Формули за ъглополовящи на триъгълник
Ъглополовящата на триъгълник е отсечката, която разполовява ъгъла и стига до срещулежащата страна. Основното ѝ свойство е, че дели срещулежащата страна на части, пропорционални на прилежащите страни. Дължината ѝ се намира чрез две страни и ъгъла между тях или само чрез трите страни. Трите ъглополовящи се пресичат в центъра на вписаната окръжност.
Какво да запомним
- Ако CL е ъглополовяща, то AL : LB = AC : BC.
- lc = 2ab·cos(γ/2)/(a + b).
- lc2 = ab − AL·LB.
- Ъглополовящите се пресичат в центъра на вписаната окръжност.
Пример
При b = 6 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°: la = 2·6·3·cos 60°/(6 + 3) = 2 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
В ΔABC b = 6 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°. Намерете ъглополовящата la.
- 3 cm
- 4 cm
- 2 cm
- √3 cm
Отговор: 2 cm
la = 2bc·cos 60°/(b + c) = 2·18·(1/2)/9 = 2 cm.
В ΔABC ъглополовящата на ∠C пресича AB в точка L, AC = 6 cm и BC = 9 cm. Колко е AL : LB?
- 3 : 2
- 2 : 3
- 1 : 1
- 4 : 9
Отговор: 2 : 3
AL : LB = AC : BC = 6 : 9 = 2 : 3.
В ΔABC AB = 8 cm, AC = 4 cm и BC = 6 cm. Ъглополовящата на ∠C пресича AB в точка L. Намерете AL.
- 4 cm
- 4,8 cm
- 3,2 cm
- 2,4 cm
Отговор: 3,2 cm
AL : LB = 4 : 6, значи AL = 8·4/10 = 3,2 cm.
Коя формула дава ъглополовящата lc чрез страните a, b и ъгъла γ между тях?
- lc = ab·cos(γ/2)/(a + b)
- lc = 2ab·sin(γ/2)/(a + b)
- lc = 2ab·cos γ/(a + b)
- lc = 2ab·cos(γ/2)/(a + b)
Отговор: lc = 2ab·cos(γ/2)/(a + b)
Формулата се получава, като лицето на триъгълника се запише като сбор от лицата на двата триъгълника, на които го дели ъглополовящата.
В ΔABC b = 4 cm, c = 12 cm и ∠A = 60°. Намерете ъглополовящата la.
- 6 cm
- 2√3 cm
- 4√3 cm
- 3√3 cm
Отговор: 3√3 cm
la = 2·4·12·cos 30°/(4 + 12) = 96·(√3/2)/16 = 3√3 cm.
Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е център на коя окръжност?
- вписаната
- описаната
- единичната
- никоя
Отговор: вписаната
Тя е на равни разстояния от страните, затова е център на вписаната окръжност.
В равнобедрен ΔABC (AC = BC) каква е още ъглополовящата на ∠C?
- само медиана
- само височина
- медиана и височина
- средна отсечка
Отговор: медиана и височина
В равнобедрен триъгълник ъглополовящата към основата е и медиана, и височина.
Ъглополовящата на ∠A в ΔABC дели BC на BL = 3 cm и LC = 4 cm, а AB = 6 cm. Намерете AC.
- 4,5 cm
- 7 cm
- 8 cm
- 10 cm
Отговор: 8 cm
BL : LC = AB : AC, 3 : 4 = 6 : AC, AC = 8 cm.
В ΔABC a = b = 6 cm и γ = 120°. Намерете ъглополовящата lc.
- 3 cm
- 6 cm
- 3√3 cm
- 2 cm
Отговор: 3 cm
lc = 2·6·6·cos 60°/(6 + 6) = 36/12 = 3 cm.
В ΔABC ∠A = 80° и ∠B = 60°. Ъглополовящата на ∠C пресича AB в L. Намерете ∠ALC.
- 100°
- 70°
- 60°
- 80°
Отговор: 80°
∠C = 40°, ∠ACL = 20°. В ΔALC: ∠ALC = 180° − 80° − 20° = 80°.
Ъглополовящите на ∠A и ∠B на ΔABC се пресичат в точка I, а ∠C = 70°. Намерете ∠AIB.
- 110°
- 125°
- 145°
- 135°
Отговор: 125°
∠AIB = 180° − (∠A + ∠B)/2 = 180° − 55° = 125°, т.е. 90° + ∠C/2.
В ΔABC a = 6 cm, b = 3 cm, c = 6 cm, а CL е ъглополовяща. Намерете lc.
- 4 cm
- √10 cm
- √14 cm
- 3 cm
Отговор: √10 cm
AL : LB = b : a = 1 : 2, AL = 2, LB = 4. lc2 = ab − AL·LB = 18 − 8 = 10.
Правоъгълен ΔABC има катети 3 cm и 4 cm. Намерете ъглополовящата на правия ъгъл.
- 12/7 cm
- 5/2 cm
- 2√2 cm
- 12√2/7 cm
Отговор: 12√2/7 cm
l = 2·3·4·cos 45°/(3 + 4) = 24·(√2/2)/7 = 12√2/7 cm.
Ъглополовящата на ∠A дели BC на BL = 4 cm и LC = 6 cm, а периметърът на ΔABC е 35 cm. Намерете AB.
- 10 cm
- 15 cm
- 8 cm
- 12,5 cm
Отговор: 10 cm
AB + AC = 35 − 10 = 25 и AB : AC = 4 : 6 = 2 : 3, затова AB = 10 cm.
В ΔABC AC = 9 cm, BC = 18 cm, а ъглополовящата на ∠C е 6 cm. Намерете ∠C.
- 60°
- 90°
- 120°
- 150°
Отговор: 120°
lc = 2·9·18·cos(γ/2)/27 = 12cos(γ/2) = 6, cos(γ/2) = 1/2, γ/2 = 60°, γ = 120°.