Уравнения

Равенства и корен

1. Кое число е корен на уравнението 3x − 2 = 10?

   • 3
   • 4
   • 2
   • 12

   Отговор: 4

   Проверка: 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10, получава се вярно равенство.

2. Как се нарича число, което при заместване превръща уравнението във вярно числово равенство?

   • коефициент
   • неизвестно
   • корен на уравнението
   • свободен член

   Отговор: корен на уравнението

   Числото, за което уравнението става вярно равенство, е негов корен.

3. Кое от изброените е уравнение?

   • 3 + 5 = 8
   • 2x − 1 = 7
   • 4 > 2
   • 5x + 1

   Отговор: 2x − 1 = 7

   Уравнението е равенство, което съдържа неизвестно. Само 2x − 1 = 7 е такова.

4. Кое числово равенство е вярно?

   • −4 + 9 = −5
   • (−2)² = −4
   • 15 : (−3) = 5
   • 2·(−3) + 7 = 1

   Отговор: 2·(−3) + 7 = 1

   2·(−3) = −6 и −6 + 7 = 1. Другите са неверни: 5, 4 и −5.

5. Към двете страни на равенството 5 + 3 = 8 прибавяме едно и също число. Какво получаваме?

   • вярно числово равенство
   • невярно равенство
   • неравенство
   • уравнение без корен

   Отговор: вярно числово равенство

   Това е свойство на числовите равенства: равенството се запазва.

6. Как се нарича буквата x в уравнението 4x + 1 = 9?

   • коефициент
   • корен
   • неизвестно
   • свободен член

   Отговор: неизвестно

   Буквата, чиято стойност търсим, се нарича неизвестно. Коренът е числото 2, което я удовлетворява.

7. Колко корена има уравнението 2x + 5 = 2x + 7?

   • 1 корен
   • няма корен
   • 2 корена
   • безброй много корени

   Отговор: няма корен

   След пренасяне се получава 0·x = 2, а това не е вярно за никое x.

8. Колко корена има уравнението 3(x + 1) = 3x + 3?

   • нито един
   • точно един
   • точно два
   • безброй много

   Отговор: безброй много

   След разкриване на скобите се получава 3x + 3 = 3x + 3, което е вярно за всяко x.

9. Двете страни на уравнение се умножават с едно и също число. При кое число може да се получи уравнение, което не е еквивалентно на даденото?

   • 0
   • −1
   • 2
   • 1/2

   Отговор: 0

   При умножение с 0 се получава 0 = 0, което е вярно за всяко x. Умножението с число, различно от 0, дава еквивалентно уравнение.

10. За коя стойност на a коренът на уравнението a·x = 12 е −3?

    • 4
    • −36
    • −4
    • 36

    Отговор: −4

    Заместваме x = −3: a·(−3) = 12, откъдето a = −4.

11. Числото −2 е корен на уравнението 4x + m = 0. Колко е m?

    • −8
    • 8
    • 2
    • −2

    Отговор: 8

    4·(−2) + m = 0, т.е. −8 + m = 0 и m = 8.

12. Кое число е корен и на двете уравнения 2x + 1 = 7 и x² = 9?

    • −3
    • 3
    • 1
    • 9

    Отговор: 3

    Коренът на 2x + 1 = 7 е 3, а 3² = 9. Числото −3 е корен само на второто уравнение.

13. Кои две уравнения са еквивалентни (имат едни и същи корени)?

    • 2x = 6 и x + 1 = 4
    • x − 2 = 1 и 2x = 3
    • 4x = 8 и x − 2 = 2
    • x + 5 = 2 и x = 3

    Отговор: 2x = 6 и x + 1 = 4

    И двете уравнения имат корен 3. В другите двойки корените са 3 и 1,5; 2 и 4; −3 и 3.

14. За коя стойност на a уравненията 2x − 1 = 5 и a·x + 6 = 0 са еквивалентни?

    • 2
    • −2
    • −3
    • 3

    Отговор: −2

    Коренът на първото е x = 3. Тогава 3a + 6 = 0 и a = −2.

15. За коя стойност на a уравнението (a − 2)·x = 5 няма корен?

    • 0
    • 5
    • −2
    • 2

    Отговор: 2

    При a = 2 уравнението става 0·x = 5, което не е вярно за никое x.

Решаване

1. Решете уравнението 5x = −35.

   • x = 7
   • x = −7
   • x = −30
   • x = −40

   Отговор: x = −7

   x = −35 : 5 = −7.

2. Решете уравнението x − 9 = −4.

   • x = −13
   • x = 13
   • x = −5
   • x = 5

   Отговор: x = 5

   x = −4 + 9 = 5.

3. Решете уравнението x : 4 = 3.

   • x = 12
   • x = 7
   • x = 3/4
   • x = 1

   Отговор: x = 12

   Неизвестното делимо е равно на частното, умножено по делителя: x = 3·4 = 12.

4. Решете уравнението 4x + 9 = 1.

   • x = 2
   • x = 2,5
   • x = −2,5
   • x = −2

   Отговор: x = −2

   4x = 1 − 9 = −8, x = −2.

5. Решете уравнението −2x + 3 = 13.

   • x = −5
   • x = 5
   • x = −8
   • x = 8

   Отговор: x = −5

   −2x = 10, x = −5.

6. Решете уравнението 3x − 7 = 2x + 1.

   • x = −8
   • x = 8
   • x = 6
   • x = 1,6

   Отговор: x = 8

   3x − 2x = 1 + 7, значи x = 8.

7. Решете уравнението 7 − 3x = 2x − 8.

   • x = 3
   • x = −3
   • x = 1
   • x = 15

   Отговор: x = 3

   7 + 8 = 2x + 3x, т.е. 15 = 5x и x = 3.

8. Решете уравнението 0,3x − 1,2 = 0,6.

   • x = 2
   • x = −2
   • x = 6
   • x = 0,6

   Отговор: x = 6

   0,3x = 1,8, x = 1,8 : 0,3 = 6.

9. Решете уравнението −(x − 4) = 2x + 1.

   • x = −1
   • x = 5/3
   • x = 1
   • x = 3

   Отговор: x = 1

   −x + 4 = 2x + 1, откъдето 3 = 3x и x = 1.

10. Решете уравнението 2(x − 3) − 5(x + 1) = 4.

    • x = 5
    • x = −1
    • x = 3
    • x = −5

    Отговор: x = −5

    Разкриваме скобите: 2x − 6 − 5x − 5 = 4, т.е. −3x − 11 = 4, −3x = 15, x = −5.

11. Решете уравнението 4(2x − 1) − 3(x − 3) = 20.

    • x = 5
    • x = −3
    • x = 1
    • x = 3

    Отговор: x = 3

    8x − 4 − 3x + 9 = 20, 5x + 5 = 20, x = 3.

12. Решете уравнението 1,5x + 0,5 = 0,5x − 2,5.

    • x = 3
    • x = −1,5
    • x = 2
    • x = −3

    Отговор: x = −3

    1,5x − 0,5x = −2,5 − 0,5, т.е. x = −3.

13. Решете уравнението x/3 − (x − 1)/2 = 1.

    • x = −3
    • x = 3
    • x = −9
    • x = 9

    Отговор: x = −3

    Умножаваме по 6: 2x − 3(x − 1) = 6, 2x − 3x + 3 = 6, −x = 3, x = −3.

14. Решете уравнението (x + 2)/4 = (2x − 1)/3.

    • x = −2
    • x = 2
    • x = 1
    • x = 10

    Отговор: x = 2

    Умножаваме по 12: 3(x + 2) = 4(2x − 1), 3x + 6 = 8x − 4, 10 = 5x, x = 2.

15. Решете уравнението (x − 1)/2 + (x + 3)/4 = 4.

    • x = 5
    • x = 3
    • x = 15
    • x = 7

    Отговор: x = 5

    Умножаваме по 4: 2x − 2 + x + 3 = 16, 3x = 15, x = 5.

Моделиране

1. Кое уравнение отговаря на условието „Едно число, увеличено с 8, е равно на 20“?

   • 8x = 20
   • x − 8 = 20
   • x + 8 = 20
   • x + 20 = 8

   Отговор: x + 8 = 20

   „Увеличено с 8“ означава x + 8.

2. Кое уравнение отговаря на условието „Удвоеното на едно число е равно на 18“?

   • x + 2 = 18
   • x : 2 = 18
   • 2x = 18
   • x² = 18

   Отговор: 2x = 18

   Удвоеното на x е 2x.

3. Кой израз означава „числото, 3 пъти по-голямо от x“?

   • x + 3
   • 3x
   • x : 3
   • x − 3

   Отговор: 3x

   „3 пъти по-голямо“ означава умножение по 3.

4. Утроеното на едно число, намалено с 5, е равно на 16. Кое е числото?

   • 21
   • 3
   • 11
   • 7

   Отговор: 7

   3x − 5 = 16, 3x = 21, x = 7.

5. Половината от едно число, увеличена с 4, е равна на 10. Кое е числото?

   • 12
   • 3
   • 28
   • 7

   Отговор: 12

   x/2 + 4 = 10, x/2 = 6, x = 12.

6. Кое равенство отговаря на условието „Числото x е 4 пъти по-малко от 36“?

   • x = 36 : 4
   • x = 36·4
   • x = 36 − 4
   • x + 4 = 36

   Отговор: x = 36 : 4

   „4 пъти по-малко“ означава деление на 4.

7. Дължината на правоъгълник е с 4 cm по-голяма от ширината му, а обиколката е 28 cm. Колко е ширината?

   • 7 cm
   • 12 cm
   • 5 cm
   • 9 cm

   Отговор: 5 cm

   2·(x + x + 4) = 28, 4x + 8 = 28, x = 5 cm.

8. Обиколката на триъгълник е 30 cm. Втората страна е с 2 cm, а третата с 4 cm по-дълга от първата. Колко е първата страна?

   • 8 cm
   • 10 cm
   • 6 cm
   • 12 cm

   Отговор: 8 cm

   x + (x + 2) + (x + 4) = 30, 3x = 24, x = 8 cm.

9. Вторият ъгъл на триъгълник е 2 пъти по-голям от първия, а третият е 3 пъти по-голям от първия. Колко градуса е първият ъгъл?

   • 20°
   • 45°
   • 60°
   • 30°

   Отговор: 30°

   x + 2x + 3x = 180°, 6x = 180°, x = 30°.

10. Сборът на три последователни четни числа е 78. Кое е най-малкото от тях?

    • 26
    • 24
    • 22
    • 28

    Отговор: 24

    x + (x + 2) + (x + 4) = 78, 3x = 72, x = 24. Числата са 24, 26 и 28.

11. Сборът на две числа е 50, а едното е 4 пъти по-голямо от другото. Кое е по-голямото?

    • 10
    • 46
    • 40
    • 12,5

    Отговор: 40

    x + 4x = 50, x = 10, а по-голямото е 40.

12. Едно число е с 12 по-голямо от друго, а сборът им е 3 пъти по-голям от по-малкото. Кое е по-малкото число?

    • 6
    • 12
    • 24
    • 36

    Отговор: 12

    x + (x + 12) = 3x, откъдето x = 12.

13. Бащата е на 40 години, а синът на 12. След колко години бащата ще бъде 2 пъти по-възрастен от сина?

    • след 16 години
    • след 8 години
    • след 14 години
    • след 28 години

    Отговор: след 16 години

    40 + x = 2(12 + x), 40 + x = 24 + 2x, x = 16.

14. Сестра е на 7 години, а брат ѝ на 15. Преди колко години братът е бил 3 пъти по-голям от сестра си?

    • преди 2 години
    • преди 3 години
    • преди 4 години
    • преди 5 години

    Отговор: преди 3 години

    15 − t = 3(7 − t), 15 − t = 21 − 3t, t = 3. Тогава те са били на 12 и 4 години.

15. Цифрата на десетиците на двуцифрено число е 2 пъти по-голяма от цифрата на единиците. Ако разменим цифрите, числото намалява с 36. Кое е числото?

    • 63
    • 42
    • 84
    • 96

    Отговор: 84

    Ако цифрата на единиците е a, числото е 21a, а след размяната е 12a. 21a − 12a = 36, a = 4, числото е 84.

Текстови задачи

1. Иван има 3 пъти повече марки от Петър, а заедно имат 64 марки. Колко марки има Петър?

   • 48
   • 21
   • 16
   • 32

   Отговор: 16

   x + 3x = 64, 4x = 64, x = 16.

2. Мария и Ани имат общо 30 евро. Мария има с 6 евро повече от Ани. Колко евро има Ани?

   • 18
   • 24
   • 15
   • 12

   Отговор: 12

   x + (x + 6) = 30, 2x = 24, x = 12.

3. За 4 еднакви тетрадки са платени 6 евро. Колко струва една тетрадка?

   • 1,50 евро
   • 2 евро
   • 1,20 евро
   • 24 евро

   Отговор: 1,50 евро

   4x = 6, x = 1,50 евро.

4. Ученик прочел книга от 95 страници за 2 дни. Втория ден прочел с 15 страници повече от първия. Колко страници прочел първия ден?

   • 55
   • 40
   • 50
   • 80

   Отговор: 40

   x + (x + 15) = 95, 2x = 80, x = 40.

5. В магазин имало 120 kg ябълки. Сутринта продали няколко килограма, а следобед 2 пъти повече. Останали 30 kg. Колко kg продали сутринта?

   • 45
   • 30
   • 60
   • 40

   Отговор: 30

   x + 2x = 120 − 30 = 90, x = 30 kg.

6. Сборът на едно число и неговата третина е 48. Кое е числото?

   • 12
   • 24
   • 36
   • 16

   Отговор: 36

   x + x/3 = 48, 4x/3 = 48, x = 36.

7. В клас има 26 ученици. Момичетата са с 4 повече от момчетата. Колко са момичетата?

   • 11
   • 13
   • 17
   • 15

   Отговор: 15

   Момчета x, момичета x + 4: 2x + 4 = 26, x = 11, момичетата са 15.

8. Тетрадка струва 1,50 евро. Ученик купил няколко тетрадки и химикалка за 2 евро и платил общо 11 евро. Колко тетрадки е купил?

   • 7
   • 5
   • 6
   • 8

   Отговор: 6

   1,5x + 2 = 11, 1,5x = 9, x = 6.

9. Ани е спестила 3 пъти повече пари от Боби. Ако Ани даде 10 евро на Боби, ще имат равни суми. Колко евро е спестил Боби?

   • 5
   • 10
   • 15
   • 20

   Отговор: 10

   3x − 10 = x + 10, 2x = 20, x = 10.

10. За 3 тетрадки и 2 химикалки са платени 7,20 евро. Една химикалка е с 0,60 евро по-скъпа от една тетрадка. Колко струва тетрадката?

    • 1,20 евро
    • 1,44 евро
    • 1,80 евро
    • 1,08 евро

    Отговор: 1,20 евро

    3x + 2(x + 0,6) = 7,2, 5x + 1,2 = 7,2, 5x = 6, x = 1,20 евро.

11. В двор има кокошки и зайци. Те имат общо 20 глави и 56 крака. Колко са зайците?

    • 12
    • 14
    • 6
    • 8

    Отговор: 8

    Ако зайците са z: 2(20 − z) + 4z = 56, 40 + 2z = 56, z = 8.

12. Турист изминал 60 km за 3 дни. Вторият ден изминал 2 пъти повече от първия, а третият ден с 8 km повече от първия. Колко километра изминал първия ден?

    • 12 km
    • 15 km
    • 26 km
    • 13 km

    Отговор: 13 km

    x + 2x + (x + 8) = 60, 4x = 52, x = 13.

13. Майка раздала 50 евро на трима братя. Вторият получил 2 пъти повече от първия, а третият с 10 евро по-малко от втория. Колко евро получил първият?

    • 10
    • 24
    • 12
    • 14

    Отговор: 12

    x + 2x + (2x − 10) = 50, 5x = 60, x = 12.

14. Един работник изпълнява поръчка за 6 дни, а друг за 3 дни. За колко дни ще я изпълнят, ако работят заедно?

    • 2 дни
    • 4,5 дни
    • 9 дни
    • 3 дни

    Отговор: 2 дни

    За един ден заедно свършват 1/6 + 1/3 = 1/2 от работата, значи за 2 дни.

15. Ученик решил първия ден 1/3 от задачите, втория ден половината от останалите, а третия ден последните 8 задачи. Колко задачи е имало?

    • 24
    • 36
    • 48
    • 16

    Отговор: 24

    След първия ден остават 2/3, след втория остава 1/3 от всички. 1/3 от x е 8, значи x = 24.

Задачи от движение

1. Кола изминава 210 km за 3 часа. С каква скорост се движи?

   • 630 km/h
   • 207 km/h
   • 60 km/h
   • 70 km/h

   Отговор: 70 km/h

   v = s : t = 210 : 3 = 70 km/h.

2. Пешеходец върви със скорост 5 km/h. Колко километра ще измине за 3 часа?

   • 8 km
   • 2 km
   • 15 km
   • 35 km

   Отговор: 15 km

   s = v·t = 5·3 = 15 km.

3. По коя формула се намира пътят s при скорост v и време t?

   • s = v : t
   • s = v·t
   • s = t : v
   • s = v + t

   Отговор: s = v·t

   Пътят е скоростта, умножена по времето.

4. От две гари на разстояние 360 km тръгват едновременно един срещу друг два влака със скорости 80 km/h и 70 km/h. След колко часа ще се срещнат?

   • 2,4 часа
   • 2 часа
   • 3 часа
   • 4,5 часа

   Отговор: 2,4 часа

   Скоростта на сближаване е 80 + 70 = 150 km/h, а 360 : 150 = 2,4 часа (2 ч и 24 мин).

5. Влак изминава 240 km със скорост 80 km/h. Колко часа пътува?

   • 3 часа
   • 4 часа
   • 2 часа
   • 320 часа

   Отговор: 3 часа

   t = s : v = 240 : 80 = 3 часа.

6. Колко километра в час е скорост 20 m/s?

   • 72 km/h
   • 20 km/h
   • 200 km/h
   • 7,2 km/h

   Отговор: 72 km/h

   1 m/s = 3,6 km/h, затова 20 m/s = 20·3,6 = 72 km/h.

7. Велосипедист тръгва от град със скорост 15 km/h. След 2 часа от същото място в същата посока тръгва мотоциклетист със скорост 45 km/h. След колко часа мотоциклетистът ще настигне велосипедиста?

   • 2 часа
   • 1 час
   • 1,5 часа
   • 3 часа

   Отговор: 1 час

   Велосипедистът има преднина 30 km. Мотоциклетистът я стопява с 45 − 15 = 30 km/h, т.е. за 1 час.

8. Две коли тръгват едновременно от едно място в противоположни посоки със скорости 60 km/h и 70 km/h. На какво разстояние ще са една от друга след 2 часа?

   • 20 km
   • 130 km
   • 140 km
   • 260 km

   Отговор: 260 km

   Разстоянието расте със 60 + 70 = 130 km всеки час: 130·2 = 260 km.

9. Два влака тръгват едновременно от едно място в една посока със скорости 90 km/h и 70 km/h. След колко часа разстоянието между тях ще е 60 km?

   • 2 часа
   • 3 часа
   • 4 часа
   • 1,5 часа

   Отговор: 3 часа

   Разстоянието расте с 90 − 70 = 20 km всеки час. 60 : 20 = 3 часа.

10. Лодка има собствена скорост 12 km/h, а скоростта на реката е 3 km/h. За колко часа лодката ще измине 45 km по течението?

    • 5 часа
    • 4 часа
    • 3,75 часа
    • 3 часа

    Отговор: 3 часа

    По течението скоростта е 12 + 3 = 15 km/h, а 45 : 15 = 3 часа.

11. Лодка има собствена скорост 10 km/h, а скоростта на реката е 2 km/h. За колко часа ще измине 24 km срещу течението?

    • 2 часа
    • 3 часа
    • 2,4 часа
    • 4 часа

    Отговор: 3 часа

    Скоростта срещу течението е 10 − 2 = 8 km/h: 24 : 8 = 3 часа.

12. Лодка изминава 36 km по течението за 2 часа. Скоростта на реката е 3 km/h. Колко е собствената скорост на лодката?

    • 18 km/h
    • 21 km/h
    • 15 km/h
    • 12 km/h

    Отговор: 15 km/h

    Скоростта по течението е 36 : 2 = 18 km/h. Собствената скорост е 18 − 3 = 15 km/h.

13. Пешеходец изминава едно разстояние за 3 часа, а велосипедист за 1 час. Скоростта на велосипедиста е с 8 km/h по-голяма. Колко километра е разстоянието?

    • 4 km
    • 8 km
    • 12 km
    • 24 km

    Отговор: 12 km

    3v = 1·(v + 8), 2v = 8, v = 4 km/h. Разстоянието е 3·4 = 12 km.

14. Кола пътува от A до B със скорост 60 km/h и пристига 1 час по-късно, отколкото ако се движеше с 80 km/h. Колко е разстоянието от A до B?

    • 140 km
    • 240 km
    • 480 km
    • 120 km

    Отговор: 240 km

    s/60 − s/80 = 1, т.е. 4s − 3s = 240 и s = 240 km.

15. Кола изминала първата половина от път от 180 km със скорост 60 km/h, а втората половина с 90 km/h. Колко е средната ѝ скорост?

    • 75 km/h
    • 70 km/h
    • 80 km/h
    • 72 km/h

    Отговор: 72 km/h

    Времето е 90 : 60 + 90 : 90 = 1,5 + 1 = 2,5 часа. Средната скорост е 180 : 2,5 = 72 km/h.

Финален въпрос