Моделиране със системи линейни уравнения
Много текстови задачи с две неизвестни величини се решават със система линейни уравнения. Означаваме неизвестните с x и y, съставяме две уравнения от двете условия на задачата и решаваме системата. Типични са задачи за числа, цени, възраст, движение по река и смеси. Накрая проверяваме дали отговорът отговаря на условието.
Какво да запомним
- Означаваме две неизвестни величини с x и y.
- Всяко условие в задачата дава едно уравнение.
- Движение по река: скорост по течението v + u, срещу течението v − u.
- Двуцифрено число: 10a + b, където a и b са цифрите.
Пример
Сборът на две числа е 20, а разликата им е 6: x + y = 20, x − y = 6, откъдето x = 13 и y = 7.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Сборът на две числа е 20, а разликата им е 6. Кое е по-голямото число?
- 14
- 7
- 12
- 13
Отговор: 13
x + y = 20, x − y = 6: 2x = 26, x = 13.
3 тетрадки и 2 химикалки струват 9 евро, а 1 тетрадка и 2 химикалки струват 5 евро. Колко струва една тетрадка?
- 2 евро
- 1,5 евро
- 3 евро
- 1 евро
Отговор: 2 евро
Изваждаме: 2 тетрадки струват 4 евро, една струва 2 евро.
В двор има кокошки и зайци, общо 17 глави и 48 крака. Колко са зайците?
- 10
- 7
- 5
- 12
Отговор: 7
k + z = 17 и 2k + 4z = 48: 2z = 14, z = 7.
Лодка изминава 36 km по течението на река за 2 h, а срещу течението за 3 h. Колко е скоростта на течението?
- 15 km/h
- 6 km/h
- 3 km/h
- 5 km/h
Отговор: 3 km/h
v + u = 18 и v − u = 12, откъдето v = 15 km/h и u = 3 km/h.
Двуцифрено число има сбор на цифрите 11. Ако разменим цифрите му, се получава число, с 27 по-голямо. Кое е числото?
- 74
- 38
- 56
- 47
Отговор: 47
a + b = 11 и (10b + a) − (10a + b) = 27, т.е. b − a = 3. a = 4, b = 7.
Сборът на две числа е 15, а едното е 2 пъти по-голямо от другото. Кое е по-малкото число?
- 10
- 7,5
- 5
- 3
Отговор: 5
x + 2x = 15, x = 5.
Сега бащата е 3 пъти по-възрастен от сина си, а след 12 години ще бъде 2 пъти по-възрастен. На колко години е синът сега?
- 12
- 24
- 36
- 6
Отговор: 12
3x + 12 = 2(x + 12), откъдето x = 12.
Периметърът на правоъгълник е 34 cm, а едната му страна е с 5 cm по-дълга от другата. Колко е по-дългата страна?
- 6 cm
- 12 cm
- 14,5 cm
- 11 cm
Отговор: 11 cm
a + b = 17 и a − b = 5, затова a = 11 cm и b = 6 cm.
Колко литра 20% разтвор трябва да се смесят с 50% разтвор, за да се получат 30 l 30% разтвор?
- 10 l
- 20 l
- 15 l
- 18 l
Отговор: 20 l
x + y = 30 и 0,2x + 0,5y = 9, откъдето 0,3x = 6, x = 20 l.
Два автомобила тръгват едновременно един срещу друг от два града на разстояние 300 km и се срещат след 2 h. Скоростта на единия е с 10 km/h по-голяма. Колко е скоростта на по-бързия?
- 70 km/h
- 75 km/h
- 90 km/h
- 80 km/h
Отговор: 80 km/h
Сборът на скоростите е 300 : 2 = 150 km/h, а разликата е 10 km/h, затова 80 km/h и 70 km/h.
Ани има x монети по 1 евро и y монети по 2 евро, общо 10 монети. Кое уравнение е вярно?
- x + y = 10
- x + 2y = 10
- 2x + y = 10
- xy = 10
Отговор: x + y = 10
Броят на монетите е x + y, затова x + y = 10.
В клас има 26 ученици, а момичетата са с 4 повече от момчетата. Колко са момчетата?
- 15
- 13
- 11
- 12
Отговор: 11
m + d = 26, d = m + 4, затова 2m + 4 = 26, m = 11.
Продадени са 200 билета по 10 и по 15 евро, общо за 2400 евро. Колко са билетите по 15 евро?
- 120
- 80
- 100
- 60
Отговор: 80
x + y = 200, 10x + 15y = 2400. Тогава 2000 + 5y = 2400, y = 80.
Ако числителят на една дроб се увеличи с 1, тя става 1/2, а ако знаменателят ѝ се намали с 1, тя става 1/3. Коя е дробта?
- 2/5
- 1/3
- 3/8
- 1/4
Отговор: 1/4
2(a + 1) = b и 3a = b − 1. Тогава 3a = 2a + 1, a = 1, b = 4.
Влак минава покрай стълб за 10 s, а през тунел с дължина 600 m за 40 s. Колко е дължината на влака?
- 200 m
- 150 m
- 300 m
- 240 m
Отговор: 200 m
L = 10v и L + 600 = 40v. Тогава 30v = 600, v = 20 m/s и L = 200 m.