   Теоремата за сбора на ъглите в триъгълник: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

2. Колко прави ъгъла най-много може да има един триъгълник?

   • два
   • три
   • един
   • нито един

   Отговор: един

   Два прави ъгъла вече дават 180° и за третия не остава нищо.

3. Два ъгъла на триъгълник са 50° и 60°. Колко градуса е третият?

   • 70°
   • 110°
   • 60°
   • 80°

   Отговор: 70°

   180° − 50° − 60° = 70°.

4. Единият остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е 34°. Колко градуса е другият остър ъгъл?

   • 146°
   • 56°
   • 66°
   • 34°

   Отговор: 56°

   Острите ъгли на правоъгълен триъгълник имат сбор 90°: 90° − 34° = 56°.

5. Ъглите на триъгълник са x, 2x и 3x. Колко градуса е x?

   • 60°
   • 30°
   • 36°
   • 20°

   Отговор: 30°

   x + 2x + 3x = 180°, 6x = 180°, x = 30°.

6. Колко градуса е всеки остър ъгъл на равнобедрен правоъгълен триъгълник?

   • 30°
   • 60°
   • 45°
   • 90°

   Отговор: 45°

   Острите ъгли са равни и сборът им е 90°, значи по 45°.

7. Ъгълът при върха на равнобедрен триъгълник е 40°. Колко градуса е ъгълът при основата?

   • 140°
   • 40°
   • 70°
   • 50°

   Отговор: 70°

   Ъглите при основата са равни: (180° − 40°) : 2 = 70°.

8. Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е 35°. Какъв е триъгълникът според ъглите си?

   • остроъгълен
   • правоъгълен
   • равностранен
   • тъпоъгълен

   Отговор: тъпоъгълен

   Ъгълът при върха е 180° − 70° = 110°, т.е. тъп.

9. В ΔABC ∠C = 90°, а ∠A е 2 пъти по-голям от ∠B. Колко градуса е ∠A?

   • 30°
   • 60°
   • 45°
   • 120°

   Отговор: 60°

   ∠A + ∠B = 90°, 2x + x = 90°, x = 30°, ∠A = 60°.

10. Един ъгъл на триъгълник е 2 пъти по-голям от втория и с 20° по-малък от третия. Колко градуса е най-големият ъгъл?

    • 84°
    • 64°
    • 96°
    • 72°

    Отговор: 84°

    Ъглите са x, 2x и 2x + 20°: 5x + 20° = 180°, x = 32°. Ъглите са 32°, 64° и 84°.

11. В ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 60°, а CH е височина. Колко градуса е ∠ACH?

    • 40°
    • 30°
    • 70°
    • 20°

    Отговор: 40°

    В правоъгълния ΔAHC ∠ACH = 90° − 50° = 40°.

12. В ΔABC ∠A = 60°, ∠B = 80°, а CL е ъглополовяща (L е на AB). Колко градуса е ∠ALC?

    • 80°
    • 120°
    • 110°
    • 100°

    Отговор: 100°

    ∠C = 40°, ∠ACL = 20°, ∠ALC = 180° − 60° − 20° = 100°.

13. В ΔABC ∠A = 70° и ∠B = 50°. Ъглополовящите на ∠A и ∠B се пресичат в точка O. Колко градуса е ∠AOB?

    • 60°
    • 125°
    • 120°
    • 110°

    Отговор: 120°

    ∠OAB = 35°, ∠OBA = 25°, затова ∠AOB = 180° − 35° − 25° = 120°.

14. В остроъгълния ΔABC ∠A = 60°, а височините BM и CN се пресичат в точка H. Колко градуса е ∠BHC?

    • 60°
    • 90°
    • 120°
    • 150°

    Отговор: 120°

    В четириъгълника ANHM ъглите при N и M са прави, значи ∠NHM = 180° − 60° = 120°, а ∠BHC е противоположен на него.

15. В ΔABC ∠A = 50°. Ъглополовящите на външните ъгли при B и C се пресичат в точка P. Колко градуса е ∠BPC?

    • 115°
    • 65°
    • 130°
    • 50°

    Отговор: 65°

    ∠BPC = 90° − ∠A/2 = 90° − 25° = 65°.

Външен ъгъл

1. На колко е равен сборът на външен ъгъл на триъгълник и съседния му вътрешен ъгъл?

   • 90°
   • 360°
   • 180°
   • равен е на третия ъгъл

   Отговор: 180°

   Външният и вътрешният ъгъл при един връх са съседни ъгли.

2. Външният ъгъл на триъгълник е равен на сбора на:

   • трите вътрешни ъгъла
   • двата несъседни вътрешни ъгъла
   • съседния вътрешен ъгъл и 90°
   • двата съседни външни ъгъла

   Отговор: двата несъседни вътрешни ъгъла

   Това е основното свойство на външния ъгъл.

3. Външен ъгъл на триъгълник е 90°. Какъв е съседният му вътрешен ъгъл?

   • остър
   • прав
   • тъп
   • изправен

   Отговор: прав

   Сборът им е 180°, значи вътрешният е 90°, т.е. прав.

4. Два ъгъла на триъгълник са 45° и 60°. Колко градуса е външният ъгъл при третия връх?

   • 75°
   • 105°
   • 135°
   • 120°

   Отговор: 105°

   Външният ъгъл е равен на сбора на несъседните вътрешни ъгли: 45° + 60° = 105°.

5. Външен ъгъл на триъгълник е 130°. Колко градуса е съседният му вътрешен ъгъл?

   • 50°
   • 130°
   • 230°
   • 40°

   Отговор: 50°

   Външният и съседният вътрешен ъгъл имат сбор 180°.

6. Външният ъгъл при върха C на ΔABC е 120°, а ∠A = 70°. Колко градуса е ∠B?

   • 50°
   • 60°
   • 70°
   • 110°

   Отговор: 50°

   Външният ъгъл е сбор на несъседните вътрешни: ∠B = 120° − 70° = 50°.

7. Външният ъгъл при върха на равнобедрен триъгълник (срещу основата) е 110°. Колко градуса е ъгълът при основата?

   • 70°
   • 110°
   • 35°
   • 55°

   Отговор: 55°

   Двата ъгъла при основата са равни и сборът им е 110°: 110° : 2 = 55°.

8. Колко градуса е всеки външен ъгъл на равностранен триъгълник?

   • 60°
   • 90°
   • 180°
   • 120°

   Отговор: 120°

   Вътрешният ъгъл е 60°, а външният 180° − 60° = 120°.

9. Външният ъгъл при основата на равнобедрен триъгълник е 130°. Колко градуса е ъгълът при върха?

   • 50°
   • 100°
   • 80°
   • 65°

   Отговор: 80°

   Ъгълът при основата е 50°, а при върха 180° − 2 · 50° = 80°.

10. На колко е равен сборът на външните ъгли на триъгълник, взети по един при всеки връх?

    • 180°
    • 540°
    • 270°
    • 360°

    Отговор: 360°

    Сборът е 3·180° − 180° = 360°.

11. Външният ъгъл при върха C на ΔABC е 140°, а ∠A е с 20° по-голям от ∠B. Колко градуса е ∠A?

    • 60°
    • 80°
    • 70°
    • 40°

    Отговор: 80°

    ∠A + ∠B = 140° и ∠A − ∠B = 20°, значи ∠A = 80°.

12. Два външни ъгъла на триъгълник при различни върхове са 100° и 150°. Колко градуса е третият вътрешен ъгъл?

    • 110°
    • 50°
    • 80°
    • 70°

    Отговор: 70°

    Съседните вътрешни са 80° и 30°, третият е 180° − 80° − 30° = 70°.

13. Външните ъгли на триъгълник (по един при всеки връх) се отнасят както 3 : 4 : 5. Колко градуса е най-големият вътрешен ъгъл?

    • 90°
    • 150°
    • 75°
    • 120°

    Отговор: 90°

    Външните ъгли са 90°, 120° и 150° (сбор 360°), а вътрешните са 90°, 60° и 30°.

14. Колко най-малко тъпи външни ъгъла (по един при всеки връх) има всеки триъгълник?

    • 2
    • 1
    • 3
    • 0

    Отговор: 2

    Всеки триъгълник има поне два остри вътрешни ъгъла, а външните до тях са тъпи.

15. Външен ъгъл на равнобедрен триъгълник е 100°. Колко градуса може да е ъгълът при върха?

    • 80° или 20°
    • 80°
    • 20°
    • 50° или 80°

    Отговор: 80° или 20°

    Ако е при върха, ъгълът при върха е 80°. Ако е при основата, основните ъгли са по 80°, а върхът е 20°.

Финален въпрос