Графично представяне на решенията на уравнение
Решенията на уравнение f(x) = g(x) са абсцисите на пресечните точки на графиките на y = f(x) и y = g(x). Така броят на решенията може да се види, като начертаем двете графики и преброим общите им точки. Например уравнението x2 − 6x + 5 = m има толкова решения, колкото общи точки имат параболата и хоризонталната права y = m.
Какво да запомним
- Решения на f(x) = g(x) са абсцисите на общите точки на графиките.
- Права y = m пресича парабола с a > 0 в 2 точки при m > y0, в 1 при m = y0, в 0 при m 0.
- Успоредни прави нямат общи точки, затова уравнението няма решение.
- Графичното решение се проверява алгебрично.
Пример
x2 = 4: параболата y = x2 и правата y = 4 се пресичат при x = −2 и x = 2.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Кои са абсцисите на пресечните точки на графиките на y = x2 и y = 4?
- x = 2
- x = −4 и x = 4
- x = −2 и x = 2
- x = 16
Отговор: x = −2 и x = 2
x2 = 4, x = ±2.
Колко решения има уравнението x2 = x + 2?
- 1
- 0
- 3
- 2
Отговор: 2
Параболата y = x2 и правата y = x + 2 се пресичат в две точки: x = −1 и x = 2.
Колко общи точки имат графиките на y = x2 − 2x + 3 и y = 2?
- 1
- 2
- 0
- 3
Отговор: 1
x2 − 2x + 1 = 0 има един корен x = 1: правата минава през върха (1; 2).
При кои стойности на m уравнението x2 − 6x + 5 = m има две различни решения?
- m < −4
- m > −4
- m > 5
- m = −4
Отговор: m > −4
Най-малката стойност на лявата страна е −4 (при x = 3). Правата y = m пресича параболата в две точки при m > −4.
Колко общи точки имат графиките на y = x2 − 4 и y = −x2 + 4x + 2?
- 1
- 0
- 2
- 4
Отговор: 2
2x2 − 4x − 6 = 0, x2 − 2x − 3 = 0, x = −1 и x = 3.
Колко общи точки имат графиките на y = 2x + 1 и y = 2x − 5?
- 1
- 2
- 0
- безброй много
Отговор: 0
Правите имат равни ъглови коефициенти и различни свободни членове, т.е. са успоредни.
В коя точка се пресичат графиките на y = x + 2 и y = −x + 4?
- (1; 3)
- (3; 1)
- (2; 4)
- (−1; 1)
Отговор: (1; 3)
x + 2 = −x + 4, x = 1, y = 3.
Колко общи точки имат графиките на y = x2 и y = 2x − 1?
- 0
- 2
- 3
- 1
Отговор: 1
x2 − 2x + 1 = 0, (x − 1)2 = 0, x = 1: правата се допира до параболата.
При коя стойност на m правата y = m има точно една обща точка с параболата y = −x2 + 4x?
- m = 2
- m = 4
- m = 0
- m = −4
Отговор: m = 4
Върхът на параболата е (2; 4), затова хоризонталната права я допира при m = 4.
При кои стойности на m уравнението −x2 + 2x = m няма решение?
- m < 1
- m ≥ 1
- m > 0
- m > 1
Отговор: m > 1
Най-голямата стойност на −x2 + 2x е 1 (при x = 1), затова при m > 1 правата y = m е над параболата.
Как се намират графично решенията на уравнението f(x) = g(x)?
- абсцисите на общите точки
- ординатите на общите точки
- върховете на графиките
- пресечните точки с Oy
Отговор: абсцисите на общите точки
Решенията са стойностите на x, при които графиките имат обща точка.
Графиките на y = x2 и y = −1 нямат обща точка. Какво следва за уравнението x2 = −1?
- едно решение
- две решения
- няма решение
- безброй решения
Отговор: няма решение
Без общи точки на графиките уравнението няма реални решения.
Параболата y = f(x) има връх (2; −1) и клони нагоре. Колко решения има уравнението f(x) = 0?
- няма решение
- едно решение
- две решения
- три решения
Отговор: две решения
Върхът е под оста Ox, а клоните са нагоре, затова параболата пресича Ox в две точки.
Кои са абсцисите на общите точки на графиките на y = x2 − 1 и y = x + 1?
- x = 1 и x = −2
- x = 1 и x = 2
- x = −1 и x = −2
- x = −1 и x = 2
Отговор: x = −1 и x = 2
x2 − 1 = x + 1 дава x2 − x − 2 = 0, т.е. x = −1 и x = 2.
При кои стойности на m правата y = m пресича параболата y = x2 − 2x − 3 в две точки с абсциси с различни знаци?
- m > −4
- m > −3
- m < −3
- m > 0
Отговор: m > −3
Параболата пресича Oy в (0; −3). Права y = m над тази точка пресича двата клона от двете страни на Oy, т.е. m > −3.