Графично представяне на решенията
Решенията на линейна система могат да се покажат графично. Чертаем правата на всяко уравнение, например по две точки (пресечните точки с осите), и намираме общата им точка. Координатите на тази точка са решението на системата. Графичният метод е нагледен, но понякога неточен, затова отговорът се проверява чрез заместване.
Какво да запомним
- Всяко уравнение ax + by = c се изобразява като права.
- Права се построява по две точки, например пресечните точки с осите.
- Решението е пресечната точка на правите.
- Резултатът се проверява алгебрично.
Пример
Правата 3x + 4y = 12 пресича осите в (4; 0) и (0; 3) и образува с тях триъгълник с лице 4·3/2 = 6.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко решения има система, чиито уравнения имат за графики две пресичащи се прави?
- нито едно
- две
- безброй много
- точно едно
Отговор: точно едно
Решението е координатите на пресечната точка, а пресичащите се прави имат една обща точка.
В коя точка графиката на уравнението 2x + y = 4 пресича оста Ox?
- (2; 0)
- (4; 0)
- (0; 2)
- (0; 4)
Отговор: (2; 0)
На оста Ox y = 0, затова 2x = 4 и x = 2.
Правата 3x + 4y = 12 и координатните оси ограничават триъгълник. Колко е лицето му?
- 12
- 7
- 6
- 24
Отговор: 6
Правата пресича осите в (4; 0) и (0; 3), катетите са 4 и 3, лицето е 4 · 3 : 2 = 6.
Графиките на уравненията на една система са прави, които се пресичат в точката (−1; 4). Кое е решението на системата?
- (−1; 4)
- (4; −1)
- (0; 4)
- (−1; 0)
Отговор: (−1; 4)
Решението е пресечната точка на правите: x = −1, y = 4.
Как изглежда графиката на уравнението x + y = 3 в координатната система?
- права през (0; 0) и (3; 3)
- парабола с връх (0; 3)
- права през точките (3; 0) и (0; 3)
- права през (3; 0) и (0; −3)
Отговор: права през точките (3; 0) и (0; 3)
При y = 0 следва x = 3, а при x = 0 следва y = 3.
Каква е графиката на уравнението x + 2y = 4?
- парабола
- права
- точка
- окръжност
Отговор: права
Уравнението е линейно, затова графиката му е права.
Правите от една система са успоредни. Колко решения има системата?
- нито едно
- точно едно
- две
- безброй много
Отговор: нито едно
Успоредните прави нямат обща точка, затова системата няма решение.
В коя точка графиката на уравнението 3x + 2y = 6 пресича оста Oy?
- (2; 0)
- (0; 2)
- (0; 3)
- (3; 0)
Отговор: (0; 3)
При x = 0: 2y = 6, y = 3. Точката е (0; 3).
Правите x + y = 5 и x − y = 1 се пресичат в една точка. Кои са координатите ѝ?
- (2; 3)
- (4; 1)
- (1; 4)
- (3; 2)
Отговор: (3; 2)
Събираме: 2x = 6, x = 3, y = 2. Пресечната точка е (3; 2).
Права минава през точките (0; −2) и (4; 0). Кое е нейното уравнение?
- x − 2y = 4
- 2x − y = 4
- x + 2y = 4
- x − 2y = −4
Отговор: x − 2y = 4
Проверка: 0 − 2 · (−2) = 4 и 4 − 0 = 4. И двете точки удовлетворяват x − 2y = 4.
Правите y = x и x + y = 6 и оста Ox ограничават триъгълник. Колко е лицето му?
- 18
- 9
- 6
- 12
Отговор: 9
Върхове: (0; 0), (6; 0) и пресечната точка (3; 3). Лице = 6 · 3/2 = 9.
Правите 2x + y = 4 и y = 2x се пресичат в точката M. Колко е ординатата на M?
- 1
- 4
- −2
- 2
Отговор: 2
2x + 2x = 4, x = 1, y = 2.
Правите x + y = 4 и x − y = 0 и оста Oy ограничават триъгълник. Колко е лицето му?
- 8
- 2
- 4
- 16
Отговор: 4
Върхове: (0; 0), (0; 4) и (2; 2). Основата върху Oy е 4, височината е 2, лице = 4 · 2/2 = 4.
При коя стойност на a правата ax + y = 5 минава през пресечната точка на правите x + y = 3 и x − y = 1?
- a = 2
- a = 1
- a = 3
- a = −2
Отговор: a = 2
Пресечната точка е (2; 1). Тогава 2a + 1 = 5, a = 2.
Правите y = 2x − 1, y = −x + 5 и y = kx + 1 минават през една точка. Намерете k.
- k = 2
- k = 1
- k = 3
- k = −1
Отговор: k = 1
Първите две се пресичат в (2; 3). Тогава 3 = 2k + 1, k = 1.