Геометрични фигури и ръбести тела

Окръжност

1. Диаметърът на окръжност е 10 cm. Колко е радиусът ѝ?

   • 20 cm
   • 10 cm
   • 5 cm
   • 31,4 cm

   Отговор: 5 cm

   Радиусът е половината от диаметъра: 10 : 2 = 5 cm.

2. Как се нарича отсечка, която свързва центъра на окръжност с точка от окръжността?

   • диаметър
   • хорда
   • радиус
   • дъга

   Отговор: радиус

   Радиусът свързва центъра с точка от окръжността.

3. Как се нарича отсечка, която свързва две точки от окръжността?

   • радиус
   • хорда
   • дъга
   • център

   Отговор: хорда

   Отсечка с краища върху окръжността е хорда. Най-дългата хорда е диаметърът.

4. Колко е дължината на окръжност с диаметър 8 cm (π ≈ 3,14)?

   • 25,12 cm
   • 50,24 cm
   • 12,56 cm
   • 200,96 cm

   Отговор: 25,12 cm

   C = π·d = 3,14·8 = 25,12 cm.

5. Как се нарича хорда, която минава през центъра на окръжността?

   • диаметър
   • радиус
   • допирателна
   • дъга

   Отговор: диаметър

   Хордата през центъра е диаметър и е два пъти по-дълга от радиуса.

6. Колко пъти диаметърът на окръжност е по-голям от радиуса ѝ?

   • 2
   • π
   • 4
   • 3,14

   Отговор: 2

   Диаметърът се състои от два радиуса: d = 2r.

7. Колело има радиус 30 cm. Какво разстояние изминава то при едно пълно завъртане (π ≈ 3,14)?

   • 188,4 cm
   • 94,2 cm
   • 2 826 cm
   • 376,8 cm

   Отговор: 188,4 cm

   За едно завъртане колелото изминава дължината на окръжността: 2·3,14·30 = 188,4 cm.

8. Колко е дължината на окръжност с радиус 2,5 cm (π ≈ 3,14)?

   • 7,85 cm
   • 19,625 cm
   • 31,4 cm
   • 15,7 cm

   Отговор: 15,7 cm

   C = 2·π·r ≈ 2·3,14·2,5 = 15,7 cm.

9. Две окръжности имат радиуси 3 cm и 9 cm. Колко пъти дължината на втората е по-голяма от дължината на първата?

   • 9
   • 3
   • 6
   • 27

   Отговор: 3

   Дължината C = 2πr е правопропорционална на радиуса, а 9 : 3 = 3.

10. Дължината на окръжност е 43,96 cm (π ≈ 3,14). Колко е радиусът ѝ?

    • 7 cm
    • 14 cm
    • 3,5 cm
    • 21 cm

    Отговор: 7 cm

    r = C : (2π) = 43,96 : 6,28 = 7 cm.

11. Обиколката на колело е 2 m. Колко пълни оборота прави то при път от 1 km?

    • 2 000
    • 500
    • 200
    • 50

    Отговор: 500

    1 km = 1 000 m и 1 000 : 2 = 500 оборота.

12. Колко е дължината на дъга от 60° от окръжност с радиус 9 cm?

    • 6π cm
    • 1,5π cm
    • 9π cm
    • 3π cm

    Отговор: 3π cm

    Окръжността е 2π·9 = 18π cm. Дъга от 60° е 60/360 = 1/6 от нея: 3π cm.

13. Колко е дължината на четвърт от окръжност с радиус 4 cm?

    • 2π cm
    • 4π cm
    • π cm
    • 8π cm

    Отговор: 2π cm

    Цялата окръжност е 2π·4 = 8π cm, а четвъртината е 8π : 4 = 2π cm.

14. Колко е обиколката на полукръг с радиус 5 cm (π ≈ 3,14)? Обиколката е полуокръжността заедно с диаметъра.

    • 15,7 cm
    • 25,7 cm
    • 31,4 cm
    • 20,7 cm

    Отговор: 25,7 cm

    Полуокръжността е π·r ≈ 15,7 cm, а диаметърът е 10 cm: 25,7 cm.

15. Дължината на окръжност се увеличава с 6,28 cm. С колко се увеличава радиусът ѝ (π ≈ 3,14)?

    • 2 cm
    • 3,14 cm
    • 1 cm
    • 6,28 cm

    Отговор: 1 cm

    Увеличението на дължината е 2π по увеличението на радиуса: 6,28 : 6,28 = 1 cm.

Кръг

1. По коя формула се намира лицето на кръг с радиус r?

   • S = 2π·r
   • S = π·d
   • S = π·r²
   • S = π·r

   Отговор: S = π·r²

   Лицето на кръг е π, умножено по квадрата на радиуса.

2. Как се нарича частта от кръг, ограничена от два радиуса и дъга?

   • хорда
   • кръгов пръстен
   • диаметър
   • кръгов сектор

   Отговор: кръгов сектор

   Кръговият сектор е ограничен от два радиуса и дъгата между тях.

3. Радиусът на кръг е 1 cm. Колко е лицето му?

   • π cm²
   • 2π cm²
   • 1 cm²
   • 4π cm²

   Отговор: π cm²

   S = π·r² = π·1² = π cm².

4. Колко е лицето на кръг с радиус 10 cm (π ≈ 3,14)?

   • 62,8 cm²
   • 31,4 cm²
   • 628 cm²
   • 314 cm²

   Отговор: 314 cm²

   S = 3,14·10² = 3,14·100 = 314 cm².

5. Колко е лицето на кръг с радиус 2 cm (π ≈ 3,14)?

   • 12,56 cm²
   • 6,28 cm²
   • 4 cm²
   • 25,12 cm²

   Отговор: 12,56 cm²

   S = π·r² ≈ 3,14·4 = 12,56 cm².

6. Колко е лицето на полукръг с радиус 6 cm?

   • 36π cm²
   • 18π cm²
   • 6π cm²
   • 12π cm²

   Отговор: 18π cm²

   Лицето на кръга е 36π cm², половината е 18π cm².

7. Диаметърът на кръг е 6 dm. Колко е лицето му?

   • 36π dm²
   • 6π dm²
   • 9π dm²
   • 3π dm²

   Отговор: 9π dm²

   r = 3 dm, S = π·3² = 9π dm².

8. Колко е лицето на четвърт кръг с радиус 4 cm?

   • 16π cm²
   • 8π cm²
   • 4π cm²
   • 2π cm²

   Отговор: 4π cm²

   Целият кръг има лице 16π cm², а четвъртината е 4π cm².

9. Радиусът на кръг се увеличава 3 пъти. Колко пъти се увеличава лицето му?

   • 3
   • 6
   • 9
   • 27

   Отговор: 9

   Лицето зависи от r²: (3r)² = 9r².

10. Лицето на кръг е 49π cm². Колко е дължината на окръжността, която го ограничава?

    • 7π cm
    • 49π cm
    • 28π cm
    • 14π cm

    Отговор: 14π cm

    r² = 49, r = 7 cm, C = 2π·7 = 14π cm.

11. Колко е лицето на кръговия пръстен между две концентрични окръжности с радиуси 5 cm и 3 cm?

    • 4π cm²
    • 34π cm²
    • 2π cm²
    • 16π cm²

    Отговор: 16π cm²

    S = π·5² − π·3² = 25π − 9π = 16π cm².

12. Лицето на кръг е 78,5 cm² (π ≈ 3,14). Колко е радиусът му?

    • 25 cm
    • 12,5 cm
    • 2,5 cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    r² = 78,5 : 3,14 = 25, значи r = 5 cm.

13. В квадрат със страна 10 cm е вписан кръг, който допира страните му. Колко е лицето на частта от квадрата извън кръга (π ≈ 3,14)?

    • 78,5 cm²
    • 21,5 cm²
    • 68,6 cm²
    • 50 cm²

    Отговор: 21,5 cm²

    Радиусът е 5 cm, лицето на кръга е 3,14·25 = 78,5 cm², а 100 − 78,5 = 21,5 cm².

14. Колко е лицето на кръгов сектор с радиус 6 cm и централен ъгъл 60°?

    • 36π cm²
    • 6π cm²
    • 12π cm²
    • 2π cm²

    Отговор: 6π cm²

    60° е 1/6 от 360°, затова S = 36π : 6 = 6π cm².

15. В квадрат е вписан кръг, а около квадрата е описан друг кръг. Колко пъти лицето на описания кръг е по-голямо от лицето на вписания?

    • 2
    • 4
    • 3
    • 1,5

    Отговор: 2

    При страна a радиусът на вписания кръг е a/2, а квадратът на радиуса на описания е половината от квадрата на диагонала: a²/2. Лицата са πa²/4 и πa²/2, т.е. 2 пъти.

Многоъгълници

1. Как се нарича многоъгълник, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни?

   • изпъкнал
   • правилен
   • равнобедрен
   • правоъгълен

   Отговор: правилен

   Например равностранният триъгълник и квадратът са правилни многоъгълници.

2. Колко диагонала има четириъгълникът?

   • 4
   • 1
   • 2
   • 3

   Отговор: 2

   От всеки връх излиза по 1 диагонал, а всеки диагонал се брои от двата си края: 4·1 : 2 = 2.

3. Как се нарича правилният четириъгълник?

   • ромб
   • квадрат
   • правоъгълник
   • трапец

   Отговор: квадрат

   Правилният четириъгълник има равни страни и равни ъгли, това е квадратът.

4. Колко градуса е сборът от вътрешните ъгли на петоъгълник?

   • 540°
   • 360°
   • 720°
   • 900°

   Отговор: 540°

   Петоъгълникът се разделя с диагонали от един връх на 3 триъгълника: 3·180° = 540°.

5. Колко диагонала излизат от един връх на петоъгълник?

   • 2
   • 3
   • 5
   • 1

   Отговор: 2

   Върхът не се свързва със себе си и с двата съседни върха: 5 − 3 = 2.

6. Колко градуса е сборът от външните ъгли (по един при всеки връх) на изпъкнал многоъгълник?

   • 180°
   • 540°
   • 360°
   • зависи от броя на страните

   Отговор: 360°

   При всеки изпъкнал многоъгълник сборът от външните ъгли, взети по един при връх, е 360°.

7. Колко градуса е вътрешният ъгъл на правилен осмоъгълник?

   • 120°
   • 144°
   • 135°
   • 108°

   Отговор: 135°

   Сборът от ъглите е 6·180° = 1 080°, а 1 080° : 8 = 135°.

8. Правилен осмоъгълник има страна 4,5 cm. Колко е обиколката му?

   • 36 cm
   • 27 cm
   • 40 cm
   • 12,5 cm

   Отговор: 36 cm

   P = 8·4,5 = 36 cm.

9. Колко градуса е ъгълът между два радиуса към съседни върхове на правилен шестоъгълник?

   • 60°
   • 120°
   • 30°
   • 90°

   Отговор: 60°

   Централните ъгли са 6 и са равни: 360° : 6 = 60°.

10. Обиколката на правилен шестоъгълник е 36 cm. Колко е радиусът на описаната около него окръжност?

    • 36 cm
    • 6 cm
    • 12 cm
    • 3 cm

    Отговор: 6 cm

    Правилният шестоъгълник се състои от 6 равностранни триъгълника, затова радиусът е равен на страната: 36 : 6 = 6 cm.

11. Колко диагонала има шестоъгълникът?

    • 6
    • 12
    • 9
    • 3

    Отговор: 9

    От всеки връх излизат 3 диагонала: 6·3 : 2 = 9.

12. Сборът от вътрешните ъгли на многоъгълник е 1080°. Колко страни има той?

    • 6
    • 7
    • 8
    • 9

    Отговор: 8

    (n − 2)·180° = 1080°, n − 2 = 6, n = 8.

13. Правилен шестоъгълник има страна 6 cm, а разстоянието от центъра му до всяка страна е 5,2 cm. Колко е лицето му?

    • 187,2 cm²
    • 31,2 cm²
    • 93,6 cm²
    • 62,4 cm²

    Отговор: 93,6 cm²

    Шестоъгълникът се разделя на 6 равни триъгълника с основа 6 cm и височина 5,2 cm: 6·(6·5,2 : 2) = 6·15,6 = 93,6 cm².

14. Вътрешният ъгъл на правилен многоъгълник е 150°. Колко страни има той?

    • 10
    • 12
    • 15
    • 8

    Отговор: 12

    Външният ъгъл е 180° − 150° = 30°, а 360° : 30° = 12 страни.

15. Многоъгълник има 14 диагонала. Колко страни има той?

    • 6
    • 8
    • 14
    • 7

    Отговор: 7

    Броят на диагоналите е n(n − 3)/2. При n = 7: 7·4/2 = 14.

Призма

1. Колко стени има петоъгълна призма?

   • 5
   • 10
   • 15
   • 7

   Отговор: 7

   Има 2 основи и 5 околни стени: общо 7.

2. Колко основи има всяка призма?

   • 1
   • 3
   • 4
   • 2

   Отговор: 2

   Призмата има две еднакви успоредни основи.

3. Как се нарича призма, на която всички стени са квадрати?

   • паралелепипед
   • куб
   • пирамида
   • триъгълна призма

   Отговор: куб

   Кубът има 6 стени, всички квадрати.

4. Каква фигура е всяка околна стена на права призма?

   • триъгълник
   • трапец
   • кръг
   • правоъгълник

   Отговор: правоъгълник

   При правата призма околните ръбове са перпендикулярни на основите, затова околните стени са правоъгълници.

5. Колко ръба има шестоъгълната призма?

   • 12
   • 18
   • 24
   • 8

   Отговор: 18

   По 6 ръба на всяка основа и 6 околни ръба: 18.

6. Колко върха има триъгълната призма?

   • 3
   • 5
   • 6
   • 9

   Отговор: 6

   Всяка от двете триъгълни основи има 3 върха: 3 + 3 = 6.

7. Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm, а височината на призмата е 10 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 120 cm³
   • 60 cm³
   • 72 cm³
   • 600 cm³

   Отговор: 60 cm³

   Лицето на основата е 3·4 : 2 = 6 cm², а V = B·h = 6·10 = 60 cm³.

8. Правилна триъгълна призма има основен ръб 4 cm и височина 9 cm. Колко е лицето на околната ѝ повърхнина?

   • 36 cm²
   • 144 cm²
   • 108 cm²
   • 72 cm²

   Отговор: 108 cm²

   Околните стени са 3 правоъгълника 4 cm на 9 cm: 3·36 = 108 cm².

9. Куб има ръб 3 cm. Колко е обемът му?

   • 27 cm³
   • 9 cm³
   • 18 cm³
   • 54 cm³

   Отговор: 27 cm³

   V = a³ = 3·3·3 = 27 cm³.

10. Правилна шестоъгълна призма има основен ръб 5 cm и височина 8 cm. Колко е лицето на околната ѝ повърхнина?

    • 240 cm²
    • 40 cm²
    • 120 cm²
    • 480 cm²

    Отговор: 240 cm²

    Околните стени са 6 правоъгълника 5 cm на 8 cm: 6·5·8 = 240 cm².

11. Основата на права призма е правоъгълен триъгълник със страни 6 cm, 8 cm и 10 cm, а височината на призмата е 5 cm. Колко е лицето на повърхнината ѝ?

    • 144 cm²
    • 120 cm²
    • 240 cm²
    • 168 cm²

    Отговор: 168 cm²

    Две основи: 2·(6·8 : 2) = 48 cm²; околна повърхнина: (6 + 8 + 10)·5 = 120 cm². Общо 168 cm².

12. Правоъгълен паралелепипед има измерения 2 dm, 3 dm и 5 dm. Колко литра вода побира?

    • 10 l
    • 30 l
    • 300 l
    • 3 l

    Отговор: 30 l

    V = 2·3·5 = 30 dm³, а 1 dm³ = 1 l.

13. Права призма има обем 180 cm³ и лице на основата 15 cm². Колко е височината ѝ?

    • 2 700 cm
    • 165 cm
    • 6 cm
    • 12 cm

    Отговор: 12 cm

    h = V : B = 180 : 15 = 12 cm.

14. Правилна четириъгълна призма има обем 200 cm³ и височина 8 cm. Колко е основният ѝ ръб?

    • 5 cm
    • 25 cm
    • 10 cm
    • 4 cm

    Отговор: 5 cm

    Лицето на основата е 200 : 8 = 25 cm², а основата е квадрат със страна 5 cm.

15. Ръбът на куб се увеличава 2 пъти. Колко пъти се увеличава лицето на повърхнината му?

    • 2
    • 8
    • 6
    • 4

    Отговор: 4

    Повърхнината е 6a², а (2a)² = 4a², затова тя се увеличава 4 пъти.

Пирамида

1. Колко върха има четириъгълната пирамида?

   • 4
   • 8
   • 5
   • 6

   Отговор: 5

   4 върха на основата и 1 връх на пирамидата: общо 5.

2. Колко ръба има четириъгълната пирамида?

   • 4
   • 5
   • 8
   • 12

   Отговор: 8

   4 основни ръба и 4 околни ръба: 8.

3. Каква фигура е всяка околна стена на пирамида?

   • квадрат
   • триъгълник
   • правоъгълник
   • кръг

   Отговор: триъгълник

   Околните стени на пирамидата са триъгълници с общ връх.

4. Как се нарича височината на околна стена на правилна пирамида, спусната от върха на пирамидата?

   • медиана
   • диагонал
   • радиус
   • апотема

   Отговор: апотема

   Апотемата е височината на околната стена (равнобедрен триъгълник).

5. Каква фигура е основата на правилна четириъгълна пирамида?

   • квадрат
   • правоъгълник с различни страни
   • ромб с остър ъгъл
   • трапец

   Отговор: квадрат

   Основата на правилна пирамида е правилен многоъгълник, а правилният четириъгълник е квадрат.

6. Колко стени има триъгълната пирамида?

   • 4
   • 3
   • 5
   • 6

   Отговор: 4

   Една основа и 3 околни стени: общо 4.

7. Основата на пирамида има лице 18 cm², а височината на пирамидата е 5 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 90 cm³
   • 30 cm³
   • 45 cm³
   • 15 cm³

   Отговор: 30 cm³

   V = B·h : 3 = 18·5 : 3 = 30 cm³.

8. Пирамида има 7 стени. Какъв многоъгълник е основата ѝ?

   • седмоъгълник
   • петоъгълник
   • осмоъгълник
   • шестоъгълник

   Отговор: шестоъгълник

   Една стена е основата, а околните стени са 6, колкото са страните на основата.

9. Пирамида и призма имат еднакви основи и еднакви височини. Колко пъти обемът на призмата е по-голям от обема на пирамидата?

   • 2
   • 4
   • 3
   • 1,5

   Отговор: 3

   V на призмата е B·h, а на пирамидата B·h/3.

10. Правилна триъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и апотема 5 cm. Колко е лицето на околната ѝ повърхнина?

    • 90 cm²
    • 45 cm²
    • 30 cm²
    • 15 cm²

    Отговор: 45 cm²

    Три равнобедрени триъгълника с основа 6 cm и височина 5 cm: 3·(6·5 : 2) = 45 cm².

11. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 8 cm и апотема 5 cm. Колко е лицето на повърхнината ѝ?

    • 80 cm²
    • 144 cm²
    • 224 cm²
    • 104 cm²

    Отговор: 144 cm²

    Основа: 8·8 = 64 cm²; околна повърхнина: 4·(8·5 : 2) = 80 cm². Общо 144 cm².

12. Обемът на пирамида е 40 cm³, а височината ѝ е 6 cm. Колко е лицето на основата ѝ?

    • 6,7 cm²
    • 12 cm²
    • 10 cm²
    • 20 cm²

    Отговор: 20 cm²

    От V = B·h/3 следва B = 3V : h = 120 : 6 = 20 cm².

13. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 10 cm и апотема 13 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 1 300 cm³
    • 520 cm³
    • 400 cm³
    • 1 200 cm³

    Отговор: 400 cm³

    Височината, апотемата и половината от основния ръб образуват правоъгълен триъгълник: h² = 13² − 5² = 144, h = 12 cm. V = 100·12 : 3 = 400 cm³.

14. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Колко е апотемата ѝ?

    • 7 cm
    • 5 cm
    • 4 cm
    • 10 cm

    Отговор: 5 cm

    Височината, половината от основния ръб (3 cm) и апотемата образуват правоъгълен триъгълник: 3² + 4² = 25 = 5².

15. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 16 cm и обем 512 cm³. Колко е апотемата ѝ?

    • 6 cm
    • 10 cm
    • 8 cm
    • 12 cm

    Отговор: 10 cm

    B = 256 cm², h = 3·512 : 256 = 6 cm. Апотемата е хипотенуза с катети 6 cm и 8 cm (половината от ръба): 10 cm.

Финален въпрос