Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Ирационални изрази и уравнения“ и изберете игра или режим „У дома“.

Математика · 10 клас · урок 6 от 7

Ирационални уравнения, решавани чрез полагане

Някои ирационални уравнения се решават чрез полагане: повтарящ се израз с корен се заменя с нова променлива. Така уравнението става квадратно спрямо новата променлива. Важно е да се запише условието за новата променлива, например √x = t ≥ 0, и да се отхвърлят неподходящите стойности.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

При x + √x − 6 = 0 полагаме √x = t, t ≥ 0, и x = t².
Получаваме t² + t − 6 = 0, откъдето t = 2 (t = −3 се отхвърля).
Връщаме се към x: √x = 2 ⇒ x = 4.
Полагане може да се направи и за цял израз, например t = √(x² + 3).

Пример

x − 3√x + 2 = 0, √x = t ≥ 0: t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2, откъдето x = 1 или x = 4.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Кое полагане е подходящо за уравнението x + √x − 6 = 0?
- √x = t
- x² = t
- x − 6 = t
- 1/x = t
Отговор: √x = t
Тогава x = t² и се получава квадратното уравнение t² + t − 6 = 0.
Решете уравнението x + √x − 6 = 0.
- x = 9
- x = 4
- x = 4 и x = 9
- x = 2
Отговор: x = 4
С √x = t ≥ 0: t² + t − 6 = 0, t = 2 или t = −3 (отхвърля се). Значи √x = 2, x = 4.
Решете уравнението x − 3√x + 2 = 0.
- x = 1
- x = 4
- x = 1 и x = 4
- x = 1 и x = 2
Отговор: x = 1 и x = 4
С √x = t: t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2, откъдето x = 1 или x = 4.
Решете уравнението x² + √(x² + 3) = 9.
- x = √6
- x = ±3
- x = ±√13
- x = ±√6
Отговор: x = ±√6
С t = √(x² + 3) ≥ 0: t² + t − 12 = 0, t = 3 (t = −4 се отхвърля). Тогава x² + 3 = 9, x = ±√6.
Какво уравнение се получава от x − 4√x + 3 = 0 с полагането t = √x?
- t² − 4t + 3 = 0
- t − 4t + 3 = 0
- t² + 4t + 3 = 0
- t² − 4t² + 3 = 0
Отговор: t² − 4t + 3 = 0
Щом t = √x, то x = t².
Решете уравнението √x + 6/√x = 5.
- x = 2 и x = 3
- x = 4
- x = 4 и x = 9
- x = 9
Отговор: x = 4 и x = 9
С t = √x > 0: t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или 3, x = 4 или 9.
Решете уравнението 2x + √(2x + 3) = 3.
- x = 3
- x = 1/2 и x = 3
- x = 1/2
- x = −1/2
Отговор: x = 1/2
С t = √(2x + 3) ≥ 0: t² + t − 6 = 0, t = 2, 2x + 3 = 4, x = 1/2.
Какво условие поставяме за t при полагането √x = t?
- t > 1
- t ≤ 0
- t ≠ 0
- t ≥ 0
Отговор: t ≥ 0
Квадратният корен е неотрицателен, затова t ≥ 0.
След полагане √x = t получаваме t = 3. На колко е равно x?
- 3
- 9
- √3
- 6
Отговор: 9
x = t² = 9.
След полагане √x = t уравнението x − 5√x + 4 = 0 дава t = 1 и t = 4. Намерете x.
- x = 1 и x = 4
- x = 1 и x = 16
- x = 1 и x = 2
- x = 16
Отговор: x = 1 и x = 16
x = t²: при t = 1 x = 1, при t = 4 x = 16.
Решете уравнението (x + 1) − 5√(x + 1) + 6 = 0.
- x = 2 и x = 3
- x = 4 и x = 9
- x = 8
- x = 3 и x = 8
Отговор: x = 3 и x = 8
Полагаме t = √(x + 1) ≥ 0: t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или t = 3, откъдето x + 1 = 4 или 9.
Решете уравнението x² − 3x + √(x² − 3x + 5) = 7.
- x = −1 и x = 4
- x = 1 и x = −4
- x = 4
- x = −1
Отговор: x = −1 и x = 4
t = √(x² − 3x + 5) ≥ 0: t² + t − 12 = 0, t = 3. Тогава x² − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1.
Колко решения има уравнението x + √x + 2 = 0?
- едно
- две
- няма решения
- четири
Отговор: няма решения
При √x = t ≥ 0 получаваме t² + t + 2 = 0, което няма реални корени. Освен това лявата страна е винаги положителна.
Решете уравнението √((x + 2)/x) + √(x/(x + 2)) = 5/2.
- x = 2/3
- x = 2 и x = 1/2
- x = 2/3 и x = −8/3
- x = −8/3
Отговор: x = 2/3 и x = −8/3
Полагаме t = √((x + 2)/x) > 0: t + 1/t = 5/2, t = 2 или t = 1/2. От (x + 2)/x = 4 следва x = 2/3, от (x + 2)/x = 1/4 следва x = −8/3.
Решете уравнението x² + 3x − √(x² + 3x) = 2.
- x = 1 и x = −4
- x = −1 и x = 4
- x = 1
- x = 2
Отговор: x = 1 и x = −4
t = √(x² + 3x) ≥ 0: t² − t − 2 = 0, t = 2 (t = −1 се отхвърля). x² + 3x − 4 = 0, x = 1 или x = −4.