Вероятности и статистика

Кръгови диаграми

1. На колко градуса отговаря целият кръг в кръгова диаграма?

   • 180°
   • 360°
   • 100°
   • 90°

   Отговор: 360°

   Кръгът е пълен ъгъл от 360°, който съответства на 100%.

2. На колко градуса отговаря половината кръг в кръгова диаграма?

   • 50°
   • 180°
   • 90°
   • 360°

   Отговор: 180°

   Целият кръг е 360°, а половината е 180°.

3. Колко процента от кръговата диаграма представя сектор от 36°?

   • 10%
   • 36%
   • 20%
   • 3,6%

   Отговор: 10%

   36° : 360° = 1/10 = 10%.

4. Колко градуса е секторът, който представя 25% в кръгова диаграма?

   • 25°
   • 90°
   • 45°
   • 120°

   Отговор: 90°

   25% е четвърт от кръга: 360° : 4 = 90°.

5. Секторът за отговор „Да“ е 90°, а за „Не“ е 270°. Колко пъти повече хора са отговорили „Не“?

   • 2 пъти
   • 4 пъти
   • 3 пъти
   • 180 пъти

   Отговор: 3 пъти

   270° : 90° = 3.

6. Секторът за „Синьо“ е 1/3 от кръговата диаграма. Колко градуса е той?

   • 100°
   • 120°
   • 90°
   • 60°

   Отговор: 120°

   360° : 3 = 120°.

7. В анкета участват 60 ученици, от които 18 избират футбол. Колко градуса е секторът за футбол?

   • 108°
   • 18°
   • 30°
   • 60°

   Отговор: 108°

   18 от 60 са 30%, а 30% от 360° = 108°.

8. Кръгова диаграма има три сектора: 150°, 120° и x°. Колко градуса е x?

   • 90°
   • 270°
   • 60°
   • 120°

   Отговор: 90°

   x = 360° − 150° − 120° = 90°.

9. Кое е най-подходящо да се покаже с кръгова диаграма?

   • промяната на температурата по дни
   • ръстът на ученик през годините
   • частите от едно цяло
   • две несвързани величини

   Отговор: частите от едно цяло

   Кръговата диаграма показва как едно цяло (100%) се разделя на части.

10. Кръгова диаграма има три сектора: 108°, 72° и 180°. Колко процента представя секторът от 72°?

    • 72%
    • 30%
    • 25%
    • 20%

    Отговор: 20%

    72° : 360° = 1/5 = 20%.

11. В анкета със 120 ученици секторът за „Математика“ е 90°, а за „История“ е 60°. С колко повече ученици са избрали математика?

    • с 30
    • с 20
    • с 50
    • с 10

    Отговор: с 10

    120·90/360 = 30 и 120·60/360 = 20, а 30 − 20 = 10.

12. Секторът „Да“ е 2 пъти по-голям от сектора „Не“, а секторът „Не знам“ е 60°. Колко градуса е секторът „Да“?

    • 100°
    • 150°
    • 240°
    • 200°

    Отговор: 200°

    2x + x + 60° = 360°, x = 100°, секторът „Да“ е 200°.

13. В кръгова диаграма за 400 анкетирани секторът за отговор „Не“ е 63°. Колко души са отговорили „Не“?

    • 70
    • 63
    • 175
    • 90

    Отговор: 70

    63° : 360° = 0,175, а 0,175·400 = 70.

14. Отговорите „А“, „Б“ и „В“ в кръгова диаграма се отнасят както 2 : 3 : 4. Колко градуса е секторът за „В“?

    • 160°
    • 120°
    • 80°
    • 40°

    Отговор: 160°

    Една част е 360° : 9 = 40°, а „В“ е 4·40° = 160°.

15. В анкета секторът „Да“ е 144°, а „Да“ са отговорили 48 души. Колко души са анкетирани общо?

    • 96
    • 48
    • 120
    • 144

    Отговор: 120

    144° : 360° = 0,4 = 40%, а 48 : 0,4 = 120 души.

Проценти и средно

1. Колко е 20% от 150?

   • 20
   • 30
   • 75
   • 130

   Отговор: 30

   0,2·150 = 30.

2. Колко е 50% от 80?

   • 50
   • 30
   • 40
   • 16

   Отговор: 40

   50% е половината: 80 : 2 = 40.

3. Как се записва 0,35 в проценти?

   • 3,5%
   • 35%
   • 0,35%
   • 350%

   Отговор: 35%

   Умножаваме по 100: 0,35 = 35%.

4. В клас от 25 ученици 10 са отличници. Какъв процент от класа са отличниците?

   • 10%
   • 25%
   • 40%
   • 60%

   Отговор: 40%

   10 : 25 = 0,4 = 40%.

5. Средното аритметично на две числа е 7. Колко е сборът им?

   • 7
   • 14
   • 3,5
   • 49

   Отговор: 14

   Сборът е средното, умножено по броя: 7·2 = 14.

6. 30% от кое число е 12?

   • 36
   • 4
   • 40
   • 360

   Отговор: 40

   12 : 0,3 = 40.

7. Цена от 80 евро е намалена с 15%. Каква е новата цена?

   • 65 евро
   • 12 евро
   • 92 евро
   • 68 евро

   Отговор: 68 евро

   Намалението е 0,15·80 = 12 евро, новата цена е 80 − 12 = 68 евро.

8. Цената на книга се увеличава от 20 на 25 евро. С колко процента е увеличението?

   • 20%
   • 25%
   • 5%
   • 125%

   Отговор: 25%

   Увеличението е 5 евро, а 5 : 20 = 0,25 = 25%.

9. Средното аритметично на 4 числа е 10. Три от тях са 8, 9 и 15. Кое е четвъртото?

   • 8
   • 10
   • 12
   • 6

   Отговор: 8

   Сборът е 4 · 10 = 40, четвъртото е 40 − 8 − 9 − 15 = 8.

10. Колко е средното аритметично на числата 4, 7, 9, 12 и 8?

    • 8
    • 9
    • 10
    • 7,5

    Отговор: 8

    Сборът е 40, а числата са 5: 40 : 5 = 8.

11. Стока поскъпва с 10%, а след това поевтинява с 10%. Как се променя цената спрямо началната?

    • не се променя
    • увеличава се с 1%
    • намалява с 10%
    • намалява с 1%

    Отговор: намалява с 1%

    1,1·0,9 = 0,99, т.е. 99% от началната цена.

12. В клас 40% от учениците са момчета, а момичетата са с 6 повече от момчетата. Колко са учениците?

    • 24
    • 30
    • 36
    • 20

    Отговор: 30

    Момичетата са 60%, разликата 20% е 6 ученици, значи всички са 6 : 0,2 = 30.

13. Средната възраст на 5 играчи е 20 години. Когато към тях се добави треньорът, средната възраст става 23 години. На колко години е треньорът?

    • 26
    • 43
    • 33
    • 38

    Отговор: 38

    Сборът на възрастите става 6·23 = 138, а преди е 5·20 = 100: 138 − 100 = 38.

14. След поскъпване с 20% цената на телефон е 360 евро. Каква е била началната цена?

    • 300 евро
    • 288 евро
    • 340 евро
    • 432 евро

    Отговор: 300 евро

    1,2·x = 360, x = 300 евро.

15. Средният успех на 20 ученици е 5,00, а на други 10 ученици е 4,40. Какъв е средният успех на всички 30?

    • 4,70
    • 4,90
    • 4,75
    • 4,80

    Отговор: 4,80

    (20 · 5 + 10 · 4,4) : 30 = (100 + 44) : 30 = 4,80.

Вероятност

1. Каква е вероятността при хвърляне на монета да се падне ези?

   • 1
   • 1/4
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 1/2

   Възможните изходи са 2 (ези и тура) и са равновероятни.

2. В кутия има 1 червена и 4 зелени топки. Каква е вероятността да изтеглим червена?

   • 1/4
   • 4/5
   • 1/5
   • 1/2

   Отговор: 1/5

   Благоприятният изход е 1 от общо 5.

3. На колко е равна вероятността на невъзможно събитие?

   • 0
   • 1
   • 1/2
   • −1

   Отговор: 0

   Невъзможното събитие няма благоприятни случаи, затова вероятността му е 0.

4. На колко е равна вероятността на сигурно събитие?

   • 0
   • 1/2
   • 1
   • 2

   Отговор: 1

   Сигурното събитие настъпва винаги, вероятността му е 1 (100%).

5. В какви граници е вероятността на всяко случайно събитие?

   • от 0 до 100
   • от 0 до 1
   • от −1 до 1
   • от 1 до 6

   Отговор: от 0 до 1

   Невъзможното събитие има вероятност 0, а сигурното 1.

6. От числата от 1 до 10 избираме случайно едно. Каква е вероятността то да е кратно на 3?

   • 1/3
   • 3/10
   • 1/10
   • 3/7

   Отговор: 3/10

   Кратните на 3 са 3, 6 и 9: 3 от 10 числа.

7. В торба има 3 бели, 5 черни и 2 червени топки. Каква е вероятността случайно изтеглена топка да НЕ е черна?

   • 1/2
   • 1/5
   • 3/10
   • 5/8

   Отговор: 1/2

   Топките, които не са черни, са 5 от общо 10: 5/10 = 1/2.

8. Избираме случайно ден от седмицата. Каква е вероятността името му да започва с буквата „С“?

   • 1/7
   • 3/7
   • 2/7
   • 2/5

   Отговор: 2/7

   Това са сряда и събота: 2 от 7 дни.

9. В клас има 12 момчета и 18 момичета. Избираме случайно ученик. Каква е вероятността да е момче?

   • 2/3
   • 3/5
   • 2/5
   • 1/12

   Отговор: 2/5

   12 : 30 = 2/5.

10. Избираме случайно двуцифрено число. Каква е вероятността цифрите му да са еднакви?

    • 1/10
    • 1/9
    • 11/100
    • 9/100

    Отговор: 1/10

    Двуцифрените числа са 90, а с еднакви цифри са 9 (11, 22, ..., 99): 9/90 = 1/10.

11. От числата от 1 до 50 избираме случайно едно. Каква е вероятността то да е точен квадрат?

    • 7/50
    • 1/10
    • 3/25
    • 1/7

    Отговор: 7/50

    Точните квадрати са 1, 4, 9, 16, 25, 36 и 49, т.е. 7 от 50.

12. От числата от 1 до 20 избираме случайно едно. Каква е вероятността то да е просто?

    • 2/5
    • 9/20
    • 1/2
    • 7/20

    Отговор: 2/5

    Простите числа са 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: 8 от 20, т.е. 2/5.

13. От буквите на думата МАТЕМАТИКА избираме случайно една. Каква е вероятността тя да е А?

    • 1/10
    • 1/3
    • 1/7
    • 3/10

    Отговор: 3/10

    Думата има 10 букви, от които 3 са А.

14. Избираме случайно двуцифрено число. Каква е вероятността сборът на цифрите му да е 5?

    • 1/15
    • 5/99
    • 1/20
    • 1/18

    Отговор: 1/18

    Числата са 14, 23, 32, 41 и 50, т.е. 5 от 90 двуцифрени числа: 5/90 = 1/18.

15. Избираме случайно трицифрено число. Каква е вероятността то да е кратно на 5?

    • 1/9
    • 1/10
    • 2/9
    • 1/5

    Отговор: 1/5

    Трицифрените числа са 900, а кратните на 5 сред тях са 180: 180 : 900 = 1/5.

Зарове и монети

1. Колко са възможните резултати при хвърляне на един зар?

   • 2
   • 12
   • 6
   • 36

   Отговор: 6

   Зарът има 6 стени с числата от 1 до 6.

2. Колко възможни резултата има при хвърляне на една монета?

   • 1
   • 4
   • 6
   • 2

   Отговор: 2

   Може да се падне ези или тура.

3. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне 6?

   • 1/6
   • 1/2
   • 6
   • 1/3

   Отговор: 1/6

   Има 6 равновъзможни резултата и само един от тях е 6.

4. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне четно число?

   • 1/3
   • 1/6
   • 2/3
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Четните числа са 2, 4 и 6: 3/6 = 1/2.

5. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне число, по-голямо от 4?

   • 1/3
   • 1/6
   • 1/2
   • 2/3

   Отговор: 1/3

   Благоприятни са 5 и 6: 2 от 6, т.е. 1/3.

6. Хвърляме зар. Кое събитие е невъзможно?

   • пада се 1
   • пада се 7
   • пада се четно число
   • пада се 6

   Отговор: пада се 7

   Зарът има само числата от 1 до 6.

7. Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне просто число?

   • 1/3
   • 2/3
   • 1/6
   • 1/2

   Отговор: 1/2

   Простите числа от 1 до 6 са 2, 3 и 5: 3/6 = 1/2.

8. Хвърляме две монети. Колко са възможните резултати?

   • 3
   • 4
   • 2
   • 8

   Отговор: 4

   ЕЕ, ЕТ, ТЕ и ТТ.

9. Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне делител на 6?

   • 1/2
   • 2/3
   • 1/3
   • 5/6

   Отговор: 2/3

   Делителите на 6 са 1, 2, 3 и 6: 4 от 6 резултата, т.е. 2/3.

10. Хвърляме два зара. Каква е вероятността сборът от точките да е 7?

    • 7/36
    • 1/6
    • 1/12
    • 1/11

    Отговор: 1/6

    Двойките са 36, а със сбор 7 са 6: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). 6/36 = 1/6.

11. Хвърляме два зара. Каква е вероятността да се паднат две шестици?

    • 1/6
    • 1/12
    • 1/36
    • 1/3

    Отговор: 1/36

    Възможните резултати са 6·6 = 36, а благоприятният е само един.

12. Хвърляме два зара. Каква е вероятността да се паднат еднакви числа?

    • 1/36
    • 1/12
    • 1/6
    • 1/3

    Отговор: 1/6

    Благоприятните са 6 (1 и 1, ..., 6 и 6) от 36 резултата: 6/36 = 1/6.

13. Хвърляме две монети. Каква е вероятността да се паднат едно ези и една тура?

    • 1/2
    • 1/3
    • 1/4
    • 3/4

    Отговор: 1/2

    Изходите са ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ, а благоприятните са 2: 2/4 = 1/2.

14. Хвърляме три монети. Каква е вероятността да се паднат поне две ези?

    • 1/2
    • 3/8
    • 1/4
    • 3/4

    Отговор: 1/2

    От 8 резултата благоприятни са ЕЕЕ, ЕЕТ, ЕТЕ и ТЕЕ: 4/8 = 1/2.

15. Хвърляме два зара. Каква е вероятността произведението на точките да е четно?

    • 1/2
    • 1/4
    • 2/3
    • 3/4

    Отговор: 3/4

    Произведението е нечетно само когато и двете числа са нечетни: 3 · 3 = 9 от 36, т.е. 1/4. Четно: 1 − 1/4 = 3/4.

Практически задачи

1. Прогнозата дава 30% вероятност за дъжд. Каква е вероятността да НЕ вали?

   • 30%
   • 70%
   • 50%
   • 100%

   Отговор: 70%

   Двете събития са противоположни: 100% − 30% = 70%.

2. Монета е хвърлена 100 пъти и ези се е паднало 48 пъти. Колко пъти се е паднала тура?

   • 48
   • 50
   • 100
   • 52

   Отговор: 52

   100 − 48 = 52.

3. При хвърляне на честен зар кое е по-вероятно: да се падне 1 или да се падне 6?

   • 1
   • 6
   • еднакво вероятни
   • не може да се каже

   Отговор: еднакво вероятни

   И двете събития имат вероятност 1/6.

4. В лотария има 200 билета, от които 10 са печеливши. Каква е вероятността купен билет да печели?

   • 1/10
   • 1/200
   • 1/20
   • 1/19

   Отговор: 1/20

   10/200 = 1/20.

5. Ани хвърля зар 60 пъти. Около колко пъти може да очаква да се падне 3?

   • около 3
   • около 10
   • около 20
   • около 6

   Отговор: около 10

   Вероятността е 1/6, а 60 : 6 = 10.

6. На тест всеки въпрос има 4 отговора, от които един верен. Каква е вероятността да познаем, ако отговаряме наслуки?

   • 1/2
   • 1/3
   • 1/4
   • 3/4

   Отговор: 1/4

   Един благоприятен от 4 равновъзможни отговора.

7. Стрелец е уцелил мишената 42 пъти от 60 изстрела. Каква е относителната честота на попаденията?

   • 0,42
   • 0,7
   • 0,6
   • 1,4

   Отговор: 0,7

   42 : 60 = 0,7.

8. В клас от 28 ученици 7 носят очила. Избираме случайно ученик. Каква е вероятността той да не носи очила?

   • 1/4
   • 1/3
   • 3/4
   • 2/3

   Отговор: 3/4

   Без очила са 21 ученици: 21/28 = 3/4.

9. Код се състои от 2 цифри (от 0 до 9), които могат да се повтарят. Колко са всички възможни кодове?

   • 100
   • 90
   • 20
   • 81

   Отговор: 100

   10 възможности за първата и 10 за втората цифра: 10 · 10 = 100.

10. В клас от 30 ученици 18 учат английски, 12 учат немски, а 5 учат и двата езика. Колко ученици не учат нито един от двата езика?

    • 0
    • 10
    • 25
    • 5

    Отговор: 5

    Поне един език учат 18 + 12 − 5 = 25 ученици: 30 − 25 = 5.

11. В кутия има само червени и сини топки, като червените са 2 пъти повече от сините. Каква е вероятността да изтеглим синя?

    • 1/3
    • 1/2
    • 2/3
    • 1/4

    Отговор: 1/3

    Ако сините са x, червените са 2x, общо 3x, а вероятността е x/3x = 1/3.

12. Ани и Бобо хвърлят по една монета. При еднакви страни печели Ани, иначе Бобо. Справедлива ли е играта?

    • не, Ани има повече шансове
    • не, Бобо има повече шансове
    • зависи кой хвърля първи
    • да, шансовете са равни

    Отговор: да, шансовете са равни

    От 4 равновъзможни резултата 2 са с еднакви страни и 2 с различни: по 1/2 за всеки.

13. В кутия има 5 червени и няколко сини топки. Вероятността случайно изтеглена топка да е синя е 2/3. Колко са сините топки?

    • 15
    • 7
    • 10
    • 3

    Отговор: 10

    Червените са 1/3 от всички: 5 = (1/3)·общо, общо 15 топки, сините са 10.

14. Ани, Бобо и Вики се нареждат случайно в редица. Каква е вероятността Ани да е първа?

    • 1/6
    • 1/2
    • 1/3
    • 2/3

    Отговор: 1/3

    Наредбите са 6 и в 2 от тях Ани е първа: 2/6 = 1/3.

15. От 5 ученици избираме случайно двама дежурни. Каква е вероятността Ани (една от петимата) да е избрана?

    • 1/5
    • 2/5
    • 1/10
    • 1/2

    Отговор: 2/5

    Всички двойки са 5 · 4 : 2 = 10, а с Ани са 4: 4/10 = 2/5.

Финален въпрос