Математика 6 клас: преговор втори срок

Пропорции

1. Кое е отношението 12 : 18 в несъкратим вид?

   • 3 : 2
   • 1 : 6
   • 2 : 3
   • 3 : 4

   Отговор: 2 : 3

   Делим двата члена на НОД(12, 18) = 6: 12 : 18 = 2 : 3.

2. Кое е отношението на 1 m към 25 cm?

   • 1 : 25
   • 1 : 4
   • 4 : 1
   • 25 : 1

   Отговор: 4 : 1

   1 m = 100 cm и 100 : 25 = 4 : 1.

3. Как се нарича равенство на две отношения?

   • уравнение с две отношения
   • процент
   • мащаб
   • пропорция

   Отговор: пропорция

   Равенството a : b = c : d се нарича пропорция.

4. Намерете x от пропорцията x : 6 = 10 : 15.

   • 9
   • 25
   • 1
   • 4

   Отговор: 4

   15 · x = 6 · 10, 15x = 60, x = 4.

5. Кои са крайните членове на пропорцията 2 : 5 = 6 : 15?

   • 2 и 15
   • 5 и 6
   • 2 и 6
   • 5 и 15

   Отговор: 2 и 15

   Крайните членове са първият и последният: 2 и 15.

6. Коя от пропорциите е вярна?

   • 2 : 3 = 6 : 9
   • 2 : 3 = 6 : 8
   • 3 : 4 = 4 : 3
   • 5 : 2 = 10 : 5

   Отговор: 2 : 3 = 6 : 9

   Произведението на крайните членове е равно на произведението на средните: 2 · 9 = 3 · 6.

7. 3 kg ябълки струват 7,50 евро. Колко струват 5 kg?

   • 12,50 евро
   • 10,50 евро
   • 15 евро
   • 12 евро

   Отговор: 12,50 евро

   1 kg струва 7,50 : 3 = 2,50 евро, а 5 kg: 5 · 2,50 = 12,50 евро.

8. Мащабът на карта е 1 : 100 000. Разстоянието на картата е 3,5 cm. Колко е то в действителност?

   • 35 km
   • 350 m
   • 35 m
   • 3,5 km

   Отговор: 3,5 km

   3,5·100 000 = 350 000 cm = 3,5 km.

9. Мащабът на карта е 1 : 50 000. Колко сантиметра на картата отговарят на 2 km в действителност?

   • 40 cm
   • 4 cm
   • 0,4 cm
   • 25 cm

   Отговор: 4 cm

   2 km = 200 000 cm, а 200 000 : 50 000 = 4 cm.

10. 6 работници свършват една работа за 10 дни. За колко дни ще я свършат 4 работници?

    • 20 дни
    • 15 дни
    • 12 дни
    • 7 дни

    Отговор: 15 дни

    Обратна пропорционалност: 6 · 10 = 4 · x, x = 60 : 4 = 15 дни.

11. y е обратнопропорционално на x. При x = 4 стойността на y е 9. Колко е y при x = 6?

    • 13,5
    • 6
    • 11
    • 4

    Отговор: 6

    x·y = 36, затова y = 36 : 6 = 6.

12. y е правопропорционално на x. При x = 3 стойността на y е 12. Колко е y при x = 5?

    • 14
    • 7,2
    • 20
    • 15

    Отговор: 20

    y = 4x, защото 12 : 3 = 4, значи y = 4 · 5 = 20.

13. Числата a, b и c се отнасят както 2 : 3 : 5 и сборът им е 60. Колко е c?

    • 12
    • 18
    • 30
    • 20

    Отговор: 30

    2 + 3 + 5 = 10 части, 1 част = 6, c = 5 · 6 = 30.

14. Две числа се отнасят както 3 : 8, а сборът им е 66. Кое е по-малкото?

    • 48
    • 18
    • 22
    • 24

    Отговор: 18

    3k + 8k = 66, k = 6. По-малкото е 3·6 = 18.

15. За числата x и y е известно, че x : y = 3 : 4 и y − x = 5. Колко е x + y?

    • 7
    • 25
    • 40
    • 35

    Отговор: 35

    x = 3k, y = 4k, k = 5, значи x = 15, y = 20 и x + y = 35.

Вероятност и данни

1. Колко е средноаритметичното на 4, 7 и 10?

   • 21
   • 6
   • 10
   • 7

   Отговор: 7

   (4 + 7 + 10) : 3 = 21 : 3 = 7.

2. A = {1, 2} и B = {2, 5}. Кое е обединението на A и B?

   • {2}
   • {1, 5}
   • {1, 2, 2, 5}
   • {1, 2, 5}

   Отговор: {1, 2, 5}

   Обединението съдържа всички елементи от двете множества, всеки по веднъж.

3. Колко възможни изхода има при хвърляне на един зар?

   • 2
   • 6
   • 12
   • 36

   Отговор: 6

   Може да се падне 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

4. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне 6?

   • 1/6
   • 1/2
   • 6
   • 5/6

   Отговор: 1/6

   Благоприятен е 1 от 6 равновъзможни изхода.

5. Каква е вероятността при хвърляне на монета да се падне ези?

   • 1/2
   • 1/3
   • 1
   • 1/4

   Отговор: 1/2

   Изходите са два равновъзможни: ези и тура.

6. Кое събитие е невъзможно при хвърляне на зар?

   • пада се 1
   • пада се четно число
   • пада се 7
   • пада се число до 6

   Отговор: пада се 7

   Зарът има числата от 1 до 6, затова 7 не може да се падне.

7. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне четно число?

   • 1/3
   • 1/2
   • 1/6
   • 2/3

   Отговор: 1/2

   Четните са 2, 4 и 6: 3 от 6 изхода, 3/6 = 1/2.

8. В кутия има 5 бели, 3 черни и 2 зелени топчета. Каква е вероятността случайно извадено топче да е зелено?

   • 1/3
   • 2/3
   • 1/5
   • 1/2

   Отговор: 1/5

   Благоприятни са 2 от 10 изхода: 2/10 = 1/5.

9. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, по-голямо от 4?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/6
   • 1/3

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 5 и 6, т.е. 2 от 6: 2/6 = 1/3.

10. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Кое е сечението на A и B?

    • {1, 2, 3, 4, 5}
    • {1, 2}
    • {3, 4}
    • {5}

    Отговор: {3, 4}

    Сечението съдържа общите елементи: 3 и 4.

11. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността двете числа да са еднакви?

    • 1/36
    • 1/12
    • 1/3
    • 1/6

    Отговор: 1/6

    Еднаквите двойки са 6 от всичко 36: 6/36 = 1/6.

12. Колко са възможните изходи при хвърляне на две монети?

    • 4
    • 2
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    Изходите са ЕЕ, ЕТ, ТЕ и ТТ.

13. Средноаритметичното на четири числа е 6. Три от тях са 4, 5 и 8. Кое е четвъртото?

    • 6
    • 5
    • 17
    • 7

    Отговор: 7

    Сборът на четирите е 4 · 6 = 24, четвъртото е 24 − (4 + 5 + 8) = 7.

14. Средноаритметичното на 5 числа е 12. Махаме едно от тях и средноаритметичното на останалите става 11. Кое число махнахме?

    • 12
    • 16
    • 11
    • 1

    Отговор: 16

    Сборът на 5-те е 60, на 4-те е 44: 60 − 44 = 16.

15. Хвърлят се два зара. Каква е вероятността сборът на точките да е 10?

    • 1/6
    • 1/12
    • 1/36
    • 1/10

    Отговор: 1/12

    Благоприятни са (4; 6), (5; 5) и (6; 4), т.е. 3 от 36: 3/36 = 1/12.

Окръжност и кръг

1. Радиусът на окръжност е 5 cm. Колко е дължината ѝ?

   • 10π cm
   • 5π cm
   • 25π cm
   • 20π cm

   Отговор: 10π cm

   C = 2πr = 2 · π · 5 = 10π cm.

2. Радиусът на окръжност е 7 cm. Колко е диаметърът ѝ?

   • 3,5 cm
   • 7π cm
   • 14 cm
   • 49 cm

   Отговор: 14 cm

   Диаметърът е два пъти по-голям от радиуса: 2·7 = 14 cm.

3. Каква е връзката между диаметъра d и радиуса r на окръжност?

   • r = 2d
   • d = r + 2
   • d = πr
   • d = 2r

   Отговор: d = 2r

   Диаметърът е два радиуса.

4. Радиусът на кръг е 3 cm. Колко е лицето му?

   • 6π cm²
   • 9π cm²
   • 3π cm²
   • 18π cm²

   Отговор: 9π cm²

   S = πr² = π · 9 = 9π cm².

5. Колко е дължината на окръжност с диаметър 12 cm?

   • 12π cm
   • 24π cm
   • 6π cm
   • 36π cm

   Отговор: 12π cm

   C = π·d = 12π cm.

6. Как се нарича отсечка, която свързва две точки от окръжност?

   • хорда
   • радиус
   • допирателна
   • дъга

   Отговор: хорда

   Хорда е отсечка с краища върху окръжността; най-голямата хорда е диаметърът.

7. Дължината на окръжност е 18π cm. Колко е радиусът ѝ?

   • 18 cm
   • 3 cm
   • 9 cm
   • 36 cm

   Отговор: 9 cm

   2πr = 18π, значи r = 9 cm.

8. Лицето на кръг е 25π cm². Колко е радиусът му?

   • 5 cm
   • 25 cm
   • 12,5 cm
   • 10 cm

   Отговор: 5 cm

   π·r² = 25π, значи r² = 25 и r = 5 cm.

9. Колко е дължината на окръжност с радиус 10 cm (π ≈ 3,14)?

   • 31,4 cm
   • 62,8 cm
   • 314 cm
   • 628 cm

   Отговор: 62,8 cm

   C = 2πr ≈ 2 · 3,14 · 10 = 62,8 cm.

10. Колко е лицето на кръг с диаметър 8 cm (π ≈ 3,14)?

    • 25,12 cm²
    • 200,96 cm²
    • 12,56 cm²
    • 50,24 cm²

    Отговор: 50,24 cm²

    r = 4 cm, S = 3,14 · 16 = 50,24 cm².

11. Колко е лицето на полукръг с радиус 4 cm?

    • 16π cm²
    • 4π cm²
    • 8π cm²
    • 2π cm²

    Отговор: 8π cm²

    Лицето на целия кръг е 16π cm², а на половината 8π cm².

12. Колко е лицето на кръговия пръстен между окръжности с радиуси 5 cm и 3 cm?

    • 4π cm²
    • 2π cm²
    • 16π cm²
    • 34π cm²

    Отговор: 16π cm²

    S = π · 5² − π · 3² = 25π − 9π = 16π cm².

13. Колко градуса е вътрешният ъгъл на правилен шестоъгълник?

    • 120°
    • 60°
    • 108°
    • 135°

    Отговор: 120°

    Сборът на ъглите е (6 − 2) · 180° = 720°, а 720° : 6 = 120°.

14. Радиусът на кръг се увеличава 3 пъти. Колко пъти се увеличава лицето му?

    • 3 пъти
    • 9 пъти
    • 6 пъти
    • 27 пъти

    Отговор: 9 пъти

    S = π·r², затова при 3 пъти по-голям радиус лицето става 3·3 = 9 пъти по-голямо.

15. Колело има диаметър 50 cm. Колко пълни оборота прави, за да измине 314 m (π ≈ 3,14)?

    • 100
    • 628
    • 400
    • 200

    Отговор: 200

    За един оборот колелото изминава π · 50 = 157 cm = 1,57 m, а 314 : 1,57 = 200.

Призма и пирамида

1. Колко стени има триъгълната призма?

   • 6
   • 5
   • 3
   • 9

   Отговор: 5

   2 основи и 3 околни стени: общо 5.

2. Колко стени има четириъгълната пирамида?

   • 4
   • 6
   • 8
   • 5

   Отговор: 5

   Основата е 1 стена и околните стени са 4: общо 5.

3. Колко върха има триъгълната пирамида?

   • 3
   • 4
   • 6
   • 5

   Отговор: 4

   3 върха на основата и 1 връх на пирамидата.

4. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 3 cm и височина 10 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 30 cm³
   • 120 cm³
   • 90 cm³
   • 300 cm³

   Отговор: 90 cm³

   V = B · h = 3 · 3 · 10 = 90 cm³.

5. Колко ръба има триъгълната призма?

   • 6
   • 9
   • 12
   • 5

   Отговор: 9

   По 3 ръба на всяка от двете основи и 3 околни ръба: 9.

6. Колко основи има всяка призма?

   • 1
   • 3
   • 2
   • 4

   Отговор: 2

   Призмата има две еднакви успоредни основи.

7. Колко е лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна призма с основен ръб 3 cm и височина 10 cm?

   • 138 cm²
   • 90 cm²
   • 60 cm²
   • 120 cm²

   Отговор: 120 cm²

   S₁ = P · h = 12 · 10 = 120 cm².

8. Каква фигура е всяка околна стена на правилна пирамида?

   • правоъгълник
   • квадрат
   • равнобедрен триъгълник
   • трапец

   Отговор: равнобедрен триъгълник

   Околните ръбове на правилната пирамида са равни, затова околните стени са равнобедрени триъгълници.

9. Колко ръба има четириъгълната пирамида?

   • 4
   • 5
   • 12
   • 8

   Отговор: 8

   4 основни ръба и 4 околни ръба.

10. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 5 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 60 cm³
    • 180 cm³
    • 30 cm³
    • 90 cm³

    Отговор: 60 cm³

    V = B · h : 3 = 36 · 5 : 3 = 60 cm³.

11. Призма и пирамида имат еднакви основи и еднакви височини. Колко пъти обемът на пирамидата е по-малък от обема на призмата?

    • 2 пъти
    • 4 пъти
    • равни са
    • 3 пъти

    Отговор: 3 пъти

    V на призмата = B·h, а V на пирамидата = B·h : 3.

12. Права триъгълна призма има основа правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm и височина 10 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 60 cm³
    • 120 cm³
    • 70 cm³
    • 40 cm³

    Отговор: 60 cm³

    B = 3 · 4 : 2 = 6 cm², V = B · h = 6 · 10 = 60 cm³.

13. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и апотема 4 cm. Колко е лицето на околната ѝ повърхнина?

    • 84 cm²
    • 48 cm²
    • 24 cm²
    • 96 cm²

    Отговор: 48 cm²

    4 околни стени с лице 6 · 4 : 2 = 12 cm²: общо 48 cm².

14. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 5 cm и височина 8 cm. Колко е лицето на повърхнината ѝ?

    • 210 cm²
    • 160 cm²
    • 200 cm²
    • 185 cm²

    Отговор: 210 cm²

    Двете основи: 2·25 = 50 cm², околна повърхнина: 4·5·8 = 160 cm². Общо 210 cm².

15. Пирамида има 10 ръба. Колко стени има?

    • 5
    • 6
    • 10
    • 7

    Отговор: 6

    Основата е петоъгълник (5 основни и 5 околни ръба), стените са 5 околни и 1 основа.

Валчести тела

1. Цилиндър има радиус 2 cm и височина 5 cm. Колко е обемът му?

   • 10π cm³
   • 40π cm³
   • 20π cm³
   • 20 cm³

   Отговор: 20π cm³

   V = πr²h = π · 4 · 5 = 20π cm³.

2. Каква фигура е основата на прав кръгов цилиндър?

   • квадрат
   • триъгълник
   • кръг
   • правоъгълник

   Отговор: кръг

   Цилиндърът има две основи, които са еднакви кръгове.

3. Какво геометрично тяло има формата на футболна топка?

   • цилиндър
   • конус
   • куб
   • кълбо

   Отговор: кълбо

   Топката има форма на кълбо, а повърхността ѝ е сфера.

4. Колко е лицето на околната повърхнина на цилиндър с радиус 3 cm и височина 4 cm?

   • 12π cm²
   • 42π cm²
   • 36π cm²
   • 24π cm²

   Отговор: 24π cm²

   S₁ = 2πrh = 2 · π · 3 · 4 = 24π cm².

5. Какво тяло се получава при завъртане на правоъгълник около една от страните му?

   • цилиндър
   • конус
   • кълбо
   • призма

   Отговор: цилиндър

   При въртене на правоъгълник около страна се получава прав кръгов цилиндър.

6. Какво тяло се получава при завъртане на правоъгълен триъгълник около един от катетите му?

   • конус
   • цилиндър
   • кълбо
   • пирамида

   Отговор: конус

   Катетът става височина, а другият катет е радиусът на основата.

7. Конус има радиус 3 cm и височина 4 cm. Колко е обемът му?

   • 12π cm³
   • 36π cm³
   • 4π cm³
   • 24π cm³

   Отговор: 12π cm³

   V = πr²h : 3 = π · 9 · 4 : 3 = 12π cm³.

8. Колко е обемът на кълбо с радиус 3 cm?

   • 12π cm³
   • 27π cm³
   • 108π cm³
   • 36π cm³

   Отговор: 36π cm³

   V = 4/3·π·r³ = 4/3·π·27 = 36π cm³.

9. Колко е лицето на основата на цилиндър с радиус 4 cm?

   • 8π cm²
   • 16π cm²
   • 4π cm²
   • 64π cm²

   Отговор: 16π cm²

   Основата е кръг: S = π · 4² = 16π cm².

10. Колко е лицето на сфера с радиус 3 cm?

    • 9π cm²
    • 36π cm²
    • 12π cm²
    • 108π cm²

    Отговор: 36π cm²

    S = 4πr² = 4 · π · 9 = 36π cm².

11. Цилиндър има радиус 5 cm и височина 4 cm. Колко е лицето на повърхнината му?

    • 40π cm²
    • 90π cm²
    • 50π cm²
    • 100π cm²

    Отговор: 90π cm²

    Двете основи: 2·25π = 50π, околна повърхнина: 2π·5·4 = 40π. Общо 90π cm².

12. Цилиндър има обем 72π cm³ и радиус 3 cm. Колко е височината му?

    • 24 cm
    • 12 cm
    • 8 cm
    • 6 cm

    Отговор: 8 cm

    V = πr²h: 72π = 9π · h, h = 8 cm.

13. Конус има радиус 6 cm и образувателна 10 cm. Колко е лицето на околната му повърхнина?

    • 96π cm²
    • 120π cm²
    • 60π cm²
    • 30π cm²

    Отговор: 60π cm²

    S₁ = πrl = π · 6 · 10 = 60π cm².

14. Цилиндър и конус имат еднакви основи и еднакви височини. Обемът на цилиндъра е 45 cm³. Колко е обемът на конуса?

    • 45 cm³
    • 15 cm³
    • 135 cm³
    • 22,5 cm³

    Отговор: 15 cm³

    Обемът на конуса е една трета от обема на цилиндъра: 45 : 3 = 15 cm³.

15. Радиусът на кълбо се увеличава 2 пъти. Колко пъти се увеличава обемът му?

    • 2 пъти
    • 4 пъти
    • 6 пъти
    • 8 пъти

    Отговор: 8 пъти

    V = 4/3 · πr³, а 2³ = 8.

Финален въпрос