Растене и намаляване, най-малка и най-голяма стойност на квадратна функция
Квадратната функция се мени по различен начин от двете страни на върха. При a > 0 тя намалява до върха и расте след него, а най-малката ѝ стойност е ординатата на върха. При a < 0 расте до върха, намалява след него и има най-голяма стойност във върха. Ако разглеждаме функцията в затворен интервал, който не съдържа върха, най-малката и най-голямата стойност са в краищата му.
Какво да запомним
- a > 0: намалява при x ≤ x0, расте при x ≥ x0; най-малка стойност y0.
- a 0, намалява при x ≥ x0; най-голяма стойност y0.
- В интервал без върха екстремумите са в краищата.
- Множеството от стойности при a > 0 е [y0; +∞).
Пример
y = x2 − 8x + 10: x0 = 4, най-малката стойност е 16 − 32 + 10 = −6.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Колко е най-малката стойност на функцията y = x2 − 8x + 10?
- 4
- −6
- 10
- 6
Отговор: −6
Достига се във върха, при x = 4: 16 − 32 + 10 = −6.
В кой интервал функцията y = −x2 + 4x + 1 е намаляваща?
- (−∞; 2]
- [−2; +∞)
- [2; +∞)
- (−∞; −2]
Отговор: [2; +∞)
a 0 = 2: вдясно от върха функцията намалява.
Колко е най-голямата стойност на функцията y = −2x2 + 12x − 7?
- 3
- −7
- 29
- 11
Отговор: 11
Във върха x = 3: −18 + 36 − 7 = 11.
Колко е най-малката стойност на y = x2 − 4x + 3 в интервала [3; 5]?
- 0
- −1
- 3
- 8
Отговор: 0
Върхът x = 2 е извън интервала, а в [3; 5] функцията расте. Най-малка е f(3) = 0.
Сборът на две числа е 14. Колко е най-голямото възможно тяхно произведение?
- 48
- 49
- 40
- 196
Отговор: 49
P = x(14 − x) е квадратна функция с връх при x = 7: 7 · 7 = 49.
Колко е най-малката стойност на функцията y = x2 + 5?
- 0
- −5
- 1
- 5
Отговор: 5
x2 ≥ 0, затова y ≥ 5, като y = 5 при x = 0.
В кой интервал е растяща функцията y = (x + 3)2?
- [3; +∞)
- [−3; +∞)
- (−∞; −3]
- (−∞; 3]
Отговор: [−3; +∞)
Върхът е (−3; 0), клоновете са нагоре, затова функцията расте вдясно от −3.
При коя стойност на x функцията y = −x2 + 10x − 21 приема най-голяма стойност?
- x = −5
- x = 10
- x = 4
- x = 5
Отговор: x = 5
x = −b/(2a) = −10/(−2) = 5.
Колко е най-голямата стойност на функцията y = −x2 + 2x + 3 в интервала [2; 4]?
- 3
- 4
- −5
- 0
Отговор: 3
Върхът е при x = 1, вън от интервала, и в [2; 4] функцията намалява. Най-голямата стойност е y(2) = 3.
С 40 m мрежа се огражда правоъгълен парцел до стена, като страната до стената не се огражда. Колко е най-голямото възможно лице?
- 100 m2
- 400 m2
- 200 m2
- 150 m2
Отговор: 200 m2
Ако страните, перпендикулярни на стената, са x, лицето е x(40 − 2x). Най-голямо е при x = 10: 10 · 20 = 200 m2.
Кое е множеството от стойности на функцията f(x) = x2 − 4x + 7?
- [7; +∞)
- (−∞; 3]
- [3; +∞)
- [2; +∞)
Отговор: [3; +∞)
f(x) = (x − 2)2 + 3 ≥ 3, а стойността 3 се достига при x = 2.
Какво има функцията y = ax2 + bx + c, a > 0, във върха на параболата?
- най-малка стойност
- най-голяма стойност
- нула
- прекъсване
Отговор: най-малка стойност
При a > 0 клоните са нагоре и във върха функцията приема най-малката си стойност.
В кой интервал намалява функцията y = x2 − 6x?
- [3; +∞)
- (−∞; −3]
- (−∞; 3]
- [−3; +∞)
Отговор: (−∞; 3]
x0 = 3 и a > 0, затова функцията намалява до върха, при x ≤ 3.
Колко е най-голямата стойност на функцията y = −x2 + 6x?
- 3
- 6
- 18
- 9
Отговор: 9
x0 = 3, y0 = −9 + 18 = 9.
Колко е най-голямата стойност на функцията y = x2 − 2x в интервала [−1; 4]?
- 3
- 8
- −1
- 0
Отговор: 8
Върхът x0 = 1 дава най-малката стойност. В краищата: f(−1) = 3, f(4) = 8, най-голямата е 8.