Синусова теорема
Синусовата теорема гласи, че в триъгълник отношението на всяка страна към синуса на срещулежащия ѝ ъгъл е едно и също и е равно на диаметъра на описаната окръжност. Тя се използва, когато са дадени два ъгъла и страна или две страни и ъгъл срещу едната от тях. В последния случай може да има два, един или нито един триъгълник.
Какво да запомним
- a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R.
- R е радиусът на описаната окръжност.
- Срещу по-голямата страна лежи по-големият ъгъл.
- Отношението на страните е равно на отношението на синусите на срещулежащите ъгли.
Пример
Ако a = 4 cm, ∠A = 30° и ∠B = 45°, то b = a·sin 45°/sin 30° = 4√2 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
В ΔABC a/sin α = 10 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 10 cm
- 5 cm
- 20 cm
- 2,5 cm
Отговор: 5 cm
a/sin α = 2R = 10 cm, R = 5 cm.
В ΔABC a = 4 cm, ∠A = 30° и ∠B = 45°. Намерете b.
- 8 cm
- 2√2 cm
- 4√2 cm
- 4√3 cm
Отговор: 4√2 cm
b = a·sin β/sin α = 4·(√2/2)/(1/2) = 4√2 cm.
Радиусът на описаната около ΔABC окръжност е 6 cm, а ∠C = 60°. Намерете c.
- 6 cm
- 12 cm
- 3√3 cm
- 6√3 cm
Отговор: 6√3 cm
c = 2R·sin γ = 12·(√3/2) = 6√3 cm.
Ъглите на ΔABC се отнасят ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Намерете отношението a : c.
- 1 : 2
- 1 : 3
- 1 : √3
- √3 : 2
Отговор: 1 : 2
Ъглите са 30°, 60° и 90°. a : c = sin 30° : sin 90° = 1 : 2.
В ΔABC a = 6 cm, b = 6√3 cm и ∠A = 30°. Колко различни триъгълника отговарят на тези данни?
- 1
- 2
- 0
- 3
Отговор: 2
sin β = b·sin α/a = √3/2, β = 60° или β = 120°, и в двата случая α + β < 180°.
Какво лежи срещу по-голямата страна на триъгълник?
- по-малкият ъгъл
- прав ъгъл
- по-големият ъгъл
- ъгъл 60°
Отговор: по-големият ъгъл
От a/sin α = b/sin β следва, че срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.
В ΔABC sin α = 0,4, sin β = 0,6 и a = 6 cm. Намерете b.
- 4 cm
- 3,6 cm
- 9 cm
- 10 cm
Отговор: 9 cm
b = a·sin β/sin α = 6·0,6/0,4 = 9 cm.
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 12 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 12 cm
- 4√3 cm
- 3 cm
- 6 cm
Отговор: 6 cm
c = 2R·sin 90° = 2R, затова R = 6 cm.
В ΔABC ∠A = 45°, ∠C = 105° и a = 4 cm. Намерете b.
- 4√2 cm
- 2 cm
- 2√2 cm
- 2√6 cm
Отговор: 2√2 cm
∠B = 30°, b = a·sin 30°/sin 45° = 4·(1/2)/(√2/2) = 2√2 cm.
В ΔABC sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7. Колко градуса е най-големият ъгъл?
- 105°
- 120°
- 135°
- 150°
Отговор: 120°
Страните се отнасят 3 : 5 : 7. cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2, ∠C = 120°.
Как гласи синусовата теорема за ΔABC?
- a/sin α = b/sin β = c/sin γ = R
- a·sin α = b·sin β = c·sin γ
- a2 = b2 + c2
- a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
Отговор: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
Отношението на страна към синуса на срещулежащия ъгъл е равно на 2R.
В ΔABC c = 8 cm и ∠C = 150°. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 16 cm
- 8 cm
- 4 cm
- 8√3 cm
Отговор: 8 cm
2R = c/sin 150° = 8/(1/2) = 16, R = 8 cm.
Равнобедрен триъгълник има бедра 10 cm и ъгъл при върха 120°. Колко е радиусът на описаната окръжност?
- 5 cm
- 10 cm
- 20 cm
- 10√3 cm
Отговор: 10 cm
Ъглите при основата са 30°. Бедрото лежи срещу 30°: 2R = 10/(1/2) = 20, R = 10 cm.
В ΔABC a = 2 cm, b = 2√3 cm, ∠A = 30° и ∠B е тъп. Намерете ∠C.
- 90°
- 60°
- 120°
- 30°
Отговор: 30°
sin B = b·sin A/a = 2√3·(1/2)/2 = √3/2. Тъп ъгъл: ∠B = 120°, тогава ∠C = 180° − 30° − 120° = 30°.
Радиусът на описаната около ΔABC окръжност е 5 cm, а a = 5 cm. Колко може да е ∠A?
- 30° или 150°
- само 30°
- само 60°
- 60° или 120°
Отговор: 30° или 150°
sin A = a/(2R) = 5/10 = 1/2, затова ∠A = 30° или ∠A = 150°.