Решаване на триъгълник

Ъгли от 0° до 180°

1. На колко е равно cos 150°?

   • √3/2
   • −1/2
   • 1/2
   • −√3/2

   Отговор: −√3/2

   cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

2. На колко е равно sin 180°?

   • 0
   • 1
   • −1
   • 1/2

   Отговор: 0

   Крайната точка на ъгъл 180° от единичната окръжност е (−1; 0), затова sin 180° = 0.

3. На колко е равно sin 90°?

   • 0
   • 1
   • −1
   • 1/2

   Отговор: 1

   sin 90° = 1.

4. На колко е равно tg 135°?

   • −1
   • 1
   • −√3
   • 0

   Отговор: −1

   tg 135° = −tg 45° = −1.

5. За кой ъгъл α от интервала [0°; 180°] tg α не е дефиниран?

   • 90°
   • 0°
   • 180°
   • 45°

   Отговор: 90°

   tg α = sin α/cos α, а cos 90° = 0.

6. На колко е равно cos 120°?

   • 1/2
   • √3/2
   • −1/2
   • −√3/2

   Отговор: −1/2

   cos 120° = −cos 60° = −1/2.

7. Пресметнете cos 60° + sin 120°·tg 150°.

   • 1
   • 0
   • −1
   • 1/2

   Отговор: 0

   1/2 + (√3/2)·(−√3/3) = 1/2 − 1/2 = 0.

8. Кое равенство е вярно за всеки ъгъл α от 0° до 180°?

   • cos(180° − α) = cos α
   • tg(180° − α) = tg α
   • sin(180° − α) = −sin α
   • sin(180° − α) = sin α

   Отговор: sin(180° − α) = sin α

   Ъглите α и 180° − α имат равни синуси и противоположни косинуси.

9. Пресметнете sin 135° − cos 45°.

   • √2
   • 1
   • −√2
   • 0

   Отговор: 0

   sin 135° = sin 45° = √2/2 = cos 45°, разликата е 0.

10. За тъп ъгъл α е вярно, че sin α = 1/2. Намерете α.

    • 30°
    • 120°
    • 150°
    • 135°

    Отговор: 150°

    sin 150° = sin 30° = 1/2 и 150° е тъп ъгъл.

11. Пресметнете sin² 120° + cos² 135°.

    • 1
    • 5/4
    • 1/4
    • 3/2

    Отговор: 5/4

    sin² 120° = 3/4, cos² 135° = 1/2, сборът е 5/4.

12. За кои ъгли α от 0° до 180° е изпълнено cos α < 0?

    • 90° < α ≤ 180°
    • 0° ≤ α < 90°
    • само α = 180°
    • 0° < α < 180°

    Отговор: 90° < α ≤ 180°

    Косинусът е отрицателен за тъпите ъгли и за 180°.

13. sin α = 3/5 и α е тъп ъгъл. Намерете tg α.

    • 3/4
    • −4/3
    • 4/3
    • −3/4

    Отговор: −3/4

    cos α = −4/5 (тъп ъгъл), tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

14. cos α = −5/13 и 0° < α < 180°. Намерете tg α.

    • 12/5
    • −5/12
    • −12/13
    • −12/5

    Отговор: −12/5

    sin α = 12/13 (положителен), tg α = (12/13) : (−5/13) = −12/5.

15. Пресметнете cos 10° + cos 50° + cos 130° + cos 170°.

    • 2cos 10°
    • 0
    • 1
    • −1

    Отговор: 0

    cos 130° = −cos 50° и cos 170° = −cos 10°, затова сборът е 0.

Тригон. тъждества

1. Пресметнете sin² 37° + cos² 37°.

   • 1
   • 0
   • 2
   • sin 74°

   Отговор: 1

   Основното тъждество: sin² α + cos² α = 1 за всеки ъгъл.

2. На колко е равно tg α·cotg α (0° < α < 180°, α ≠ 90°)?

   • 1
   • 0
   • tg² α
   • −1

   Отговор: 1

   tg α·cotg α = (sin α/cos α)·(cos α/sin α) = 1.

3. Пресметнете 1 − sin² 60°.

   • 3/4
   • 1/4
   • 1/2
   • 0

   Отговор: 1/4

   1 − sin² 60° = cos² 60° = 1/4.

4. sin α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете cos α.

   • −2√2/3
   • 2√2/3
   • 2/3
   • √8/9

   Отговор: 2√2/3

   cos² α = 1 − 1/9 = 8/9, cos α > 0, cos α = √8/3 = 2√2/3.

5. Как се изразява tg α чрез sin α и cos α?

   • cos α/sin α
   • sin α·cos α
   • 1/sin α
   • sin α/cos α

   Отговор: sin α/cos α

   По определение tg α = sin α/cos α при cos α ≠ 0.

6. Пресметнете tg 20°·tg 70°.

   • √3
   • 0
   • 1
   • tg 50°

   Отговор: 1

   tg 70° = cotg 20°, а tg 20°·cotg 20° = 1.

7. Опростете (1 − cos² α)/sin α при 0° < α < 180°.

   • cos α
   • 1
   • sin α
   • tg α

   Отговор: sin α

   1 − cos² α = sin² α, затова изразът е sin α.

8. cos α = 1/3 и α е остър ъгъл. Намерете tg α.

   • 2√2
   • √2/4
   • 2√2/3
   • 3

   Отговор: 2√2

   sin α = √(1 − 1/9) = 2√2/3, tg α = (2√2/3) : (1/3) = 2√2.

9. На какво е равно 1 + tg² α (α ≠ 90°)?

   • 1/sin² α
   • cos² α
   • tg α
   • 1/cos² α

   Отговор: 1/cos² α

   1 + sin² α/cos² α = (cos² α + sin² α)/cos² α = 1/cos² α.

10. tg α = 3/4 и α е остър ъгъл. Намерете sin α.

    • 4/5
    • 3/4
    • 3/7
    • 3/5

    Отговор: 3/5

    Правоъгълен триъгълник с катети 3 и 4 има хипотенуза 5, затова sin α = 3/5.

11. Пресметнете (sin α + cos α)² + (sin α − cos α)².

    • 1
    • 0
    • 2
    • 4sin α·cos α

    Отговор: 2

    Удвоените произведения се унищожават и остава 2(sin² α + cos² α) = 2.

12. tg α = 2 и α е остър ъгъл. Пресметнете (sin α + cos α)/(sin α − cos α).

    • 3
    • 1/3
    • 2
    • −3

    Отговор: 3

    Делим числител и знаменател на cos α: (2 + 1)/(2 − 1) = 3.

13. Опростете sin(180° − α) − cos(180° − α)·tg α.

    • 2sin α
    • 0
    • 2cos α
    • sin α

    Отговор: 2sin α

    sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, затова изразът е sin α + cos α·tg α = 2sin α.

14. sin α + cos α = 7/5 и α е остър. Намерете sin α·cos α.

    • 12/25
    • 24/25
    • 7/10
    • 1/5

    Отговор: 12/25

    Повдигаме в квадрат: 1 + 2sin α·cos α = 49/25, sin α·cos α = 12/25.

15. sin α = 2cos α и α е остър ъгъл. Намерете sin α.

    • 2/3
    • 2√5/5
    • √5/5
    • √3/2

    Отговор: 2√5/5

    tg α = 2. От sin² α + cos² α = 1: 5cos² α = 1, cos α = √5/5, sin α = 2√5/5.

Синусова теорема

1. В ΔABC a/sin α = 10 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?

   • 10 cm
   • 5 cm
   • 20 cm
   • 2,5 cm

   Отговор: 5 cm

   a/sin α = 2R = 10 cm, R = 5 cm.

2. Какво лежи срещу по-голямата страна на триъгълник?

   • по-малкият ъгъл
   • прав ъгъл
   • по-големият ъгъл
   • ъгъл 60°

   Отговор: по-големият ъгъл

   От a/sin α = b/sin β следва, че срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

3. Как се нарича окръжността, която минава през трите върха на триъгълник?

   • вписана
   • описана
   • външновписана
   • единична

   Отговор: описана

   Окръжността през върховете е описаната окръжност.

4. В ΔABC a = 4 cm, ∠A = 30° и ∠B = 45°. Намерете b.

   • 8 cm
   • 2√2 cm
   • 4√2 cm
   • 4√3 cm

   Отговор: 4√2 cm

   b = a·sin β/sin α = 4·(√2/2)/(1/2) = 4√2 cm.

5. В ΔABC sin α = 0,4, sin β = 0,6 и a = 6 cm. Намерете b.

   • 4 cm
   • 3,6 cm
   • 9 cm
   • 10 cm

   Отговор: 9 cm

   b = a·sin β/sin α = 6·0,6/0,4 = 9 cm.

6. В ΔABC ∠A = 120° и a = 6√3 cm. Колко е радиусът R на описаната окръжност?

   • 3 cm
   • 6√3 cm
   • 6 cm
   • 12 cm

   Отговор: 6 cm

   2R = a/sin 120° = 6√3 : (√3/2) = 12, R = 6 cm.

7. Радиусът на описаната около ΔABC окръжност е 6 cm, а ∠C = 60°. Намерете c.

   • 6 cm
   • 12 cm
   • 3√3 cm
   • 6√3 cm

   Отговор: 6√3 cm

   c = 2R·sin γ = 12·(√3/2) = 6√3 cm.

8. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 12 cm. Колко е радиусът на описаната окръжност?

   • 12 cm
   • 4√3 cm
   • 3 cm
   • 6 cm

   Отговор: 6 cm

   c = 2R·sin 90° = 2R, затова R = 6 cm.

9. Колко е периметърът на равностранен триъгълник, вписан в окръжност с радиус 2 cm?

   • 6 cm
   • 12 cm
   • 3√3 cm
   • 6√3 cm

   Отговор: 6√3 cm

   a = 2R·sin 60° = 4·√3/2 = 2√3 cm, P = 6√3 cm.

10. Ъглите на ΔABC се отнасят ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Намерете отношението a : c.

    • 1 : 2
    • 1 : 3
    • 1 : √3
    • √3 : 2

    Отговор: 1 : 2

    Ъглите са 30°, 60° и 90°. a : c = sin 30° : sin 90° = 1 : 2.

11. В ΔABC ∠A = 45°, ∠C = 105° и a = 4 cm. Намерете b.

    • 4√2 cm
    • 2 cm
    • 2√2 cm
    • 2√6 cm

    Отговор: 2√2 cm

    ∠B = 30°, b = a·sin 30°/sin 45° = 4·(1/2)/(√2/2) = 2√2 cm.

12. В ΔABC ∠A = 45°, ∠B = 75° и AB = 6 cm. Колко е радиусът R на описаната окръжност?

    • 2√3 cm
    • 3√2 cm
    • 4√3 cm
    • 6 cm

    Отговор: 2√3 cm

    ∠C = 60°, 2R = c/sin 60° = 6 : (√3/2) = 4√3, R = 2√3 cm.

13. В ΔABC a = 6 cm, b = 6√3 cm и ∠A = 30°. Колко различни триъгълника отговарят на тези данни?

    • 1
    • 2
    • 0
    • 3

    Отговор: 2

    sin β = b·sin α/a = √3/2, β = 60° или β = 120°, и в двата случая α + β < 180°.

14. В ΔABC sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7. Колко градуса е най-големият ъгъл?

    • 105°
    • 120°
    • 135°
    • 150°

    Отговор: 120°

    Страните се отнасят 3 : 5 : 7. cos C = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2, ∠C = 120°.

15. В ΔABC a = 4 cm, b = 8 cm и ∠A = 30°. Какъв е триъгълникът?

    • тъпоъгълен
    • правоъгълен
    • не съществува
    • има два такива

    Отговор: правоъгълен

    sin β = b·sin α/a = 8·(1/2)/4 = 1, значи β = 90° и триъгълникът е единствен.

Косинусова теорема

1. В ΔABC b = 2 cm, c = 3 cm и ∠A = 60°. Намерете a.

   • √19 cm
   • 7 cm
   • √7 cm
   • √13 cm

   Отговор: √7 cm

   a² = 4 + 9 − 2·2·3·(1/2) = 7, a = √7 cm.

2. Как се записва косинусовата теорема за страната a?

   • a² = b² + c² + 2bc·cos α
   • a² = b² + c² − 2bc·cos α
   • a = b + c − 2bc·cos α
   • a² = b² + c² − bc·cos α

   Отговор: a² = b² + c² − 2bc·cos α

   Косинусовата теорема обобщава Питагоровата: при α = 90° се получава a² = b² + c².

3. Триъгълник има страни 3 cm, 4 cm и 5 cm. Колко е косинусът на ъгъла срещу страната 5 cm?

   • 1
   • 0
   • −1
   • 3/5

   Отговор: 0

   cos γ = (9 + 16 − 25)/(2·3·4) = 0, ъгълът е прав.

4. Страните на триъгълник са 3 cm, 5 cm и 7 cm. Колко градуса е най-големият му ъгъл?

   • 150°
   • 135°
   • 90°
   • 120°

   Отговор: 120°

   cos γ = (9 + 25 − 49)/30 = −1/2, γ = 120°.

5. В равнобедрения ΔABC AC = BC = 5 cm и ∠C = 120°. Намерете AB.

   • 5 cm
   • 10 cm
   • 5√2 cm
   • 5√3 cm

   Отговор: 5√3 cm

   AB² = 25 + 25 − 2·25·cos 120° = 75, AB = 5√3 cm.

6. Страните на триъгълник са 5 cm, 6 cm и 7 cm. Намерете косинуса на ъгъла срещу страната 6 cm.

   • 1/5
   • 1/2
   • 19/35
   • 5/7

   Отговор: 19/35

   cos β = (25 + 49 − 36)/(2·5·7) = 38/70 = 19/35.

7. Страните на триъгълник са 5 cm, 6 cm и 7 cm. Какъв е триъгълникът според ъглите си?

   • остроъгълен
   • правоъгълен
   • тъпоъгълен
   • не съществува

   Отговор: остроъгълен

   7² = 49 2 + 6² = 61, затова най-големият ъгъл е остър.

8. В ΔABC a² > b² + c². Какъв е ъгълът α?

   • тъп
   • остър
   • прав
   • равен на 60°

   Отговор: тъп

   От косинусовата теорема 2bc·cos α = b² + c² − a² < 0, затова cos α < 0.

9. Страните на триъгълник са 2 cm, 3 cm и 4 cm. Намерете косинуса на най-малкия му ъгъл.

   • 11/16
   • −1/4
   • 1/2
   • 7/8

   Отговор: 7/8

   Най-малкият ъгъл е срещу 2 cm: cos = (9 + 16 − 4)/(2·3·4) = 21/24 = 7/8.

10. В ΔABC b = 5 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°. Намерете a.

    • √19 cm
    • 7 cm
    • 8 cm
    • √34 cm

    Отговор: 7 cm

    a² = 25 + 9 − 2·5·3·(−1/2) = 49, a = 7 cm.

11. Успоредник има страни 5 cm и 8 cm и диагонал 7 cm. Колко градуса е острият му ъгъл?

    • 30°
    • 60°
    • 45°
    • 75°

    Отговор: 60°

    49 = 25 + 64 − 80·cos α, cos α = 1/2, α = 60°.

12. Диагоналите на успоредник са 6 cm и 8 cm, а едната му страна е 5 cm. Колко е другата страна?

    • 5 cm
    • 7 cm
    • √14 cm
    • 6 cm

    Отговор: 5 cm

    d₁² + d₂² = 2(a² + b²): 100 = 2(25 + b²), b = 5 cm.

13. Успоредник има страни 4 cm и 6 cm и ъгъл 60°. Намерете по-дългия му диагонал.

    • 2√7 cm
    • 10 cm
    • 2√19 cm
    • √52 cm

    Отговор: 2√19 cm

    Срещу тъпия ъгъл 120°: d² = 16 + 36 + 24 = 76, d = 2√19 cm.

14. В ΔABC a = 7 cm, b = 8 cm и ∠A = 60°. Намерете c.

    • 3 cm
    • 3 cm или 5 cm
    • 5 cm
    • √57 cm

    Отговор: 3 cm или 5 cm

    49 = 64 + c² − 8c, c² − 8c + 15 = 0, c = 3 или c = 5. И двата триъгълника съществуват.

15. В ΔABC a = 7 cm, b + c = 13 cm и ∠A = 60°. Намерете произведението bc.

    • 30
    • 40
    • 42
    • 120

    Отговор: 40

    a² = b² + c² − bc = (b + c)² − 3bc: 49 = 169 − 3bc, bc = 40.

Медиани и лице

1. Две страни на триъгълник са 6 cm и 10 cm, а ъгълът между тях е 150°. Намерете лицето му.

   • 30 cm²
   • 15√3 cm²
   • 60 cm²
   • 15 cm²

   Отговор: 15 cm²

   S = (1/2)·6·10·sin 150° = 30·(1/2) = 15 cm².

2. Коя е формулата за лице на триъгълник чрез две страни и ъгъла между тях?

   • S = ab·sin γ
   • S = ½ab·sin γ
   • S = ½ab·cos γ
   • S = ½(a + b)·sin γ

   Отговор: S = ½ab·sin γ

   Височината към a е b·sin γ, затова S = ½a·b·sin γ.

3. Колко е лицето на триъгълник със страна 10 cm и височина към нея 6 cm?

   • 60 cm²
   • 30 cm²
   • 16 cm²
   • 15 cm²

   Отговор: 30 cm²

   S = 10·6/2 = 30 cm².

4. Страните на триъгълник са 7 cm, 8 cm и 9 cm. Намерете лицето му.

   • 12√5 cm²
   • 24√5 cm²
   • 6√5 cm²
   • 12√6 cm²

   Отговор: 12√5 cm²

   p = 12, S = √(12·5·4·3) = √720 = 12√5 cm².

5. Колко е лицето на триъгълник със страни 6 cm, 8 cm и 10 cm?

   • 48 cm²
   • 30 cm²
   • 24 cm²
   • 40 cm²

   Отговор: 24 cm²

   6² + 8² = 10², триъгълникът е правоъгълен, S = 6·8/2 = 24 cm².

6. Как се записва Хероновата формула (p е полупериметърът)?

   • S = p(p − a)(p − b)(p − c)
   • S = ½abc
   • S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
   • S = √(abc/p)

   Отговор: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

   Лицето е корен квадратен от p(p − a)(p − b)(p − c).

7. Страните на ΔABC са a = 10 cm, b = 8 cm и c = 6 cm. Намерете медианата m_a.

   • 7 cm
   • 5 cm
   • √73 cm
   • 6 cm

   Отговор: 5 cm

   m_a² = (2·64 + 2·36 − 100)/4 = 25, m_a = 5 cm.

8. Колко е медианата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm?

   • 13 cm
   • 6 cm
   • 6,5 cm
   • 8,5 cm

   Отговор: 6,5 cm

   Хипотенузата е 13 cm, а медианата към нея е половината: 6,5 cm.

9. Страните на триъгълник са 5 cm, 5 cm и 8 cm. Колко е височината към страната 8 cm?

   • 4 cm
   • √41 cm
   • 6 cm
   • 3 cm

   Отговор: 3 cm

   Височината разполовява основата: √(25 − 16) = 3 cm.

10. В ΔABC b = 6 cm, c = 3 cm и ∠A = 120°. Намерете ъглополовящата l_a.

    • 3 cm
    • 4 cm
    • 2 cm
    • √3 cm

    Отговор: 2 cm

    l_a = 2bc·cos 60°/(b + c) = 2·18·(1/2)/9 = 2 cm.

11. Лицето на ΔABC е 12 cm², AB = 6 cm и AC = 8 cm. Колко градуса е острият ∠A?

    • 60°
    • 45°
    • 30°
    • 90°

    Отговор: 30°

    12 = ½·6·8·sin A, sin A = 1/2, острият ъгъл е 30°.

12. Лицето на триъгълник е 30 cm², а радиусът на вписаната окръжност е 3 cm. Колко е периметърът?

    • 20 cm
    • 10 cm
    • 90 cm
    • 60 cm

    Отговор: 20 cm

    S = p·r: 30 = 3p, p = 10 cm, периметърът е 2p = 20 cm.

13. Страните на триъгълник са 9 cm, 10 cm и 17 cm. Намерете височината към страната 9 cm.

    • 4 cm
    • 72/17 cm
    • 36/5 cm
    • 8 cm

    Отговор: 8 cm

    p = 18, S = √(18·9·8·1) = 36 cm², h = 2S/9 = 8 cm.

14. Страните на триъгълник са 4 cm, 13 cm и 15 cm. Колко е радиусът на вписаната окръжност?

    • 1,5 cm
    • 2 cm
    • 3 cm
    • 65/8 cm

    Отговор: 1,5 cm

    p = 16, S = √(16·12·3·1) = 24 cm², r = S/p = 1,5 cm.

15. В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) медианите към катетите са m_a = √73 cm и m_b = 2√13 cm. Колко е хипотенузата?

    • 12 cm
    • 10 cm
    • √125 cm
    • 8 cm

    Отговор: 10 cm

    m_a² + m_b² = 5(a² + b²)/4 = 125, c² = 100, c = 10 cm.

Финален въпрос