Моделиране със системи уравнения от втора степен
Задачи за лица и периметри, за правоъгълни триъгълници, за числа и за съвместна работа често водят до система, в която поне едно уравнение е от втора степен. Съставяме двете уравнения по условието, решаваме системата и отхвърляме решенията без смисъл, например отрицателни дължини. Питагоровата теорема и формулите S = ab и P = 2(a + b) се срещат най-често.
Какво да запомним
- Правоъгълник: S = ab, P = 2(a + b), диагонал d2 = a2 + b2.
- Правоъгълен триъгълник: a2 + b2 = c2.
- Сбор и произведение на две числа водят до t2 − st + p = 0.
- Проверяваме смисъла на решенията в задачата.
Пример
Правоъгълник с лице 48 cm2 и периметър 28 cm: a + b = 14, ab = 48, затова страните са 6 cm и 8 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Сборът на две числа е 12, а произведението им е 35. Кое е по-голямото число?
- 7
- 5
- 6
- 10
Отговор: 7
t2 − 12t + 35 = 0, t = 5 и t = 7.
Правоъгълник има лице 48 cm2 и периметър 28 cm. Колко е по-дългата му страна?
- 6 cm
- 8 cm
- 12 cm
- 16 cm
Отговор: 8 cm
a + b = 14, ab = 48: страните са 6 cm и 8 cm.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 13 cm, а сборът на катетите е 17 cm. Колко е по-малкият катет?
- 12 cm
- 4 cm
- 5 cm
- 8 cm
Отговор: 5 cm
a + b = 17, a2 + b2 = 169: ab = (289 − 169) : 2 = 60, катетите са 5 cm и 12 cm.
Разликата на две положителни числа е 3, а сборът на квадратите им е 65. Кое е по-малкото число?
- 7
- 5
- 8
- 4
Отговор: 4
x = y + 3: 2y2 + 6y − 56 = 0, y2 + 3y − 28 = 0, y = 4.
Двама работници заедно свършват една работа за 6 дни. Единият сам би я свършил с 5 дни по-бързо от другия. За колко дни би я свършил по-бързият?
- 10
- 15
- 5
- 12
Отговор: 10
1/x + 1/(x + 5) = 1/6 води до x2 − 7x − 30 = 0, x = 10.
Произведението на две последователни естествени числа е 56. Кое е по-малкото число?
- 8
- 6
- 7
- 14
Отговор: 7
x(x + 1) = 56, x2 + x − 56 = 0, x = 7 (отрицателният корен −8 не е естествено число).
Лицето на правоъгълник е 60 cm2, а едната му страна е със 7 cm по-дълга от другата. Колко е по-късата страна?
- 5 cm
- 12 cm
- 6 cm
- 4 cm
Отговор: 5 cm
x(x + 7) = 60, x2 + 7x − 60 = 0, x = 5 cm.
Сборът на две числа е 10, а сборът на квадратите им е 58. Кои са числата?
- 4 и 6
- 2 и 8
- 5 и 5
- 3 и 7
Отговор: 3 и 7
2xy = 100 − 58 = 42, xy = 21; числата със сбор 10 и произведение 21 са 3 и 7.
Диагоналът на правоъгълник е 10 cm, а лицето му е 48 cm2. Колко е периметърът му?
- 14 cm
- 28 cm
- 24 cm
- 34 cm
Отговор: 28 cm
a2 + b2 = 100 и ab = 48, (a + b)2 = 100 + 96 = 196, a + b = 14, P = 28 cm.
Влак трябва да измине 120 km. Ако скоростта му е с 10 km/h по-голяма, ще пристигне 1 h по-рано. Колко е скоростта му?
- 40 km/h
- 20 km/h
- 24 km/h
- 30 km/h
Отговор: 30 km/h
120/v − 120/(v + 10) = 1, v2 + 10v − 1200 = 0, v = 30 km/h.
Правоъгълник има страни a и b и лице 24 cm2. Кое уравнение е вярно?
- a + b = 24
- 2(a + b) = 24
- ab = 24
- a2 + b2 = 24
Отговор: ab = 24
Лицето на правоъгълник е произведението на страните му: S = ab.
Катетите на правоъгълен триъгълник се отнасят 3 : 4, а хипотенузата е 20 cm. Колко е по-малкият катет?
- 16 cm
- 12 cm
- 15 cm
- 9 cm
Отговор: 12 cm
Катетите са 3k и 4k, хипотенузата 5k = 20, k = 4. По-малкият катет е 12 cm.
Произведението на две положителни числа е 24, а разликата им е 5. Кое е по-голямото число?
- 6
- 12
- 8
- 3
Отговор: 8
x = y + 5 и y(y + 5) = 24, y2 + 5y − 24 = 0, y = 3, x = 8.
Периметърът на правоъгълен триъгълник е 24 cm, а хипотенузата му е 10 cm. Колко е лицето му?
- 48 cm2
- 30 cm2
- 20 cm2
- 24 cm2
Отговор: 24 cm2
a + b = 14, a2 + b2 = 100. Тогава 2ab = 196 − 100 = 96, ab = 48 и S = ab/2 = 24 cm2.
Правоъгълен парцел има лице 600 m2. Ако дължината се намали с 10 m, а ширината се увеличи с 5 m, лицето не се променя. Колко е дължината?
- 40 m
- 30 m
- 50 m
- 60 m
Отговор: 40 m
ab = 600 и (a − 10)(b + 5) = 600 дават a = 2b + 10. Тогава b2 + 5b − 300 = 0, b = 15 и a = 40 m.