Представяне на решенията с числови интервали
Решенията на неравенство обикновено са безброй много и се записват като числов интервал. Кръгла скоба означава, че краят не е включен, а квадратна скоба, че е включен. Интервалите се изобразяват и на числовата ос с празна или запълнена точка. При системи и двойни неравенства търсим общата част (сечението) на интервалите.
Какво да запомним
- x > a ⇔ x ∈ (a; +∞); x ≥ a ⇔ x ∈ [a; +∞).
- x < a ⇔ x ∈ (−∞; a); x ≤ a ⇔ x ∈ (−∞; a].
- a < x ≤ b ⇔ x ∈ (a; b].
- При ∞ скобата винаги е кръгла.
- Сечението на интервали съдържа числата, общи за всички тях.
Пример
Интервалът (−2; 3] съдържа целите числа −1, 0, 1, 2 и 3, т.е. 5 цели числа.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Кой интервал съответства на неравенството x ≥ 2?
- (2; +∞)
- (−∞; 2]
- [2; +∞)
- (−∞; 2)
Отговор: [2; +∞)
Числото 2 е включено (квадратна скоба), а числата продължават към +∞.
Колко цели числа има в интервала (−2; 3]?
- 6
- 5
- 4
- 3
Отговор: 5
Това са −1, 0, 1, 2 и 3 (−2 не е включено, а 3 е включено).
Кое неравенство описва интервала (−∞; −1)?
- x ≤ −1
- x > −1
- x ≥ −1
- x < −1
Отговор: x < −1
Кръглата скоба при −1 показва, че −1 не е включено.
Кой интервал съдържа точно числата, за които x > −3 и x ≤ 4 едновременно?
- [−3; 4)
- (−3; 4]
- (−3; 4)
- (−∞; 4]
Отговор: (−3; 4]
Сечението започва след −3 (без него) и завършва с 4 (включено).
Решете двойното неравенство 5 − x ≤ 2x − 1 < 9.
- (2; 5]
- [2; 5)
- [2; 5]
- (−∞; 5)
Отговор: [2; 5)
5 − x ≤ 2x − 1 дава x ≥ 2, а 2x − 1 < 9 дава x < 5. Сечението е [2; 5).
Кой интервал съответства на неравенството x < 5?
- (−∞; 5]
- (5; +∞)
- (−∞; 5)
- [5; +∞)
Отговор: (−∞; 5)
Числото 5 не е решение, затова скобата при 5 е кръгла.
Кое от числата принадлежи на интервала [−1; 4)?
- 4
- −1
- −2
- 5
Отговор: −1
Квадратната скоба означава, че −1 е включено, а кръглата, че 4 не е.
Кое двойно неравенство описва интервала [0; 7]?
- 0 < x < 7
- 0 ≤ x < 7
- 0 < x ≤ 7
- 0 ≤ x ≤ 7
Отговор: 0 ≤ x ≤ 7
Двата края са включени, затова и двата знака са ≤.
Коя е общата част (сечението) на интервалите [−2; 5) и (1; 8]?
- (1; 5)
- [−2; 8]
- (1; 5]
- [−2; 1)
Отговор: (1; 5)
Общите числа са по-големи от 1 и по-малки от 5.
Кой интервал съдържа точно решенията на неравенството |x − 1| ≤ 2?
- (−1; 3)
- [−1; 3]
- [−3; 3]
- (−∞; 3]
Отговор: [−1; 3]
Разстоянието от x до 1 е най-много 2, значи −1 ≤ x ≤ 3.
Колко цели числа са решения на двойното неравенство −3 < 2x + 1 ≤ 7?
- 6
- 5
- 4
- 7
Отговор: 5
−4 < 2x ≤ 6, −2 < x ≤ 3, т.е. −1, 0, 1, 2 и 3.
Каква скоба се пише откъм +∞ или −∞ в интервал?
- Кръгла
- Квадратна
- Зависи от знака
- Не се пише скоба
Отговор: Кръгла
Безкрайността не е число и не може да е включена, затова скобата е винаги кръгла.
Как се отбелязва на числовата ос край, който НЕ е включен в интервала?
- С запълнена точка
- Със стрелка
- Не се отбелязва
- С празна точка
Отговор: С празна точка
Невключеният край е празна точка (кръгла скоба), а включеният е запълнена точка (квадратна скоба).
Кой интервал съответства на двойното неравенство −1 ≤ x < 6?
- (−1; 6]
- (−1; 6)
- [−1; 6)
- [−1; 6]
Отговор: [−1; 6)
−1 е включено (квадратна скоба), а 6 не е включено (кръгла скоба).
Колко цели числа има в сечението на интервалите (−∞; 4] и (−3; +∞)?
- 6
- 7
- 8
- 9
Отговор: 7 цели числа
Сечението е (−3; 4] и съдържа −2, −1, 0, 1, 2, 3 и 4.