Основни тригонометрични тъждества
Основните тригонометрични тъждества свързват sin, cos, tg и cotg на един и същи ъгъл. С тях, ако знаем една от функциите и вида на ъгъла (остър или тъп), можем да намерим останалите. Тъждествата се използват и за опростяване на изрази. Знакът на косинуса и тангенса се определя от това дали ъгълът е остър или тъп.
Какво да запомним
- sin2 α + cos2 α = 1.
- tg α = sin α/cos α, cotg α = cos α/sin α.
- tg α·cotg α = 1.
- 1 + tg2 α = 1/cos2 α.
Пример
Ако sin α = 1/3 и α е остър, то cos α = √(1 − 1/9) = 2√2/3.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Пресметнете sin2 37° + cos2 37°.
- 1
- 0
- 2
- sin 74°
Отговор: 1
Основното тъждество: sin2 α + cos2 α = 1 за всеки ъгъл.
sin α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете cos α.
- −2√2/3
- 2√2/3
- 2/3
- √8/9
Отговор: 2√2/3
cos2 α = 1 − 1/9 = 8/9, cos α > 0, cos α = √8/3 = 2√2/3.
Опростете (1 − cos2 α)/sin α при 0° < α < 180°.
- cos α
- 1
- sin α
- tg α
Отговор: sin α
1 − cos2 α = sin2 α, затова изразът е sin α.
tg α = 3/4 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.
- 4/5
- 3/4
- 3/7
- 3/5
Отговор: 3/5
Правоъгълен триъгълник с катети 3 и 4 има хипотенуза 5, затова sin α = 3/5.
Опростете sin(180° − α) − cos(180° − α)·tg α.
- 2sin α
- 0
- 2cos α
- sin α
Отговор: 2sin α
sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, затова изразът е sin α + cos α·tg α = 2sin α.
На колко е равно tg α·cotg α (0° < α < 180°, α ≠ 90°)?
- 1
- 0
- tg2 α
- −1
Отговор: 1
tg α·cotg α = (sin α/cos α)·(cos α/sin α) = 1.
Как се изразява tg α чрез sin α и cos α?
- cos α/sin α
- sin α·cos α
- 1/sin α
- sin α/cos α
Отговор: sin α/cos α
По определение tg α = sin α/cos α при cos α ≠ 0.
cos α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.
- 2√2
- √2/4
- 2√2/3
- 3
Отговор: 2√2
sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3, tg α = (2√2/3) : (1/3) = 2√2.
Пресметнете (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2.
- 1
- 0
- 2
- 4sin α·cos α
Отговор: 2
Удвоените произведения се унищожават и остава 2(sin2 α + cos2 α) = 2.
sin α + cos α = 7/5 и α е остър. Намерете sin α·cos α.
- 12/25
- 24/25
- 7/10
- 1/5
Отговор: 12/25
Повдигаме в квадрат: 1 + 2sin α·cos α = 49/25, sin α·cos α = 12/25.
На колко е равно 1 − sin2 α?
- cos α
- tg2 α
- 1
- cos2 α
Отговор: cos2 α
От sin2 α + cos2 α = 1 следва 1 − sin2 α = cos2 α.
cos α = −0,6 и 0° < α < 180°. Намерете sin α.
- 0,8
- −0,8
- 0,4
- 0,64
Отговор: 0,8
sin2 α = 1 − 0,36 = 0,64. В интервала синусът е положителен, sin α = 0,8.
tg α = −2 и α е тъп ъгъл. Намерете cos α.
- √5/5
- −2√5/5
- −√5/5
- −1/2
Отговор: −√5/5
1/cos2 α = 1 + tg2 α = 5, cos2 α = 1/5. За тъп ъгъл cos α = −1/√5 = −√5/5.
Опростете sin α·cotg α + cos α.
- cos α
- 1
- 2cos α
- sin α + cos α
Отговор: 2cos α
sin α·cotg α = sin α·cos α/sin α = cos α, общо 2cos α.
tg α = 2. Пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).
- 3
- 1/3
- −3
- 2
Отговор: 3
Делим числителя и знаменателя на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 3/1 = 3.