Функции

Функция и задаване

1. Дадена е функцията f(x) = x² − 3x. Намерете f(−2).

   • −2
   • 2
   • 10
   • −10

   Отговор: 10

   f(−2) = (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10.

2. Дадена е функцията f(x) = 3x + 1. Намерете f(0).

   • 3
   • 1
   • 0
   • 4

   Отговор: 1

   f(0) = 3 · 0 + 1 = 1.

3. Коя от точките лежи на графиката на функцията f(x) = x²?

   • (3; 6)
   • (9; 3)
   • (−3; −9)
   • (−3; 9)

   Отговор: (−3; 9)

   f(−3) = (−3)² = 9.

4. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = 5/(x + 4)?

   • x ≠ 4
   • x > −4
   • x ≠ 0
   • x ≠ −4

   Отговор: x ≠ −4

   Знаменателят не може да е 0: x + 4 ≠ 0.

5. Дадена е функцията f(x) = x² + 1. При кои стойности на x е изпълнено f(x) = 10?

   • само x = 3
   • x = 9
   • x = 101
   • x = 3 и x = −3

   Отговор: x = 3 и x = −3

   x² + 1 = 10, x² = 9, x = ±3.

6. Дадена е функцията f(x) = (x + 2)/(x − 1). Намерете f(3).

   • 5/2
   • 5
   • 1
   • 2/5

   Отговор: 5/2

   f(3) = (3 + 2)/(3 − 1) = 5/2.

7. Функция е зададена с таблица: при x = 1, 2, 3, 4 стойностите ѝ са съответно 3, 5, 7, 9. Коя формула задава същата функция?

   • y = 2x + 1
   • y = x + 2
   • y = 3x
   • y = 2x − 1

   Отговор: y = 2x + 1

   При увеличение на x с 1 стойността расте с 2, а при x = 1 е 3: y = 2x + 1.

8. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = (x + 1)/(x² − 9)?

   • x ≠ 3 и x ≠ −3
   • x ≠ 3
   • x ≠ −1
   • всички реални числа

   Отговор: x ≠ 3 и x ≠ −3

   Знаменателят x² − 9 не може да е 0, затова x ≠ ±3.

9. Функцията f(x) = ax + 3 е такава, че f(2) = 11. Намерете f(−1).

   • 7
   • −1
   • −7
   • 1

   Отговор: −1

   2a + 3 = 11, a = 4, затова f(−1) = −4 + 3 = −1.

10. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = √(6 − 2x)?

    • x ≥ 3
    • x ≤ 3
    • x < 3
    • x ≤ −3

    Отговор: x ≤ 3

    6 − 2x ≥ 0, откъдето x ≤ 3.

11. Дадена е функцията f(x) = 2x − 1. Намерете f(f(2)).

    • 3
    • 7
    • 5
    • 9

    Отговор: 5

    f(2) = 3, а f(3) = 2 · 3 − 1 = 5.

12. Кое е дефиниционното множество на функцията f(x) = 1/√(x − 2)?

    • x ≥ 2
    • x ≠ 2
    • x > 2
    • x < 2

    Отговор: x > 2

    Подкоренният израз трябва да е неотрицателен, а знаменателят различен от 0, затова x − 2 > 0.

13. Колко цели числа от интервала [−3; 3] принадлежат на дефиниционното множество на f(x) = √(x + 2)/(x − 1)?

    • 6
    • 4
    • 5
    • 7

    Отговор: 5

    Условията са x ≥ −2 и x ≠ 1. Целите числа са −2, −1, 0, 2 и 3.

14. Кое е множеството от стойности на функцията f(x) = x² − 4x + 7?

    • [7; +∞)
    • (−∞; 3]
    • [3; +∞)
    • [2; +∞)

    Отговор: [3; +∞)

    f(x) = (x − 2)² + 3 ≥ 3, а стойността 3 се достига при x = 2.

15. За функцията f е изпълнено f(x + 1) = 2x + 5 за всяко x. Намерете f(3).

    • 11
    • 13
    • 7
    • 9

    Отговор: 9

    При x = 2 получаваме f(3) = 2 · 2 + 5 = 9.

Линейна функция

1. Какъв е ъгловият коефициент на правата y = −3x + 7?

   • 7
   • 3
   • −7
   • −3

   Отговор: −3

   При y = kx + n ъгловият коефициент е k, тук k = −3.

2. Коя от функциите е линейна?

   • y = 4x − 1
   • y = x² + 1
   • y = 1/x
   • y = √x

   Отговор: y = 4x − 1

   Линейната функция има вида y = kx + b.

3. Графиката на коя функция минава през началото на координатната система?

   • y = 3x
   • y = 3x + 1
   • y = x − 3
   • y = 3

   Отговор: y = 3x

   При x = 0 само y = 3x дава y = 0.

4. В коя точка графиката на y = 2x − 8 пресича оста Oy?

   • (0; −8)
   • (4; 0)
   • (0; 8)
   • (−8; 0)

   Отговор: (0; −8)

   При x = 0 получаваме y = −8.

5. При коя стойност на x функцията y = −4x + 12 има стойност 0?

   • x = −3
   • x = 12
   • x = 4
   • x = 3

   Отговор: x = 3

   −4x + 12 = 0, x = 3.

6. При коя стойност на m графиката на функцията y = (m − 1)x + 2 е успоредна на оста Ox?

   • 0
   • 1
   • 2
   • −1

   Отговор: 1

   Правата е успоредна на Ox, когато ъгловият коефициент е 0: m − 1 = 0.

7. При кои стойности на m функцията y = (2m − 6)x + 1 е намаляваща?

   • m > 3
   • m < 3
   • m < −3
   • m > 6

   Отговор: m < 3

   Линейната функция намалява при k < 0: 2m − 6 < 0, m < 3.

8. Коя права е успоредна на правата y = −2x + 5?

   • y = 2x + 5
   • y = −2x − 3
   • y = 0,5x + 5
   • y = −0,5x

   Отговор: y = −2x − 3

   Успоредните прави имат равни ъглови коефициенти, тук k = −2.

9. Права минава през точките (0; 4) и (2; 0). Коя е тя?

   • y = 4x − 2
   • y = 2x + 4
   • y = −2x + 4
   • y = −x/2 + 4

   Отговор: y = −2x + 4

   b = 4, а k = (0 − 4)/(2 − 0) = −2.

10. Графиката на y = kx + 3 минава през точката (2; −1). Намерете k.

    • k = 2
    • k = 1
    • k = −2
    • k = −1

    Отговор: k = −2

    −1 = 2k + 3, откъдето k = −2.

11. Намерете пресечната точка на правите y = 2x − 1 и y = −x + 5.

    • (3; 2)
    • (1; 1)
    • (−2; −5)
    • (2; 3)

    Отговор: (2; 3)

    2x − 1 = −x + 5, 3x = 6, x = 2 и y = 3.

12. Точката (a; 5) лежи на правата y = 3x − 4. Намерете a.

    • −3
    • 11
    • 1/3
    • 3

    Отговор: 3

    5 = 3a − 4, 3a = 9, a = 3.

13. Намерете лицето на триъгълника, ограничен от правата y = −2x + 6 и координатните оси.

    • 18
    • 6
    • 12
    • 9

    Отговор: 9

    Правата пресича осите в (3; 0) и (0; 6). S = 3 · 6 : 2 = 9.

14. Графиката на y = kx + b минава през точките (−1; 5) и (2; −1). Колко е k + b?

    • −2
    • 1
    • 3
    • 5

    Отговор: 1

    k = (−1 − 5) : (2 + 1) = −2; от 5 = 2 + b получаваме b = 3, затова k + b = 1.

15. Правите y = 2x + 4 и y = −x + 4 и оста Ox ограничават триъгълник. Колко е лицето му?

    • 12
    • 24
    • 8
    • 16

    Отговор: 12

    Пресечните точки с Ox са (−2; 0) и (4; 0), а правите се пресичат в (0; 4). S = 6 · 4/2 = 12.

Квадратна функция

1. Параболата y = ax² минава през точката (2; 12). Намерете a.

   • a = 3
   • a = 6
   • a = 24
   • a = 1/3

   Отговор: a = 3

   12 = a · 2², a = 3.

2. Колко е стойността на функцията y = 2x² − 3 при x = −2?

   • −11
   • 13
   • 5
   • 1

   Отговор: 5

   y = 2 · 4 − 3 = 5.

3. Накъде са насочени клоновете на параболата y = 2x² − 5x?

   • надолу
   • нагоре
   • наляво
   • надясно

   Отговор: нагоре

   Коефициентът пред x² е 2 > 0, затова клоновете са насочени нагоре.

4. Кой е върхът на параболата y = −2x² + 8x − 5?

   • (−2; −29)
   • (2; 3)
   • (2; −3)
   • (4; −5)

   Отговор: (2; 3)

   x₀ = −8/(−4) = 2, y₀ = −8 + 16 − 5 = 3.

5. Кой е върхът на параболата y = (x − 1)² + 4?

   • (1; 4)
   • (−1; 4)
   • (4; 1)
   • (1; −4)

   Отговор: (1; 4)

   За y = (x − p)² + q върхът е (p; q), тук (1; 4).

6. В коя точка параболата y = −x² + 3x − 7 пресича оста Oy?

   • (0; 7)
   • (−7; 0)
   • (0; −7)
   • (0; 3)

   Отговор: (0; −7)

   При x = 0 получаваме y = −7.

7. Коя е оста на симетрия на параболата y = 3x² + 12x − 1?

   • x = 2
   • x = −4
   • x = −2
   • x = 4

   Отговор: x = −2

   x₀ = −12/6 = −2.

8. Колко нули има функцията y = 2x² − 3x + 5?

   • 0
   • 1
   • 2
   • безброй много

   Отговор: 0

   D = 9 − 40 = −31 < 0, затова функцията няма нули.

9. Параболата y = x² се премества с 3 единици надясно. Коя е функцията на новата парабола?

   • y = (x + 3)²
   • y = x² + 3
   • y = x² − 3
   • y = (x − 3)²

   Отговор: y = (x − 3)²

   При преместване надясно с 3 единици x се заменя с x − 3, а върхът става (3; 0).

10. В кои точки параболата y = x² + 2x − 8 пресича оста Ox?

    • (4; 0) и (−2; 0)
    • (0; −8)
    • (−1; −9)
    • (−4; 0) и (2; 0)

    Отговор: (−4; 0) и (2; 0)

    Уравнението x² + 2x − 8 = 0 има корени −4 и 2.

11. Параболата y = x² + bx − 3 минава през точката (2; 5). Намерете b.

    • b = −2
    • b = 3
    • b = 2
    • b = 4

    Отговор: b = 2

    5 = 4 + 2b − 3, 2b = 4, b = 2.

12. Коя квадратна функция има връх (1; −4) и графиката ѝ минава през (0; −3)?

    • y = x² − 2x − 3
    • y = x² + 2x − 3
    • y = 2x² − 4x − 3
    • y = −x² + 2x − 3

    Отговор: y = x² − 2x − 3

    y = a(x − 1)² − 4 и при x = 0: a − 4 = −3, a = 1. Значи y = x² − 2x − 3.

13. Параболата y = x² + bx + c има връх (3; −2). Намерете c.

    • c = 7
    • c = −2
    • c = 11
    • c = 9

    Отговор: c = 7

    y = (x − 3)² − 2 = x² − 6x + 7.

14. Параболата y = ax² + bx + c минава през точките (0; 3), (1; 0) и (3; 0). Намерете a.

    • a = −1
    • a = 1
    • a = 3
    • a = 1/3

    Отговор: a = 1

    y = a(x − 1)(x − 3); при x = 0: 3a = 3, a = 1.

15. При кои стойности на a параболата y = ax² + 4x − 2 лежи изцяло под оста Ox?

    • a < 0
    • a < −2
    • a > −2
    • −2 < a < 0

    Отговор: a < −2

    Нужни са a < 0 и D = 16 + 8a < 0, т.е. a < −2.

Растене и екстремуми

1. Колко е най-малката стойност на функцията y = x² − 8x + 10?

   • 4
   • −6
   • 10
   • 6

   Отговор: −6

   Достига се във върха, при x = 4: 16 − 32 + 10 = −6.

2. Колко е най-малката стойност на функцията y = x² + 5?

   • 0
   • −5
   • 1
   • 5

   Отговор: 5

   x² ≥ 0, затова y ≥ 5, като y = 5 при x = 0.

3. Каква е функцията y = x² в интервала [0; +∞)?

   • постоянна
   • намаляваща
   • растяща
   • нито растяща, нито намаляваща

   Отговор: растяща

   При x ≥ 0 по-голямо x дава по-голямо x².

4. В кой интервал функцията y = −x² + 4x + 1 е намаляваща?

   • (−∞; 2]
   • [−2; +∞)
   • [2; +∞)
   • (−∞; −2]

   Отговор: [2; +∞)

   a 0 = 2: вдясно от върха функцията намалява.

5. В кой интервал е растяща функцията y = (x + 3)²?

   • [3; +∞)
   • [−3; +∞)
   • (−∞; −3]
   • (−∞; 3]

   Отговор: [−3; +∞)

   Върхът е (−3; 0), клоновете са нагоре, затова функцията расте вдясно от −3.

6. Колко е най-малката стойност на функцията y = (x − 2)² − 7?

   • 2
   • −2
   • 7
   • −7

   Отговор: −7

   (x − 2)² ≥ 0, затова y ≥ −7, като −7 се достига при x = 2.

7. Колко е най-голямата стойност на функцията y = −2x² + 12x − 7?

   • 3
   • −7
   • 29
   • 11

   Отговор: 11

   Във върха x = 3: −18 + 36 − 7 = 11.

8. При коя стойност на x функцията y = −x² + 10x − 21 приема най-голяма стойност?

   • x = −5
   • x = 10
   • x = 4
   • x = 5

   Отговор: x = 5

   x = −b/(2a) = −10/(−2) = 5.

9. Функцията y = 2x + 1 е разгледана в интервала [−1; 3]. Колко е най-голямата ѝ стойност?

   • 7
   • −1
   • 3
   • 5

   Отговор: 7

   Функцията е растяща, затова най-голямата стойност е при x = 3: y = 7.

10. Колко е най-малката стойност на y = x² − 4x + 3 в интервала [3; 5]?

    • 0
    • −1
    • 3
    • 8

    Отговор: 0

    Върхът x = 2 е извън интервала, а в [3; 5] функцията расте. Най-малка е f(3) = 0.

11. Колко е най-голямата стойност на функцията y = −x² + 2x + 3 в интервала [2; 4]?

    • 3
    • 4
    • −5
    • 0

    Отговор: 3

    Върхът е при x = 1, вън от интервала, и в [2; 4] функцията намалява. Най-голямата стойност е y(2) = 3.

12. Колко е най-голямата стойност на функцията y = x² − 2x в интервала [−1; 2]?

    • 0
    • 3
    • −1
    • 8

    Отговор: 3

    Върхът (1; −1) дава най-малката стойност. В краищата y(−1) = 3 и y(2) = 0, затова най-голямата е 3.

13. Сборът на две числа е 14. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?

    • 48
    • 49
    • 40
    • 196

    Отговор: 49

    P = x(14 − x) е квадратна функция с връх при x = 7: 7 · 7 = 49.

14. С 40 m мрежа се огражда правоъгълен парцел до стена, като страната до стената не се огражда. Колко е най-голямото възможно лице?

    • 100 m²
    • 400 m²
    • 200 m²
    • 150 m²

    Отговор: 200 m²

    Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, лицето е x(40 − 2x). Най-голямо е при x = 10: 10 · 20 = 200 m².

15. Тяло е хвърлено вертикално нагоре и височината му (в метри) след t секунди е h = 20t − 5t². Колко е най-голямата височина?

    • 40 m
    • 15 m
    • 20 m
    • 10 m

    Отговор: 20 m

    Върхът е при t = 20/10 = 2 s, а h(2) = 40 − 20 = 20 m.

Графично решаване

1. Кои са абсцисите на пресечните точки на графиките на y = x² и y = 4?

   • x = 2
   • x = −4 и x = 4
   • x = −2 и x = 2
   • x = 16

   Отговор: x = −2 и x = 2

   x² = 4, x = ±2.

2. Колко общи точки имат графиките на y = 2x + 1 и y = 2x − 5?

   • 1
   • 2
   • 0
   • безброй много

   Отговор: 0

   Правите имат равни ъглови коефициенти и различни свободни членове, т.е. са успоредни.

3. Колко общи точки имат правите y = 3x и y = −x?

   • 0
   • безброй много
   • 2
   • 1

   Отговор: 1

   Ъгловите коефициенти са различни, затова правите се пресичат в една точка, (0; 0).

4. Колко решения има уравнението x² = x + 2?

   • 1
   • 0
   • 3
   • 2

   Отговор: 2

   Параболата y = x² и правата y = x + 2 се пресичат в две точки: x = −1 и x = 2.

5. В коя точка се пресичат графиките на y = x + 2 и y = −x + 4?

   • (1; 3)
   • (3; 1)
   • (2; 4)
   • (−1; 1)

   Отговор: (1; 3)

   x + 2 = −x + 4, x = 1, y = 3.

6. Като използвате графиката на y = x², определете колко решения има уравнението x² = −1.

   • 0
   • 1
   • 2
   • 4

   Отговор: 0

   Параболата y = x² няма точки под оста Ox, затова правата y = −1 не я пресича.

7. Колко общи точки имат графиките на y = x² − 2x + 3 и y = 2?

   • 1
   • 2
   • 0
   • 3

   Отговор: 1

   x² − 2x + 1 = 0 има един корен x = 1: правата минава през върха (1; 2).

8. Колко общи точки имат графиките на y = x² и y = 2x − 1?

   • 0
   • 2
   • 3
   • 1

   Отговор: 1

   x² − 2x + 1 = 0, (x − 1)² = 0, x = 1: правата се допира до параболата.

9. В кои точки се пресичат графиките на y = x² и y = x?

   • (1; 1) и (−1; 1)
   • (0; 0) и (1; 1)
   • само (1; 1)
   • (0; 0) и (−1; −1)

   Отговор: (0; 0) и (1; 1)

   x² = x, x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1.

10. При кои стойности на m уравнението x² − 6x + 5 = m има две различни решения?

    • m < −4
    • m > −4
    • m > 5
    • m = −4

    Отговор: m > −4

    Най-малката стойност на лявата страна е −4 (при x = 3). Правата y = m пресича параболата в две точки при m > −4.

11. При коя стойност на m правата y = m има точно една обща точка с параболата y = −x² + 4x?

    • m = 2
    • m = 4
    • m = 0
    • m = −4

    Отговор: m = 4

    Върхът на параболата е (2; 4), затова хоризонталната права я допира при m = 4.

12. Кои са абсцисите на пресечните точки на графиките на y = x² и y = 3x − 2?

    • −1 и −2
    • 0 и 3
    • 1 и 2
    • 2 и 3

    Отговор: 1 и 2

    x² − 3x + 2 = 0, (x − 1)(x − 2) = 0.

13. Колко общи точки имат графиките на y = x² − 4 и y = −x² + 4x + 2?

    • 1
    • 0
    • 2
    • 4

    Отговор: 2

    2x² − 4x − 6 = 0, x² − 2x − 3 = 0, x = −1 и x = 3.

14. При кои стойности на m уравнението −x² + 2x = m няма решение?

    • m < 1
    • m ≥ 1
    • m > 0
    • m > 1

    Отговор: m > 1

    Най-голямата стойност на −x² + 2x е 1 (при x = 1), затова при m > 1 правата y = m е над параболата.

15. При коя положителна стойност на k правата y = kx − 1 се допира до параболата y = x²?

    • 1
    • √2
    • 4
    • 2

    Отговор: 2

    x² − kx + 1 = 0 има един корен при k² − 4 = 0, k = 2.

Финален въпрос