Подобни триъгълници

Пропорционални отсечки

1. Отношението на отсечките AB и CD е 2 : 5. Ако AB = 6 cm, колко е CD?

   • 12 cm
   • 15 cm
   • 2,4 cm
   • 30 cm

   Отговор: 15 cm

   6 : CD = 2 : 5, CD = 6 · 5 : 2 = 15 cm.

2. Колко е отношението на отсечки с дължини 6 cm и 9 cm?

   • 3 : 2
   • 2 : 3
   • 6 : 15
   • 1 : 3

   Отговор: 2 : 3

   6 : 9 = 2 : 3 (съкращаваме на 3).

3. Средата M на отсечката AB я дели в отношение:

   • 1 : 2
   • 2 : 1
   • 1 : 1
   • 1 : 3

   Отговор: 1 : 1

   Средата дели отсечката на две равни части, затова AM : MB = 1 : 1.

4. Точка M дели отсечката AB = 24 cm в отношение AM : MB = 3 : 5. Колко е AM?

   • 15 cm
   • 8 cm
   • 9 cm
   • 3 cm

   Отговор: 9 cm

   AB се дели на 3 + 5 = 8 равни части по 3 cm: AM = 9 cm.

5. Точка M е от отсечката AB, AM : MB = 3 : 4 и MB − AM = 2 cm. Колко е AB?

   • 7 cm
   • 12 cm
   • 16 cm
   • 14 cm

   Отговор: 14 cm

   AM = 3k, MB = 4k и k = 2 cm, затова AB = 7k = 14 cm.

6. Точка M дели отсечката AB в отношение AM : MB = 2 : 3. Колко е AM : AB?

   • 2 : 3
   • 3 : 5
   • 3 : 2
   • 2 : 5

   Отговор: 2 : 5

   AB съдържа 2 + 3 = 5 равни части, а AM е 2 от тях.

7. Намерете x от пропорцията x : 6 = 10 : 15.

   • 9
   • 25
   • 2,5
   • 4

   Отговор: 4

   15x = 60, x = 4.

8. Кои отсечки a, b, c и d (в cm) са пропорционални, т.е. a : b = c : d?

   • 2, 3, 4, 6
   • 2, 3, 5, 6
   • 1, 2, 3, 5
   • 3, 4, 5, 6

   Отговор: 2, 3, 4, 6

   2 : 3 = 4 : 6, защото 2 · 6 = 3 · 4.

9. Ако a : b = 2 : 3 и b : c = 4 : 5, колко е a : c?

   • 8 : 15
   • 2 : 5
   • 6 : 5
   • 10 : 12

   Отговор: 8 : 15

   a/c = (a/b) · (b/c) = 2/3 · 4/5 = 8/15.

10. Отсечките a = 4 cm, b = 6 cm, c = 10 cm и d са пропорционални: a : b = c : d. Колко е d?

    • 15 cm
    • 12 cm
    • 20/3 cm
    • 8 cm

    Отговор: 15 cm

    4d = 6 · 10 = 60, d = 15 cm.

11. AB = 12 cm, точката M дели AB в отношение AM : MB = 1 : 2, а N е средата на AB. Колко е MN?

    • 4 cm
    • 3 cm
    • 2 cm
    • 6 cm

    Отговор: 2 cm

    AM = 4 cm, AN = 6 cm, затова MN = 6 − 4 = 2 cm.

12. Отсечка с дължина 30 cm е разделена на три части в отношение 1 : 2 : 3. Колко е най-дългата част?

    • 10 cm
    • 15 cm
    • 18 cm
    • 20 cm

    Отговор: 15 cm

    Една част е 30 : 6 = 5 cm, а най-дългата е 3 · 5 = 15 cm.

13. Намерете положителното число x, за което 4 : x = x : 9.

    • 6,5
    • 6
    • 36
    • 13

    Отговор: 6

    x² = 36, x = 6 (средно геометрично на 4 и 9).

14. Ако a : b = 3 : 5, на колко е равно (a + b) : (b − a)?

    • 8/5
    • 2
    • 4
    • 5/3

    Отговор: 4

    a = 3k и b = 5k, затова (a + b) : (b − a) = 8k : 2k = 4.

15. Точка C лежи на продължението на отсечката AB = 6 cm след точка B и AC : CB = 5 : 2. Колко е CB?

    • 2 cm
    • 10 cm
    • 4 cm
    • 6 cm

    Отговор: 4 cm

    AC = 6 + CB, затова 2(6 + CB) = 5CB, 3CB = 12, CB = 4 cm.

Теорема на Талес

1. Успоредни прави пресичат двете рамена на ъгъл. На едното рамо те отсичат последователни отсечки 3 cm и 6 cm, а на другото съответните отсечки са 4 cm и x cm. Намерете x.

   • 7
   • 4,5
   • 8
   • 12

   Отговор: 8

   По теоремата на Талес 3 : 6 = 4 : x, x = 8.

2. Права, успоредна на AB, пресича страните AC и BC на ΔABC в M и N. Ако M е средата на AC, коя точка е N?

   • средата на BC
   • точката C
   • точката B
   • средата на AB

   Отговор: средата на BC

   По теоремата на Талес CN : NB = CM : MA = 1 : 1.

3. Успоредни прави пресичат раменете на ъгъл. Какви са отсечките, които те отсичат върху двете рамена?

   • равни
   • перпендикулярни
   • без връзка помежду си
   • пропорционални

   Отговор: пропорционални

   Според теоремата на Талес отсечките върху едното рамо са пропорционални на съответните отсечки върху другото.

4. Права, успоредна на страната AB на ΔABC, пресича AC в M и BC в N. CM = 5 cm, CA = 15 cm и CN = 4 cm. Колко е CB?

   • 8 cm
   • 9 cm
   • 14 cm
   • 12 cm

   Отговор: 12 cm

   CM : CA = CN : CB, 5 : 15 = 4 : CB, CB = 12 cm.

5. Права MN е успоредна на AB (M е от AC, N е от BC), CM = 6 cm, MA = 2 cm и CB = 12 cm. Колко е NB?

   • 4 cm
   • 9 cm
   • 2 cm
   • 3 cm

   Отговор: 3 cm

   CN : CB = CM : CA = 6 : 8, CN = 9 cm, NB = 12 − 9 = 3 cm.

6. Основите на трапец са 10 cm и 6 cm. Колко е средната му отсечка?

   • 8 cm
   • 16 cm
   • 4 cm
   • 6 cm

   Отговор: 8 cm

   Средната отсечка е полусборът на основите: (10 + 6) : 2 = 8 cm.

7. Права, успоредна на страната AB на ΔABC, пресича AC в M и BC в N. CM : MA = 2 : 3 и AB = 15 cm. Колко е MN?

   • 6 cm
   • 10 cm
   • 9 cm
   • 7,5 cm

   Отговор: 6 cm

   CM : CA = 2 : 5, затова MN = 15 · 2 : 5 = 6 cm.

8. През средата на бедрото AD на трапеца ABCD (AB ∥ CD) е прекарана права, успоредна на основите. В коя точка тя пресича бедрото BC?

   • в точката B
   • в средата на BC
   • в точка N, за която BN : NC = 1 : 2
   • в пресечната точка на диагоналите

   Отговор: в средата на BC

   Успоредните прави отсичат пропорционални отсечки, затова от AM = MD следва BN = NC.

9. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) AB = 14 cm и CD = 8 cm. M е средата на AD, а средната отсечка MN пресича диагонала AC в точка P. Колко е MP?

   • 7 cm
   • 4 cm
   • 3 cm
   • 11 cm

   Отговор: 4 cm

   MP е средна отсечка в ΔACD, затова MP = CD : 2 = 4 cm.

10. Права, успоредна на основите на трапеца ABCD (AB ∥ CD), пресича бедрото AD в M и бедрото BC в N. AM = 4 cm, MD = 6 cm и BN = 6 cm. Колко е NC?

    • 4 cm
    • 9 cm
    • 6 cm
    • 10 cm

    Отговор: 9 cm

    По теоремата на Талес AM : MD = BN : NC, 4 : 6 = 6 : NC, NC = 9 cm.

11. Права, успоредна на страната BC на ΔABC, пресича AB в M и AC в N. AM = 4 cm, AB = 10 cm и AN = 6 cm. Колко е NC?

    • 15 cm
    • 6 cm
    • 5 cm
    • 9 cm

    Отговор: 9 cm

    AN : AC = AM : AB = 4 : 10, откъдето AC = 15 cm и NC = 15 − 6 = 9 cm.

12. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) AB = 12 cm и CD = 6 cm. През точка M от бедрото AD, AM : MD = 1 : 2, е прекарана права, успоредна на основите. Колко е отсечката от тази права между бедрата?

    • 8 cm
    • 9 cm
    • 10 cm
    • 11 cm

    Отговор: 10 cm

    Дължината се мени равномерно от 12 cm до 6 cm по бедрото. На 1/3 от пътя от A: 12 − 6 · 1/3 = 10 cm.

13. Точките M и N са от страните AC и BC на ΔABC, CM = 3 cm, MA = 4,5 cm и CN = 4 cm. При каква дължина на NB правата MN е успоредна на AB?

    • 5,5 cm
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 8 cm

    Отговор: 6 cm

    По обратната теорема на Талес CM : MA = CN : NB: 3 : 4,5 = 4 : NB, NB = 6 cm.

14. Медианата AM на ΔABC е 12 cm, а G е медицентърът. Колко е AG?

    • 6 cm
    • 8 cm
    • 4 cm
    • 9 cm

    Отговор: 8 cm

    Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2 : 1, считано от върха: AG = 2/3 · 12 = 8 cm.

15. В ΔABC M е средата на AC, а N е от BC и BN : NC = 1 : 2. Отсечките AN и BM се пресичат в точка P. Колко е BP : PM?

    • 1 : 2
    • 2 : 1
    • 2 : 3
    • 1 : 1

    Отговор: 1 : 1

    През M прекарваме MK ∥ AN (K от BC). По Талес в ΔCAN K е средата на NC, т.е. NK = BN. Тогава в ΔBMK NP ∥ KM и BP = PM.

Ъглополовяща

1. В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 8 cm и BC = 12 cm. Колко е AL : LB?

   • 3 : 2
   • 1 : 2
   • 2 : 5
   • 2 : 3

   Отговор: 2 : 3

   AL : LB = AC : BC = 8 : 12 = 2 : 3.

2. Ъглополовящата на ъгъл в триъгълник дели срещуположната страна на отсечки, пропорционални на:

   • височините
   • медианите
   • прилежащите страни
   • ъглите

   Отговор: прилежащите страни

   Ако CL е ъглополовяща, то AL : LB = AC : BC.

3. В ΔABC AB = AC, а AL е ъглополовяща (L е от BC). Как точката L дели BC?

   • на две равни части
   • в отношение 1 : 2
   • в отношение 2 : 1
   • не може да се определи

   Отговор: на две равни части

   BL : LC = AB : AC = 1 : 1.

4. В ΔABC AL е ъглополовяща (L е от BC), AB = 5 cm, AC = 7 cm и BC = 9 cm. Колко е BL?

   • 3,75 cm
   • 5,25 cm
   • 4,5 cm
   • 3 cm

   Отговор: 3,75 cm

   BL : LC = AB : AC = 5 : 7, BL = 9 · 5 : 12 = 3,75 cm.

5. В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC = 6 cm, BC = 10 cm и AB = 8 cm. Колко е LB?

   • 5 cm
   • 3 cm
   • 4 cm
   • 6 cm

   Отговор: 5 cm

   AL : LB = 6 : 10 = 3 : 5, затова LB = 8 · 5/8 = 5 cm.

6. В ΔABC CL е ъглополовяща (L е от AB), AC : BC = 2 : 3 и AB = 10 cm. Колко е AL?

   • 6 cm
   • 4 cm
   • 5 cm
   • 2 cm

   Отговор: 4 cm

   AL : LB = 2 : 3, затова AL = 10 · 2/5 = 4 cm.

7. В равнобедрения ΔABC AC = BC = 15 cm и AB = 10 cm. AL е ъглополовяща (L е от BC). Колко е CL?

   • 6 cm
   • 9 cm
   • 7,5 cm
   • 10 cm

   Отговор: 9 cm

   CL : LB = AC : AB = 15 : 10 = 3 : 2, CL = 15 · 3 : 5 = 9 cm.

8. В ΔABC AL е ъглополовяща (L е от BC), BL = 4 cm, LC = 6 cm и AB = 8 cm. Колко е AC?

   • 12 cm
   • 10 cm
   • 16/3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 12 cm

   AB : AC = BL : LC = 4 : 6, AC = 8 · 6/4 = 12 cm.

9. Страните на ΔABC са AB = 7 cm, BC = 8 cm и CA = 9 cm. Ъглополовящата BL пресича AC в L. Колко е AL?

   • 3,5 cm
   • 4,8 cm
   • 4,2 cm
   • 4,5 cm

   Отговор: 4,2 cm

   AL : LC = AB : BC = 7 : 8, затова AL = 9 · 7/15 = 4,2 cm.

10. Ъглополовящата CL на ΔABC дели AB на отсечки AL = 6 cm и LB = 8 cm. Периметърът на триъгълника е 35 cm. Колко е AC?

    • 12 cm
    • 7 cm
    • 9 cm
    • 10,5 cm

    Отговор: 9 cm

    AC + BC = 35 − 14 = 21 и AC : BC = 6 : 8 = 3 : 4, AC = 9 cm.

11. Ъглополовящата CL дели страната AB на ΔABC в отношение AL : LB = 3 : 5, а AC + BC = 24 cm. Колко е BC?

    • 9 cm
    • 12 cm
    • 15 cm
    • 10 cm

    Отговор: 15 cm

    AC : BC = 3 : 5, т.е. AC = 3k и BC = 5k; 8k = 24, k = 3 и BC = 15 cm.

12. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) AC = 3 cm и BC = 4 cm. Ъглополовящата CL пресича AB в L. Колко е AL?

    • 20/7 cm
    • 3/7 cm
    • 2,5 cm
    • 15/7 cm

    Отговор: 15/7 cm

    AB = 5 cm, AL : LB = 3 : 4, затова AL = 5 · 3/7 = 15/7 cm.

13. В ΔABC ∠C = 90°, AC = 6 cm и BC = 8 cm. Ъглополовящата на ∠A пресича BC в точка L. Колко е CL?

    • 5 cm
    • 4 cm
    • 3,6 cm
    • 3 cm

    Отговор: 3 cm

    AB = 10 cm, CL : LB = AC : AB = 6 : 10, CL = 8 · 6 : 16 = 3 cm.

14. В ΔABC AB = 6 cm, AC = 9 cm и BC = 10 cm. Ъглополовящата AL (L е от BC) и ъглополовящата през върха B се пресичат в точка I. Колко е AI : IL?

    • 2 : 3
    • 3 : 2
    • 3 : 5
    • 6 : 5

    Отговор: 3 : 2

    BL = 10 · 6/15 = 4 cm. В ΔABL BI е ъглополовяща, затова AI : IL = AB : BL = 6 : 4 = 3 : 2.

15. В ΔABC AB = 8 cm и BC = 12 cm. Ъглополовящата BL дели AC на отсечки AL и LC, като LC − AL = 2 cm. Колко е AC?

    • 10 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 8 cm

    Отговор: 10 cm

    AL : LC = 8 : 12 = 2 : 3. Ако AL = 2k и LC = 3k, то k = 2 и AC = 5k = 10 cm.

Признаци за подобност

1. Два от ъглите на ΔABC са 40° и 75°, а два от ъглите на ΔMNP са 75° и 65°. Подобни ли са триъгълниците?

   • да, по първия признак
   • не
   • да, по третия признак
   • не може да се определи

   Отговор: да, по първия признак

   Третият ъгъл на ΔABC е 180° − 40° − 75° = 65°, т.е. два ъгъла са съответно равни.

2. Подобни ли са всеки два равностранни триъгълника?

   • никога
   • само ако страните им са равни
   • само ако лицата им са равни
   • да, винаги

   Отговор: да, винаги

   Всички ъгли на равностранен триъгълник са 60°, затова два такива триъгълника са подобни по първия признак.

3. Подобни ли са всеки два равнобедрени правоъгълни триъгълника?

   • не, никога
   • да, винаги
   • само ако са еднакви
   • само при равни хипотенузи

   Отговор: да, винаги

   Ъглите им са 90°, 45° и 45°, затова те са подобни по първия признак.

4. Страните на един триъгълник са 3 cm, 4 cm и 6 cm, а на друг са 6 cm, 8 cm и 12 cm. Колко е коефициентът на подобие на втория спрямо първия?

   • 1/2
   • 2
   • 3
   • 4

   Отговор: 2

   6 : 3 = 8 : 4 = 12 : 6 = 2.

5. Две страни на един триъгълник са пропорционални на две страни на друг, а ъглите между тях са равни. Кой признак за подобност е приложим?

   • първият
   • вторият
   • третият
   • нито един

   Отговор: вторият

   Вторият признак: две страни пропорционални и ъглите между тях равни.

6. Подобни ли са триъгълниците със страни 2 cm, 3 cm, 4 cm и 4 cm, 6 cm, 9 cm?

   • да, с коефициент 2
   • да, с коефициент 3/2
   • не
   • да, по първия признак

   Отговор: не

   4/2 = 6/3 = 2, но 9/4 ≠ 2, затова страните не са пропорционални.

7. За ΔABC и ΔA₁B₁C₁: ∠C = ∠C₁, AC = 4 cm, BC = 6 cm, A₁C₁ = 6 cm, B₁C₁ = 9 cm и AB = 5 cm. Колко е A₁B₁?

   • 7 cm
   • 10 cm
   • 7,5 cm
   • 6 cm

   Отговор: 7,5 cm

   6 : 4 = 9 : 6 = 1,5 и ъглите между тези страни са равни (втори признак). A₁B₁ = 1,5 · 5 = 7,5 cm.

8. ΔABC и ΔMNP имат ∠A = ∠M = 40°, AB = 4 cm, AC = 6 cm и MN = 6 cm. При каква дължина на MP триъгълниците са подобни, като AB съответства на MN?

   • 4 cm
   • 8 cm
   • 10 cm
   • 9 cm

   Отговор: 9 cm

   Трябва MN : AB = MP : AC, т.е. 6 : 4 = MP : 6, MP = 9 cm.

9. Права MN е успоредна на AB (M е от AC, N е от BC в ΔABC). Кое твърдение е вярно?

   • ΔAMN ~ ΔANB
   • ΔAMB ~ ΔBNA
   • няма подобни триъгълници
   • ΔMNC ~ ΔABC

   Отговор: ΔMNC ~ ΔABC

   ∠C е общ, а ∠CMN = ∠CAB като съответни ъгли, затова ΔMNC ~ ΔABC.

10. Кои дължини (в cm) са страни на триъгълник, подобен на триъгълника със страни 4 cm, 5 cm и 7 cm?

    • 8, 10, 12
    • 5, 6, 8
    • 6, 7, 9
    • 12, 15, 21

    Отговор: 12, 15, 21

    12 : 15 : 21 = 4 : 5 : 7 (коефициент 3).

11. Диагоналите на трапеца ABCD (AB ∥ CD) се пресичат в точка O. AB = 15 cm, CD = 10 cm и AC = 20 cm. Колко е AO?

    • 12 cm
    • 8 cm
    • 10 cm
    • 15 cm

    Отговор: 12 cm

    ΔABO и ΔCDO са подобни, AO : OC = AB : CD = 3 : 2, затова AO = 20 · 3/5 = 12 cm.

12. Височините AA₁ и BB₁ на остроъгълния ΔABC се пресичат в точка H. Кой триъгълник е подобен на ΔAHB₁?

    • ΔBHA₁
    • ΔABC
    • ΔAHB
    • ΔCA₁H

    Отговор: ΔBHA₁

    И двата са правоъгълни, а ∠AHB₁ = ∠BHA₁ като връхни ъгли.

13. В ΔABC точка M от страната AC е такава, че ∠ABM = ∠ACB. AB = 6 cm и AC = 9 cm. Колко е AM?

    • 4 cm
    • 3 cm
    • 6 cm
    • 4,5 cm

    Отговор: 4 cm

    ΔABM ∼ ΔACB (общ ∠A и ∠ABM = ∠ACB): AM : AB = AB : AC, AM = 36 : 9 = 4 cm.

14. В ΔABC AB = 12 cm, а височината CH = 6 cm. В триъгълника е вписан квадрат, една от страните на който лежи на AB. Колко е страната на квадрата?

    • 3 cm
    • 6 cm
    • 4 cm
    • 4,5 cm

    Отговор: 4 cm

    Горната страна на квадрата отсича триъгълник, подобен на ΔABC: x/12 = (6 − x)/6, откъдето x = 4 cm.

15. В ΔABC AB = 8 cm, AC = 6 cm и BC = 10 cm. Точка M е от AB, AM = 3 cm, а точка N е от AC, AN = 4 cm. Колко е MN?

    • 4 cm
    • 5 cm
    • 7,5 cm
    • 6 cm

    Отговор: 5 cm

    AM/AC = AN/AB = 1/2 и ∠A е общ, затова ΔAMN ~ ΔACB с коефициент 1/2 и MN = BC/2 = 5 cm.

Лица и периметри

1. Два триъгълника са подобни с коефициент 3. Периметърът на по-малкия е 10 cm. Колко е периметърът на по-големия?

   • 90 cm
   • 30 cm
   • 13 cm
   • 60 cm

   Отговор: 30 cm

   Периметрите се отнасят като коефициента на подобие: 3 · 10 = 30 cm.

2. Коефициентът на подобие на два триъгълника е 2. Колко пъти лицето на по-големия е по-голямо от лицето на по-малкия?

   • 2
   • 8
   • 4
   • 16

   Отговор: 4

   Лицата се отнасят като квадрата на коефициента: 2² = 4.

3. Съответните височини на два подобни триъгълника се отнасят 1 : 4. Колко е отношението на периметрите им?

   • 1 : 16
   • 1 : 2
   • 1 : 4
   • 4 : 1

   Отговор: 1 : 4

   Всички съответни линейни елементи се отнасят като коефициента на подобие.

4. Лицата на два подобни триъгълника са 4 cm² и 25 cm². Колко е коефициентът на подобие на по-големия спрямо по-малкия?

   • 25/4
   • 5
   • 5/2
   • 21

   Отговор: 5/2

   k² = 25/4, k = 5/2.

5. Периметрите на два подобни триъгълника са 15 cm и 25 cm. Една страна на по-малкия е 6 cm. Колко е съответната страна на по-големия?

   • 10 cm
   • 12 cm
   • 8 cm
   • 16 cm

   Отговор: 10 cm

   Коефициентът е 25 : 15 = 5/3, затова 6 · 5/3 = 10 cm.

6. Средните отсечки на триъгълник образуват триъгълник с периметър 12 cm. Колко е периметърът на дадения триъгълник?

   • 48 cm
   • 6 cm
   • 36 cm
   • 24 cm

   Отговор: 24 cm

   Всяка средна отсечка е половината от успоредната ѝ страна, затова периметърът е 2 · 12 = 24 cm.

7. Съответни медиани на два подобни триъгълника са 6 cm и 9 cm. Лицето на по-малкия триъгълник е 20 cm². Колко е лицето на по-големия?

   • 30 cm²
   • 40 cm²
   • 27 cm²
   • 45 cm²

   Отговор: 45 cm²

   k = 9 : 6 = 3/2, S = 20 · 9/4 = 45 cm².

8. Лицето на триъгълник е 50 cm². Колко е лицето на триъгълника, образуван от трите му средни отсечки?

   • 25 cm²
   • 10 cm²
   • 16,5 cm²
   • 12,5 cm²

   Отговор: 12,5 cm²

   Новият триъгълник е подобен на дадения с коефициент 1/2, затова лицето му е 50 : 4 = 12,5 cm².

9. Лицата на два подобни триъгълника са 12 cm² и 27 cm². Една страна на по-малкия е 4 cm. Колко е съответната страна на по-големия?

   • 6 cm
   • 8 cm
   • 9 cm
   • 5 cm

   Отговор: 6 cm

   k² = 27/12 = 9/4, k = 3/2, затова страната е 4 · 3/2 = 6 cm.

10. Права, успоредна на AB, пресича страните AC и BC на ΔABC в M и N, като CM : CA = 1 : 3. Лицето на ΔABC е 36 cm². Колко е лицето на трапеца ABNM?

    • 32 cm²
    • 24 cm²
    • 12 cm²
    • 4 cm²

    Отговор: 32 cm²

    ΔMNC ∼ ΔABC с k = 1/3, S_MNC = 36 : 9 = 4 cm², а трапецът е 36 − 4 = 32 cm².

11. Два подобни триъгълника имат лица 18 cm² и 50 cm², а сборът на периметрите им е 48 cm. Колко е периметърът на по-малкия?

    • 30 cm
    • 18 cm
    • 12 cm
    • 24 cm

    Отговор: 18 cm

    k² = 50/18 = 25/9, k = 5/3. P + 5P/3 = 48, 8P/3 = 48, P = 18 cm.

12. В трапеца ABCD (AB ∥ CD) AB = 9 cm и CD = 6 cm, а диагоналите се пресичат в точка O. Лицето на ΔCDO е 8 cm². Колко е лицето на ΔABO?

    • 12 cm²
    • 18 cm²
    • 27 cm²
    • 16 cm²

    Отговор: 18 cm²

    ΔABO ~ ΔCDO с коефициент 9/6 = 3/2, затова S = 8 · 9/4 = 18 cm².

13. Страните на триъгълник са 5 cm, 6 cm и 9 cm. Периметърът на подобен на него триъгълник е 60 cm. Колко е най-малката страна на втория триъгълник?

    • 18 cm
    • 15 cm
    • 27 cm
    • 12 cm

    Отговор: 15 cm

    P = 20 cm, k = 60 : 20 = 3, 5 · 3 = 15 cm.

14. Лицето на ΔABC е 45 cm². Права MN ∥ AB (M е от AC, N е от BC) дели височината от C в отношение 2 : 1, считано от C. Колко е лицето на ΔMNC?

    • 30 cm²
    • 15 cm²
    • 25 cm²
    • 20 cm²

    Отговор: 20 cm²

    ΔMNC е подобен на ΔABC с коефициент 2/3, лицето му е 45 · 4/9 = 20 cm².

15. Права MN ∥ AB (M е от AC, N е от BC) дели ΔABC на ΔMNC и трапец ABNM, чиито лица се отнасят 4 : 5. Колко е CM : MA?

    • 4 : 5
    • 2 : 3
    • 2 : 1
    • 3 : 2

    Отговор: 2 : 1

    S(MNC) : S(ABC) = 4 : 9, затова CM : CA = 2 : 3 и CM : MA = 2 : 1.

Финален въпрос