ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 9 клас

Системи уравнения от втора степен

76 въпроса с отговори, 10 ключови понятия и 6 задачи за мислене и 19 игри за проектора.

Системи уравнения от втора степен, математика 9 клас
  1. 1 Тема: Системи уравнения от втора степен
  2. 2 Изберете игра
  3. 3 Пуснете на проектора
По тема 75 въпроса, 10 понятия, 6 задачи · 19 игриДобави в любими

Системи уравнения от втора степен

Сбор и произведениеЕдно линейно уравнениеДвете от втора степенБрой решенияМоделиране

Табло и Вярно или невярно са безплатни с профил. Всички игри и „На живо“: 30 дни безплатно за учители. Цени

На живо с телефониУчениците влизат с код и отговарят от телефона си. Класация в реално време.
Без интернет в класната стая?Свалете темата веднъж, докато имате интернет. После игрите вървят и без връзка, а отговорите се изпращат, щом тя се върне.

Без проектор и без телефони

Отбелязвате от своя компютър, а всеки отговор отива в профила на ученика.
Учителят водиВъпросът е на вашия компютър. Избирате ученик, той отговаря устно, вие цъкате Вярно или Грешно.Само компютърКарти А Б В ГЦелият клас вдига карта с буква наведнъж. Цъкате само сгрешилите, отговорите отиват в профилите.Карти от принтер или пръсти 1-4Тест за печатРазпечатайте тест с ключ. След проверката цъкате грешните отговори в таблица и виждате кое е трудно.Принтер

Отборни битки

Класът е разделен на отбори, които се състезават за точки.
Табло5 теми по 5 въпроса, от 100 до 500 точки. Отборите избират поле, едно поле крие двойна стойност.БезплатноОтборен тест А/Б/В/ГВъпрос с четири отговора и таймер. Всеки отбор вдига карта с буква.Пусни на проектораНадбягванеВсеки отбор има писта. Верният отговор движи колата напред, трудният въпрос дава турбо.Пусни на проектораТеглене на въжеДва отбора един срещу друг. Всеки верен отговор дърпа въжето към твоя отбор.Пусни на проектораМорски шахХ срещу О на поле 3 на 3. За да заемеш квадрат, трябва да отговориш на въпроса в него.Пусни на проектораБомбаБомбата с неизвестен фитил минава от отбор на отбор при верен отговор. Не я задържай!Пусни на проектораКолелотоЗавъртете колелото: то избира темата и наградата. Понякога носи бонус, понякога взима хода.Пусни на проектора

Целият клас

Всички играят заедно или един по един пред класа.
Ескейп стаяПет заключени врати и часовник. Всяка решена врата дава цифра от кода за изход.Пусни на проектораМилионер15 въпроса с нарастваща трудност, три жокера и сигурни суми.Пусни на проектораГорещ столЕдин ученик, 60 секунди и колкото може повече верни отговори. Класът следи класацията.Пусни на проектораБингоРазпечатайте картите. Учителят чете въпросите, учениците зачеркват отговорите.Пусни на проектораВярно или невярноБързи твърдения. Класът гласува с палец нагоре или надолу.Безплатно

Думи и понятия

Ключовите понятия от темата: познай, свържи, запомни.
КръстословицаКръстословица от 10 ключови понятия. Решавате на екрана или я разпечатвате.Пусни на проектораБесеницаПознайте понятието буква по буква, преди да свършат опитите.Пусни на проектораТайният обектТри подсказки от трудна към лесна. Колкото по-рано познаеш, толкова повече точки.Пусни на проектораМемориОбърнати карти с въпроси и отговори. Намерете двойките и запомнете къде са.Пусни на проектораСвържи двойкитеШест въпроса и шест отговора, разбъркани. Отборите ги свързват на ред.Пусни на проектора

Мислене

Подреждане и откриване на грешки: разбиране, не наизуст.
ПодредиРазбъркани стъпки, събития или стойности. Класът ги подрежда в правилния ред.Пусни на проектораНамери грешкатаРешение или бележки с един грешен ред. Кой ще го открие пръв?Пусни на проектора

Уроци в темата

Кратко обяснение, най-важното за запомняне и въпроси за всеки урок от учебната програма.

Урок 1 · 28 въпросаСистеми, на които едното уравнение е от първа степенУрок 2 · 15 въпросаСистеми, на които двете уравнения са от втора степенУрок 3 · 15 въпросаМоделиране със системи уравнения от втора степен

Въпроси и отговори: Системи уравнения от втора степен

Всички въпроси от комплекта по математика за 9 клас. Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението. Удобно за преговор преди контролно и за подготовка у дома.

Сбор и произведение

  1. Решете системата x + y = 7, xy = 10.
    • (2; 5) и (5; 2)
    • (1; 6) и (6; 1)
    • (−2; −5) и (−5; −2)
    • само (2; 5)

    Отговор: (2; 5) и (5; 2)

    x и y са корени на t2 − 7t + 10 = 0: t = 2 и t = 5.

  2. Кои две числа имат сбор 9 и произведение 20?
    • 2 и 10
    • 4 и 5
    • 3 и 6
    • 1 и 20

    Отговор: 4 и 5

    4 + 5 = 9 и 4 · 5 = 20.

  3. Кое квадратно уравнение има корени със сбор 5 и произведение 6?
    • t2 + 5t + 6 = 0
    • t2 − 5t + 6 = 0
    • t2 − 6t + 5 = 0
    • t2 + 5t − 6 = 0

    Отговор: t2 − 5t + 6 = 0

    По формулите на Виет уравнението е t2 − (сбор)t + (произведение) = 0.

  4. Решете системата x + y = 1, xy = −12.
    • (3; −4) и (−4; 3)
    • (4; −3) и (−3; 4)
    • (6; −2) и (−2; 6)
    • (4; 3) и (3; 4)

    Отговор: (4; −3) и (−3; 4)

    t2 − t − 12 = 0, t = 4 и t = −3.

  5. Решете системата x + y = −5, xy = 6.
    • (2; 3) и (3; 2)
    • (−1; −6) и (−6; −1)
    • (2; −3) и (−3; 2)
    • (−2; −3) и (−3; −2)

    Отговор: (−2; −3) и (−3; −2)

    x и y са корени на t2 + 5t + 6 = 0, т.е. −2 и −3.

  6. Решете системата x + y = 0, xy = −9.
    • (3; 3) и (−3; −3)
    • (9; −1) и (−1; 9)
    • (3; −3) и (−3; 3)
    • няма решение

    Отговор: (3; −3) и (−3; 3)

    y = −x, −x2 = −9, x = ±3.

  7. Решете системата x + y = 6, xy = 9.
    • (3; 3) и (−3; −3)
    • (1; 9) и (9; 1)
    • (3; 3)
    • няма решение

    Отговор: (3; 3)

    t2 − 6t + 9 = 0 има двоен корен t = 3.

  8. x + y = 6 и xy = 4. Колко е 1/x + 1/y?
    • 3/2
    • 2/3
    • 10
    • 1/6

    Отговор: 3/2

    1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 6/4 = 3/2.

  9. x + y = 5 и xy = 6. Колко е x2y + xy2?
    • 11
    • 36
    • 25
    • 30

    Отговор: 30

    x2y + xy2 = xy(x + y) = 6 · 5 = 30.

  10. Намерете x2 + y2, ако x + y = 5 и xy = 4.
    • 21
    • 25
    • 9
    • 17

    Отговор: 17

    x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = 25 − 8 = 17.

  11. x + y = 7 и xy = 10. Колко е (x − y)2?
    • 3
    • 89
    • 9
    • 29

    Отговор: 9

    (x − y)2 = (x + y)2 − 4xy = 49 − 40 = 9.

  12. x + y = 4 и xy = 1. Колко е x3 + y3?
    • 52
    • 16
    • 60
    • 64

    Отговор: 52

    x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = 64 − 12 = 52.

  13. Колко решения има системата x + y = 2, xy = 5?
    • 0
    • 1
    • 2
    • 4

    Отговор: 0

    t2 − 2t + 5 = 0 има дискриминанта 4 − 20 < 0.

  14. При коя стойност на a системата x + y = 4, xy = a има точно едно решение?
    • a = 16
    • a = 2
    • a = 4
    • a = −4

    Отговор: a = 4

    x и y са корени на t2 − 4t + a = 0; единствено решение има при D = 16 − 4a = 0, т.е. a = 4.

  15. Решете системата x + y = 5, 1/x + 1/y = 5/6.
    • (1; 4) и (4; 1)
    • (2; 3) и (3; 2)
    • (6; −1) и (−1; 6)
    • (5; 6) и (6; 5)

    Отговор: (2; 3) и (3; 2)

    1/x + 1/y = (x + y)/(xy) = 5/(xy) = 5/6, затова xy = 6 и числата са 2 и 3.

Едно линейно уравнение

  1. Решете системата y = x − 1, x2 + y = 5.
    • (−2; −3) и (3; 2)
    • (2; 1) и (−3; −4)
    • (2; 1)
    • (3; 2) и (−2; 3)

    Отговор: (2; 1) и (−3; −4)

    x2 + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3, а y = x − 1.

  2. Решете системата y = 2, x2 + y2 = 13.
    • (3; 2) и (−3; 2)
    • само (3; 2)
    • (2; 3) и (2; −3)
    • (9; 2) и (−9; 2)

    Отговор: (3; 2) и (−3; 2)

    x2 + 4 = 13, x2 = 9, x = ±3.

  3. Коя двойка е решение на системата x + y = 3, x2 + y = 5?
    • (3; 0)
    • (1; 2)
    • (2; 1)
    • (0; 3)

    Отговор: (2; 1)

    2 + 1 = 3 и 4 + 1 = 5.

  4. Решете системата x + y = 4, x2 + y2 = 10.
    • (3; −1) и (−1; 3)
    • (2; 2)
    • (3; 1) и (1; 3)
    • (5; −1) и (−1; 5)

    Отговор: (3; 1) и (1; 3)

    y = 4 − x: 2x2 − 8x + 6 = 0, x2 − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3.

  5. Решете системата x = 2y, x2 − y2 = 27.
    • (6; 3) и (6; −3)
    • (3; 6) и (−3; −6)
    • само (6; 3)
    • (6; 3) и (−6; −3)

    Отговор: (6; 3) и (−6; −3)

    4y2 − y2 = 27, y2 = 9, y = ±3, а x = 2y.

  6. Решете системата y = 3x, xy = 12.
    • (6; 2) и (−6; −2)
    • (2; 6) и (−2; 6)
    • (4; 3) и (−4; −3)
    • (2; 6) и (−2; −6)

    Отговор: (2; 6) и (−2; −6)

    3x2 = 12, x = ±2, y = 3x.

  7. Решете системата 2x − y = 1, xy = 3.
    • (1; 1) и (−3/2; −4)
    • (1; 3) и (3; 1)
    • (3; 1)
    • (3/2; 2) и (−1; −3)

    Отговор: (3/2; 2) и (−1; −3)

    y = 2x − 1: 2x2 − x − 3 = 0, x = 3/2 или x = −1.

  8. Решете системата x + 2y = 5, xy = 2.
    • (1; 2) и (2; 1)
    • (1; 2) и (4; 1/2)
    • само (4; 1/2)
    • (1; 2) и (−4; −1/2)

    Отговор: (1; 2) и (4; 1/2)

    x = 5 − 2y, (5 − 2y)y = 2, 2y2 − 5y + 2 = 0, y = 2 или y = 1/2.

  9. Решете системата x − y = 1, x2 + y2 = 41.
    • (5; 4) и (−4; −5)
    • (4; 5) и (−5; −4)
    • (5; 4) и (4; 5)
    • само (5; 4)

    Отговор: (5; 4) и (−4; −5)

    x = y + 1, 2y2 + 2y − 40 = 0, y2 + y − 20 = 0, y = 4 или y = −5.

  10. Решете системата x − y = 2, x2 − xy + y2 = 7.
    • (3; 1) и (−1; −3)
    • (1; 3) и (−3; −1)
    • (3; 1)
    • (2; 0) и (4; 2)

    Отговор: (3; 1) и (−1; −3)

    x = y + 2: y2 + 2y + 4 = 7, y2 + 2y − 3 = 0, y = 1 или y = −3.

  11. Решете системата x + y = 1, x2 + xy + y2 = 7.
    • (−3; 2) и (2; −3)
    • (3; 2) и (2; 3)
    • само (3; −2)
    • (3; −2) и (−2; 3)

    Отговор: (3; −2) и (−2; 3)

    x2 + xy + y2 = (x + y)2 − xy = 1 − xy = 7, затова xy = −6. Числата със сбор 1 и произведение −6 са 3 и −2.

  12. Решете системата x + y = 3, x2 + 2y2 = 9.
    • (0; 3) и (2; 1)
    • (3; 0) и (1; 2)
    • само (1; 2)
    • (3; 0) и (−1; 4)

    Отговор: (3; 0) и (1; 2)

    x = 3 − y, 9 − 6y + 3y2 = 9, 3y(y − 2) = 0, y = 0 или y = 2.

  13. Колко общи точки имат правата y = 2x + 3 и параболата y = x2 + 4x + 4?
    • 2
    • 1
    • 0
    • 3

    Отговор: 1

    x2 + 2x + 1 = 0, (x + 1)2 = 0: правата се допира до параболата в (−1; 1).

  14. Колко решения има системата x + y = 5, x2 + y2 = 9?
    • 1
    • 0
    • 2
    • 4

    Отговор: 0

    2xy = (x + y)2 − (x2 + y2) = 16, xy = 8; уравнението t2 − 5t + 8 = 0 има D = 25 − 32 < 0.

  15. При коя стойност на m правата y = m − x и параболата y = x2 имат точно една обща точка?
    • 1/4
    • −1
    • −1/4
    • 0

    Отговор: −1/4

    x2 + x − m = 0 има един корен при D = 1 + 4m = 0, m = −1/4.

Двете от втора степен

  1. Колко решения има системата x2 + y2 = 20, x2 − y2 = 12?
    • 2
    • 1
    • 4
    • 8

    Отговор: 4

    Събираме: x2 = 16, y2 = 4. x = ±4, y = ±2: четири двойки.

  2. Колко решения има системата x2 = 4, y2 = 9?
    • 2
    • 1
    • 4
    • 6

    Отговор: 4

    x = ±2 и y = ±3, като всяка стойност на x се комбинира с всяка стойност на y: 2 · 2 = 4.

  3. Коя двойка е решение на системата x2 + y2 = 5, x2 − y2 = 3?
    • (3; 2)
    • (1; 2)
    • (4; 1)
    • (2; 1)

    Отговор: (2; 1)

    Събираме: 2x2 = 8, x2 = 4, y2 = 1. Двойката (2; 1) удовлетворява и двете уравнения.

  4. Решете системата x2 + y = 7, x2 − y = 1.
    • (2; 3)
    • (4; 3) и (−4; 3)
    • (2; 3) и (−2; −3)
    • (2; 3) и (−2; 3)

    Отговор: (2; 3) и (−2; 3)

    Събираме: 2x2 = 8, x = ±2. Изваждаме: 2y = 6, y = 3.

  5. Колко решения има системата x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 16?
    • 0
    • 2
    • 4
    • безброй много

    Отговор: 0

    Изразът x2 + y2 не може да е едновременно 9 и 16.

  6. Решете системата x2 + y2 = 2, xy = 1.
    • (1; 1) и (−1; −1)
    • (1; −1) и (−1; 1)
    • само (1; 1)
    • (1; 1) и (1; −1)

    Отговор: (1; 1) и (−1; −1)

    (x − y)2 = 2 − 2 = 0, затова x = y, x2 = 1, x = ±1.

  7. За решенията на системата x2 + y2 = 25, xy = 12 колко е най-голямата стойност на x + y?
    • 7
    • 5
    • 12
    • 1

    Отговор: 7

    (x + y)2 = 25 + 24 = 49, x + y = ±7. Решенията са (3; 4), (4; 3), (−3; −4) и (−4; −3).

  8. Решете системата x2 + y2 = 10, xy = 3, ако x > y > 0.
    • (3; 1)
    • (1; 3)
    • (2; 1,5)
    • (9; 1/3)

    Отговор: (3; 1)

    (x + y)2 = 10 + 6 = 16 и (x − y)2 = 10 − 6 = 4; при x > y > 0: x + y = 4, x − y = 2, x = 3, y = 1.

  9. Колко решения има системата x2 + y2 = 10, x2 − y = 4?
    • 2
    • 4
    • 3
    • 1

    Отговор: 4

    x2 = y + 4, y2 + y − 6 = 0, y = 2 (x = ±√6) или y = −3 (x = ±1), общо 4 решения.

  10. Решете системата x2 − 3xy + 2y2 = 0, x + y = 6.
    • (3; 3)
    • (3; 3) и (4; 2)
    • (2; 4) и (3; 3)
    • (4; 2)

    Отговор: (3; 3) и (4; 2)

    (x − y)(x − 2y) = 0: при x = y получаваме (3; 3), при x = 2y получаваме (4; 2).

  11. Решете системата x2 + y2 = 20, y = x2.
    • (4; 2) и (−4; 2)
    • само (2; 4)
    • (2; 4) и (−2; 4)
    • (2; 4), (−2; 4) и (0; −5)

    Отговор: (2; 4) и (−2; 4)

    y + y2 = 20, y2 + y − 20 = 0, y = 4 или y = −5. При y = −5 няма x, защото x2 ≥ 0; при y = 4 x = ±2.

  12. Решете системата x2 + y2 = 25, x2 + y2 − 2x = 15.
    • (0; 5)
    • (5; 0) и (−5; 0)
    • (5; 0)
    • (3; 4) и (3; −4)

    Отговор: (5; 0)

    Изваждаме: 2x = 10, x = 5, а от първото y2 = 0, y = 0.

  13. Решете системата x2 + xy = 12, y2 + xy = 4.
    • (3; 1)
    • (1; 3) и (−1; −3)
    • (3; 1) и (−3; −1)
    • (2; 2) и (−2; −2)

    Отговор: (3; 1) и (−3; −1)

    Събираме: (x + y)2 = 16, x + y = ±4. От x(x + y) = 12: x = ±3, y = ±1.

  14. Колко са решенията (x; y) с положителни x и y на системата x2 − 5xy + 6y2 = 0, x2 + y2 = 40?
    • 1
    • 2
    • 4
    • 0

    Отговор: 2

    (x − 2y)(x − 3y) = 0. При x = 2y: 5y2 = 40, y = 2√2, x = 4√2; при x = 3y: 10y2 = 40, y = 2, x = 6. Положителните решения са 2.

  15. Решете системата x2 + y2 = 4, (x − 2)2 + y2 = 4.
    • (1; √3)
    • (√3; 1) и (−√3; 1)
    • (2; 0) и (0; 0)
    • (1; √3) и (1; −√3)

    Отговор: (1; √3) и (1; −√3)

    Изваждаме: x2 − (x − 2)2 = 0, 4x − 4 = 0, x = 1, y2 = 3, y = ±√3.

Брой решения

  1. Колко общи точки имат окръжността x2 + y2 = 25 и правата y = 5?
    • 2
    • 0
    • 4
    • 1

    Отговор: 1

    x2 = 0: единствената обща точка е (0; 5), правата е допирателна.

  2. Колко общи точки имат окръжността x2 + y2 = 9 и оста Ox?
    • 1
    • 0
    • 4
    • 2

    Отговор: 2

    При y = 0: x2 = 9, x = ±3.

  3. Колко общи точки имат окръжността x2 + y2 = 4 и правата x = 3?
    • 0
    • 1
    • 2
    • 4

    Отговор: 0

    Радиусът е 2, а правата x = 3 е на разстояние 3 от центъра.

  4. Колко общи точки имат параболата y = x2 и правата y = x + 6?
    • 2
    • 1
    • 0
    • 3

    Отговор: 2

    x2 − x − 6 = 0, x = −2 или x = 3.

  5. Колко общи точки имат параболата y = x2 + 1 и правата y = 0?
    • 1
    • 0
    • 2
    • безброй много

    Отговор: 0

    x2 + 1 = 0 няма решение, защото x2 + 1 ≥ 1.

  6. Колко решения има системата xy = 1, y = −x?
    • 2
    • 0
    • 1
    • 4

    Отговор: 0

    −x2 = 1 няма реални корени.

  7. Колко решения има системата x2 + y2 = 4, y = x + 5?
    • 1
    • 0
    • 2
    • 4

    Отговор: 0

    2x2 + 10x + 21 = 0 има дискриминанта 100 − 168 < 0.

  8. Колко решения има системата x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2x?
    • 1
    • 0
    • 4
    • 2

    Отговор: 2

    Изваждаме: 2x = 1, x = 1/2; тогава y2 = 3/4, y = ±√3/2.

  9. Колко решения има системата x2 + y2 = 25, x + y = 7?
    • 1
    • 0
    • 2
    • 4

    Отговор: 2

    2xy = 49 − 25 = 24, xy = 12, а числата със сбор 7 и произведение 12 са 3 и 4: (3; 4) и (4; 3).

  10. Колко решения има системата y = x2 − 4, y = −x2 + 4?
    • 1
    • 0
    • 2
    • 4

    Отговор: 2

    2x2 = 8, x = ±2, y = 0.

  11. Колко решения има системата xy = 4, x + y = 3?
    • 0
    • 1
    • 2
    • 4

    Отговор: 0

    x и y са корени на t2 − 3t + 4 = 0, а D = 9 − 16 < 0.

  12. Колко решения има системата x2 + y2 = 9, y = x2 − 3?
    • 2
    • 1
    • 4
    • 3

    Отговор: 3

    x2 = y + 3, y2 + y − 6 = 0, y = 2 (x = ±√5) или y = −3 (x = 0), общо 3 решения.

  13. При каква стойност на m правата y = 2x + m се допира до параболата y = x2?
    • m = 1
    • m = 0
    • m = −4
    • m = −1

    Отговор: m = −1

    x2 − 2x − m = 0 трябва да има един корен: D = 4 + 4m = 0, m = −1.

  14. При коя положителна стойност на m системата x2 + y2 = 8, x + y = m има точно едно решение?
    • m = 2√2
    • m = 8
    • m = 4
    • m = 2

    Отговор: m = 4

    y = m − x, 2x2 − 2mx + m2 − 8 = 0; D/4 = m2 − 2(m2 − 8) = 16 − m2 = 0, m = 4.

  15. При кои стойности на m правата y = m има две общи точки с окръжността x2 + y2 = 9?
    • m ∈ (−3; 3)
    • m > 3
    • m = ±3
    • m ∈ [−3; 3]

    Отговор: m ∈ (−3; 3)

    x2 = 9 − m2 има два корена при 9 − m2 > 0, т.е. −3 < m < 3.

Моделиране

  1. Сборът на две числа е 12, а произведението им е 35. Кое е по-голямото число?
    • 7
    • 5
    • 6
    • 10

    Отговор: 7

    t2 − 12t + 35 = 0, t = 5 и t = 7.

  2. Произведението на две последователни естествени числа е 56. Кое е по-малкото число?
    • 8
    • 6
    • 7
    • 14

    Отговор: 7

    x(x + 1) = 56, x2 + x − 56 = 0, x = 7 (отрицателният корен −8 не е естествено число).

  3. Разликата на две положителни числа е 2, а произведението им е 24. Кои са числата?
    • 3 и 8
    • 4 и 6
    • 2 и 12
    • 5 и 7

    Отговор: 4 и 6

    x − y = 2, xy = 24: y(y + 2) = 24, y = 4, x = 6.

  4. Правоъгълник има лице 48 cm2 и периметър 28 cm. Колко е по-дългата му страна?
    • 6 cm
    • 8 cm
    • 12 cm
    • 16 cm

    Отговор: 8 cm

    a + b = 14, ab = 48: страните са 6 cm и 8 cm.

  5. Лицето на правоъгълник е 60 cm2, а едната му страна е със 7 cm по-дълга от другата. Колко е по-късата страна?
    • 5 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 4 cm

    Отговор: 5 cm

    x(x + 7) = 60, x2 + 7x − 60 = 0, x = 5 cm.

  6. Страната на един квадрат е с 2 cm по-голяма от страната на друг, а сборът от лицата им е 52 cm2. Колко е страната на по-малкия квадрат?
    • 6 cm
    • 5 cm
    • 4 cm
    • 3 cm

    Отговор: 4 cm

    x2 + (x + 2)2 = 52, x2 + 2x − 24 = 0, x = 4.

  7. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 13 cm, а сборът на катетите е 17 cm. Колко е по-малкият катет?
    • 12 cm
    • 4 cm
    • 5 cm
    • 8 cm

    Отговор: 5 cm

    a + b = 17, a2 + b2 = 169: ab = (289 − 169) : 2 = 60, катетите са 5 cm и 12 cm.

  8. Сборът на две числа е 10, а сборът на квадратите им е 58. Кои са числата?
    • 4 и 6
    • 2 и 8
    • 5 и 5
    • 3 и 7

    Отговор: 3 и 7

    2xy = 100 − 58 = 42, xy = 21; числата със сбор 10 и произведение 21 са 3 и 7.

  9. Периметърът на правоъгълен триъгълник е 24 cm, а хипотенузата му е 10 cm. Колко е лицето му?
    • 48 cm2
    • 30 cm2
    • 20 cm2
    • 24 cm2

    Отговор: 24 cm2

    a + b = 14, a2 + b2 = 100, затова 2ab = 96, ab = 48 и S = ab/2 = 24 cm2.

  10. Разликата на две положителни числа е 3, а сборът на квадратите им е 65. Кое е по-малкото число?
    • 7
    • 5
    • 8
    • 4

    Отговор: 4

    x = y + 3: 2y2 + 6y − 56 = 0, y2 + 3y − 28 = 0, y = 4.

  11. Диагоналът на правоъгълник е 10 cm, а лицето му е 48 cm2. Колко е периметърът му?
    • 14 cm
    • 28 cm
    • 24 cm
    • 34 cm

    Отговор: 28 cm

    a2 + b2 = 100 и ab = 48, (a + b)2 = 100 + 96 = 196, a + b = 14, P = 28 cm.

  12. Двуцифрено число е 4 пъти по-голямо от сбора на цифрите си и 3 пъти по-голямо от произведението им. Кое е числото?
    • 24
    • 12
    • 36
    • 48

    Отговор: 24

    10a + b = 4(a + b) дава b = 2a, а 12a = 3 · a · 2a дава a = 2, b = 4.

  13. Двама работници заедно свършват една работа за 6 дни. Единият сам би я свършил с 5 дни по-бързо от другия. За колко дни би я свършил по-бързият?
    • 10
    • 15
    • 5
    • 12

    Отговор: 10

    1/x + 1/(x + 5) = 1/6 води до x2 − 7x − 30 = 0, x = 10.

  14. Влак трябва да измине 120 km. Ако скоростта му е с 10 km/h по-голяма, ще пристигне 1 h по-рано. Колко е скоростта му?
    • 40 km/h
    • 20 km/h
    • 24 km/h
    • 30 km/h

    Отговор: 30 km/h

    120/v − 120/(v + 10) = 1, v2 + 10v − 1200 = 0, v = 30 km/h.

  15. Двама велосипедисти тръгват едновременно от едно място по два перпендикулярни пътя. Скоростта на единия е с 4 km/h по-голяма. След 2 h разстоянието между тях е 40 km. Колко е скоростта на по-бавния?
    • 16 km/h
    • 12 km/h
    • 10 km/h
    • 14 km/h

    Отговор: 12 km/h

    (2v)2 + (2v + 8)2 = 402, v2 + 4v − 192 = 0, v = 12 km/h.

Финален въпрос

Реалните числа x и y са такива, че x + y = 3 и x3 + y3 = 9. Намерете xy.

Отговор: 2

x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = 27 − 9xy = 9, откъдето xy = 2.

Ключови понятия по темата

Произведение
Резултатът от умножение на числа
Сбор
Резултатът от действието + с числа
Виет
Френски математик, свързал корените с коефициентите
Корен
Число, което превръща уравнението в вярно равенство
Замяна
Полагане на нова променлива, например u = x + y
Окръжност
Графиката на x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>
Парабола
Графиката на y = x<sup>2</sup>
Допирателна
Права с точно една обща точка с окръжност
Периметър
Сборът от дължините на страните на многоъгълник
Квадрат
Правоъгълник с равни страни, а също и втора степен на число

Често задавани въпроси

Как да проведа час по темата „Системи уравнения от втора степен“ с игра?

Изберете игра от комплекта и я пуснете на проектора или интерактивната дъска. Табло е добро за преговор на целия раздел, Ескейп стая е подходяща преди контролно, а Вярно или невярно е бърза загрявка в началото на часа. Не е нужно нищо за инсталиране.

По учебната програма ли са въпросите за 9 клас?

Да. Въпросите следват учебната програма на МОН по математика за 9 клас (първи гимназиален етап) и покриват: Сбор и произведение, Едно линейно уравнение, Двете от втора степен, Брой решения, Моделиране.

Могат ли учениците да отговарят от телефоните си?

Да. С режим „На живо“ всеки ученик влиза с код от телефона си, отговаря на въпросите и вижда класацията в реално време.

Може ли детето да упражнява темата у дома?

Да. В раздел „У дома“ детето играе със същите въпроси, събира звезди и повтаря грешките си, а родителят вижда напредъка.

Още теми по математика

9 клас · I срокМатематика 9 клас: преговор първи срок9 клас · II срокМатематика 9 клас: преговор втори срок9 клас · По темаКласическа вероятност9 клас · По темаФункции9 клас · По темаСистеми линейни уравнения9 клас · По темаПодобни триъгълници9 клас · По темаРационални неравенства9 клас · По темаМетрични зависимости между отсечки8 клас · I срокМатематика 8 клас: преговор първи срок8 клас · II срокМатематика 8 клас: преговор втори срок10 клас · I срокМатематика 10 клас: преговор първи срок10 клас · II срокМатематика 10 клас: преговор втори срок

Всички теми по математика за 9 клас · Всички игри