Системи, на които двете уравнения са от втора степен
Когато и двете уравнения са от втора степен, търсим начин да ги сведем до по-прост случай. Често събираме или изваждаме уравненията, за да елиминираме x2 или y2, или разлагаме хомогенно уравнение като x2 − 3xy + 2y2 = 0 на множители (x − y)(x − 2y) = 0. Така получаваме линейна връзка между x и y и продължаваме със заместване. Системата може да има до 4 решения.
Какво да запомним
- Събиране или изваждане на уравненията елиминира квадрат.
- Хомогенно уравнение се разлага на линейни множители.
- Полагане u = x2, v = y2 при системи само с квадрати.
- Две криви от втора степен могат да имат до 4 общи точки.
Пример
x2 + y = 7, x2 − y = 1: събираме и получаваме 2x2 = 8, x = ±2, y = 3. Решения (2; 3) и (−2; 3).
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко решения има системата x2 + y2 = 20, x2 − y2 = 12?
- 2
- 1
- 4
- 8
Отговор: 4
Събираме: x2 = 16, y2 = 4. x = ±4, y = ±2: четири двойки.
Решете системата x2 + y = 7, x2 − y = 1.
- (2; 3)
- (4; 3) и (−4; 3)
- (2; 3) и (−2; −3)
- (2; 3) и (−2; 3)
Отговор: (2; 3) и (−2; 3)
Събираме: 2x2 = 8, x = ±2. Изваждаме: 2y = 6, y = 3.
За решенията на системата x2 + y2 = 25, xy = 12 колко е най-голямата стойност на x + y?
- 7
- 5
- 12
- 1
Отговор: 7
(x + y)2 = 25 + 24 = 49, x + y = ±7. Решенията са (3; 4), (4; 3), (−3; −4) и (−4; −3).
Решете системата x2 − 3xy + 2y2 = 0, x + y = 6.
- (3; 3)
- (3; 3) и (4; 2)
- (2; 4) и (3; 3)
- (4; 2)
Отговор: (3; 3) и (4; 2)
(x − y)(x − 2y) = 0: при x = y получаваме (3; 3), при x = 2y получаваме (4; 2).
Решете системата x2 + xy = 12, y2 + xy = 4.
- (3; 1)
- (1; 3) и (−1; −3)
- (3; 1) и (−3; −1)
- (2; 2) и (−2; −2)
Отговор: (3; 1) и (−3; −1)
Събираме: (x + y)2 = 16, x + y = ±4. От x(x + y) = 12: x = ±3, y = ±1.
Колко решения има системата x2 = 4, y2 = 9?
- 2
- 1
- 4
- 6
Отговор: 4
x = ±2 и y = ±3, като всяка стойност на x се комбинира с всяка стойност на y: 2 · 2 = 4.
Колко решения има системата x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 16?
- 0
- 2
- 4
- безброй много
Отговор: 0
Изразът x2 + y2 не може да е едновременно 9 и 16.
Решете системата x2 + y2 = 10, xy = 3, ако x > y > 0.
- (3; 1)
- (1; 3)
- (2; 1,5)
- (9; 1/3)
Отговор: (3; 1)
(x + y)2 = 10 + 6 = 16 и (x − y)2 = 10 − 6 = 4; при x > y > 0: x + y = 4, x − y = 2, x = 3, y = 1.
Решете системата x2 + y2 = 20, y = x2.
- (4; 2) и (−4; 2)
- само (2; 4)
- (2; 4) и (−2; 4)
- (2; 4), (−2; 4) и (0; −5)
Отговор: (2; 4) и (−2; 4)
y + y2 = 20, y2 + y − 20 = 0, y = 4 или y = −5. При y = −5 няма x, защото x2 ≥ 0; при y = 4 x = ±2.
Колко са решенията (x; y) с положителни x и y на системата x2 − 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 40?
- 1
- 2
- 4
- 0
Отговор: 2
(x − 2y)(x − 3y) = 0. При x = 2y: 5y2 = 40, y = 2√2, x = 4√2; при x = 3y: 10y2 = 40, y = 2, x = 6. Положителните решения са 2.
Колко решения има системата y = x2 − 4, y = −x2 + 4?
- 1
- 0
- 2
- 4
Отговор: 2
2x2 = 8, x = ±2, y = 0.
Колко решения има системата x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2x?
- 1
- 0
- 4
- 2
Отговор: 2
Изваждаме: 2x = 1, x = 1/2; тогава y2 = 3/4, y = ±√3/2.
Намерете y2 от системата x2 + y2 = 5, x2 − y2 = 3.
- y2 = 4
- y2 = 1
- y2 = 2
- y2 = 8
Отговор: y2 = 1
Изваждаме уравненията: 2y2 = 2, y2 = 1.
Какво следва от уравнението x2 − y2 = 0?
- само y = x
- x = 0 и y = 0
- y = x2
- y = x или y = −x
Отговор: y = x или y = −x
x2 − y2 = (x − y)(x + y) = 0, затова y = x или y = −x.
Колко решения има системата x2 + y2 = 25, y = x2 − 5?
- 2
- 4
- 3
- 1
Отговор: 3
x2 = y + 5, затова y2 + y − 20 = 0, y = 4 или y = −5. При y = 4: x = ±3; при y = −5: x = 0. Общо 3 решения.