Елементи от стереометрията

Прави и равнини

1. Най-малко колко точки, нележащи на една права, определят равнина?

   • 3
   • 2
   • 4
   • 1

   Отговор: 3

   През три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.

2. Колко общи точки имат права и равнина, ако правата лежи в равнината?

   • 1
   • 0
   • безбройно много
   • 2

   Отговор: безбройно много

   Всяка точка на правата е и точка от равнината.

3. Колко равнини минават през права и точка, нележаща на нея?

   • безбройно много
   • 1
   • 2
   • 0

   Отговор: 1

   Права и точка извън нея определят точно една равнина.

4. Как се наричат две прави в пространството, които не лежат в една равнина?

   • успоредни
   • кръстосани
   • пресичащи се
   • перпендикулярни

   Отговор: кръстосани

   Кръстосаните прави нито се пресичат, нито са успоредни.

5. Как се наричат две равнини, които нямат обща точка?

   • успоредни
   • пресичащи се
   • перпендикулярни
   • съвпадащи

   Отговор: успоредни

   Две различни равнини или се пресичат по права, или са успоредни.

6. Как се наричат две прави, които лежат в една равнина и нямат обща точка?

   • кръстосани
   • пресичащи се
   • успоредни
   • перпендикулярни

   Отговор: успоредни

   Прави в една равнина без обща точка са успоредни.

7. Отсечка с дължина 10 cm сключва с равнина ъгъл 30°. Колко е дължината на ортогоналната ѝ проекция?

   • 5 cm
   • 10√3 cm
   • 5√3 cm
   • 5√2 cm

   Отговор: 5√3 cm

   Проекцията е 10·cos 30° = 5√3 cm.

8. Права е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнина α. Как е разположена спрямо α?

   • успоредна на α
   • лежи в α
   • перпендикулярна на α
   • сключва с α ъгъл 45°

   Отговор: перпендикулярна на α

   Това е признакът за перпендикулярност на права и равнина.

9. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ как са разположени правите AB и CC₁?

   • успоредни
   • пресичащи се
   • съвпадат
   • кръстосани

   Отговор: кръстосани

   Не лежат в една равнина и нямат обща точка, значи са кръстосани.

10. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ колко градуса е ъгълът между правата AB₁ и равнината (ABC)?

    • 90°
    • 60°
    • 30°
    • 45°

    Отговор: 45°

    Проекцията на AB₁ в (ABC) е AB, а ΔABB₁ е равнобедрен правоъгълен.

11. Отсечка с дължина 12 cm има ортогонална проекция 6 cm в равнина. Колко градуса е ъгълът между отсечката и равнината?

    • 60°
    • 30°
    • 45°
    • 90°

    Отговор: 60°

    cos φ = 6/12 = 1/2, φ = 60°.

12. Точка е на разстояние 6 cm от равнина. Наклонена от точката сключва с равнината ъгъл 30°. Колко е дължината на наклонената?

    • 12 cm
    • 6√3 cm
    • 3 cm
    • 6√2 cm

    Отговор: 12 cm

    Разстоянието е катет срещу 30°: l = 6 : sin 30° = 12 cm.

13. Точка M е на разстояние 12 cm от равнина α, а наклонената MA към α е 13 cm. Колко е проекцията на MA в α?

    • 5 cm
    • 1 cm
    • 25 cm
    • √313 cm

    Отговор: 5 cm

    По Питагорова теорема: √(169 − 144) = 5 cm.

14. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ колко градуса е ъгълът между кръстосаните прави AB₁ и BC₁?

    • 60°
    • 90°
    • 45°
    • 30°

    Отговор: 60°

    BC₁ ∥ AD₁, а ΔAB₁D₁ е равностранен (страните са диагонали на стени), затова ъгълът е 60°.

15. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ колко е тангенсът на ъгъла между диагонала AC₁ и равнината (ABC)?

    • 1
    • √2/2
    • √2
    • √3/3

    Отговор: √2/2

    Проекцията на AC₁ е AC = a√2, а CC₁ = a: tg = a/(a√2) = √2/2.

Права призма

1. Правоъгълен паралелепипед има измерения 2 cm, 3 cm и 4 cm. Колко е обемът му?

   • 9 cm³
   • 24 cm³
   • 26 cm³
   • 52 cm³

   Отговор: 24 cm³

   V = 2·3·4 = 24 cm³.

2. Колко стени има правоъгълният паралелепипед?

   • 8
   • 6
   • 12
   • 4

   Отговор: 6

   Има 2 основи и 4 околни стени.

3. Колко върха има триъгълната призма?

   • 5
   • 9
   • 6
   • 8

   Отговор: 6

   Всяка от двете основи има 3 върха: общо 6.

4. Куб има ръб 5 cm. Колко е пълната му повърхнина?

   • 125 cm²
   • 100 cm²
   • 150 cm²
   • 25 cm²

   Отговор: 150 cm²

   S = 6·5² = 150 cm².

5. Права призма има лице на основата 15 cm² и височина 4 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 20 cm³
   • 19 cm³
   • 30 cm³
   • 60 cm³

   Отговор: 60 cm³

   V = B·h = 15·4 = 60 cm³.

6. Куб има ръб 4 cm. Колко е диагоналът на стената му?

   • 4√3 cm
   • 8 cm
   • 16 cm
   • 4√2 cm

   Отговор: 4√2 cm

   Стената е квадрат, диагоналът е a√2 = 4√2 cm.

7. Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm, а височината е 10 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

   • 60 cm²
   • 132 cm²
   • 70 cm²
   • 120 cm²

   Отговор: 120 cm²

   Хипотенузата е 5 cm, периметърът 12 cm, S₁ = 12·10 = 120 cm².

8. Правоъгълен паралелепипед има измерения 2 cm, 3 cm и 6 cm. Колко е диагоналът му?

   • 7 cm
   • 11 cm
   • √13 cm
   • 6 cm

   Отговор: 7 cm

   d = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7 cm.

9. Правилна четириъгълна призма има основен ръб 3 cm и височина 7 cm. Колко е пълната ѝ повърхнина?

   • 102 cm²
   • 84 cm²
   • 63 cm²
   • 93 cm²

   Отговор: 102 cm²

   2·9 + 4·3·7 = 18 + 84 = 102 cm².

10. Диагоналът на куб е 6√3 cm. Колко е обемът на куба?

    • 216 cm³
    • 108 cm³
    • 72√3 cm³
    • 54√3 cm³

    Отговор: 216 cm³

    d = a√3, a = 6 cm, V = 216 cm³.

11. Правилна триъгълна призма има основен ръб 4 cm и височина 6 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 48√3 cm³
    • 72 cm³
    • 24√3 cm³
    • 8√3 cm³

    Отговор: 24√3 cm³

    B = 16√3/4 = 4√3 cm², V = 4√3·6 = 24√3 cm³.

12. Правоъгълен паралелепипед има основа 4 cm на 5 cm и обем 120 cm³. Колко е пълната му повърхнина?

    • 120 cm²
    • 148 cm²
    • 74 cm²
    • 108 cm²

    Отговор: 148 cm²

    h = 120 : 20 = 6 cm, S = 2(20 + 24 + 30) = 148 cm².

13. Правилна шестоъгълна призма има основен ръб 2 cm и височина 5 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 10√3 cm³
    • 30√3 cm³
    • 60 cm³
    • 15√3 cm³

    Отговор: 30√3 cm³

    B = 6·(√3/4)·4 = 6√3 cm², V = 6√3·5 = 30√3 cm³.

14. Правилна четириъгълна призма има диагонал 9 cm и основен ръб 4 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 144 cm³
    • 128 cm³
    • 112 cm³
    • 63 cm³

    Отговор: 112 cm³

    Диагоналът на основата е 4√2, h² = 81 − 32 = 49, h = 7 cm, V = 16·7 = 112 cm³.

15. Права призма има за основа ромб със страна 5 cm и диагонал 6 cm, а височината ѝ е 10 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 300 cm³
    • 480 cm³
    • 240 cm³
    • 200 cm³

    Отговор: 240 cm³

    Другият диагонал е 2√(25 − 9) = 8 cm, B = 6·8/2 = 24, V = 240 cm³.

Пирамида

1. Пирамида има лице на основата 12 cm² и височина 5 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 60 cm³
   • 30 cm³
   • 20 cm³
   • 17 cm³

   Отговор: 20 cm³

   V = (1/3)·12·5 = 20 cm³.

2. Колко ръба има четириъгълната пирамида?

   • 5
   • 8
   • 6
   • 12

   Отговор: 8

   4 основни и 4 околни ръба.

3. Колко стени има триъгълната пирамида?

   • 3
   • 5
   • 6
   • 4

   Отговор: 4

   Основа и 3 околни стени: общо 4.

4. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 10 cm и апотема 12 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

   • 120 cm²
   • 340 cm²
   • 480 cm²
   • 240 cm²

   Отговор: 240 cm²

   S₁ = 4·(1/2)·10·12 = 240 cm².

5. Колко пъти обемът на призма е по-голям от обема на пирамида със същата основа и височина?

   • 3
   • 2
   • 4
   • 1,5

   Отговор: 3

   V_призма = B·h, V_{пирамида} = B·h/3.

6. Пирамида има обем 40 cm³ и височина 6 cm. Колко е лицето на основата ѝ?

   • 20 cm²
   • 8 cm²
   • 240 cm²
   • 10 cm²

   Отговор: 20 cm²

   V = ⅓·B·h: 40 = 2B, B = 20 cm².

7. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 8 cm и апотема 5 cm. Колко е височината ѝ?

   • 3 cm
   • √41 cm
   • 4 cm
   • √89 cm

   Отговор: 3 cm

   h = √(5² − 4²) = 3 cm.

8. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 144 cm³
   • 48 cm³
   • 72 cm³
   • 24 cm³

   Отговор: 48 cm³

   V = 36·4/3 = 48 cm³.

9. Правилна триъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 2 cm. Колко е обемът ѝ?

   • 18√3 cm³
   • 6√3 cm³
   • 12√3 cm³
   • 9√3 cm³

   Отговор: 6√3 cm³

   B = 36√3/4 = 9√3, V = ⅓·9√3·2 = 6√3 cm³.

10. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6√2 cm и околен ръб 10 cm. Колко е обемът ѝ?

    • 576 cm³
    • 192 cm³
    • 96 cm³
    • 240 cm³

    Отговор: 192 cm³

    Диагоналът на основата е 12 cm, h = √(100 − 36) = 8 cm, V = (1/3)·72·8 = 192 cm³.

11. Правилна триъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и апотема 4 cm. Колко е околната ѝ повърхнина?

    • 72 cm²
    • 24 cm²
    • 36 cm²
    • 48 cm²

    Отговор: 36 cm²

    Три околни стени по 6·4/2 = 12 cm², общо 36 cm².

12. Правилна четириъгълна пирамида има всички ръбове по 6 cm. Колко е пълната ѝ повърхнина?

    • 36√3 cm²
    • (36 + 9√3) cm²
    • (36 + 36√3) cm²
    • 72 cm²

    Отговор: (36 + 36√3) cm²

    Основата е 36, околните стени са 4 равностранни триъгълника по 9√3: общо 36 + 36√3.

13. Правилен тетраедър има ръб 6 cm. Колко е обемът му?

    • 36√2 cm³
    • 9√3 cm³
    • 18√2 cm³
    • 54√2 cm³

    Отговор: 18√2 cm³

    h = 6·√6/3 = 2√6 cm, B = 9√3 cm², V = (1/3)·9√3·2√6 = 18√2 cm³.

14. Правилна четириъгълна пирамида има всички ръбове по 4 cm. Колко е височината ѝ?

    • 2√3 cm
    • 2√2 cm
    • 2 cm
    • 4 cm

    Отговор: 2√2 cm

    Половината диагонал на основата е 2√2, h² = 16 − 8 = 8, h = 2√2 cm.

15. Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm, а околните стени сключват с основата ъгъл 60°. Колко е обемът ѝ?

    • 108 cm³
    • 12√3 cm³
    • 108√3 cm³
    • 36√3 cm³

    Отговор: 36√3 cm³

    h = 3·tg 60° = 3√3 cm, V = ⅓·36·3√3 = 36√3 cm³.

Цилиндър и конус

1. Цилиндър има радиус 2 cm и височина 5 cm. Колко е околната му повърхнина?

   • 10π cm²
   • 28π cm²
   • 20 cm²
   • 20π cm²

   Отговор: 20π cm²

   S₁ = 2πrh = 2π·2·5 = 20π cm².

2. Каква фигура е осното сечение на прав кръгов конус?

   • правоъгълник
   • кръг
   • трапец
   • равнобедрен триъгълник

   Отговор: равнобедрен триъгълник

   Сечението минава през върха и диаметъра на основата; бедрата са образувателни.

3. Колко основи има цилиндърът?

   • 1
   • 2
   • 3
   • 0

   Отговор: 2

   Цилиндърът има две основи, равни кръгове.

4. Конус има радиус 6 cm и височина 8 cm. Колко е околната му повърхнина?

   • 60π cm²
   • 48π cm²
   • 96π cm²
   • 30π cm²

   Отговор: 60π cm²

   l = √(36 + 64) = 10 cm, S₁ = πrl = 60π cm².

5. Цилиндър има радиус 5 cm и височина 2 cm. Колко е обемът му?

   • 20π cm³
   • 100π cm³
   • 10π cm³
   • 50π cm³

   Отговор: 50π cm³

   V = πr²h = π·25·2 = 50π cm³.

6. Конус има лице на основата 16π cm² и височина 3 cm. Колко е обемът му?

   • 48π cm³
   • 12π cm³
   • 16π cm³
   • 8π cm³

   Отговор: 16π cm³

   V = ⅓·16π·3 = 16π cm³.

7. Конус има радиус 3 cm и височина 7 cm. Колко е обемът му?

   • 63π cm³
   • 21π cm³
   • 7π cm³
   • 42π cm³

   Отговор: 21π cm³

   V = (1/3)π·9·7 = 21π cm³.

8. Конус има образувателна 10 cm и радиус 6 cm. Колко е височината му?

   • 4 cm
   • 2√34 cm
   • 8 cm
   • 16 cm

   Отговор: 8 cm

   h = √(10² − 6²) = 8 cm.

9. Цилиндър има радиус 2 cm и височина 3 cm. Колко е пълната му повърхнина?

   • 12π cm²
   • 16π cm²
   • 24π cm²
   • 20π cm²

   Отговор: 20π cm²

   2πrh + 2πr² = 12π + 8π = 20π cm².

10. Осното сечение на цилиндър е квадрат със страна 8 cm. Колко е обемът на цилиндъра?

    • 512π cm³
    • 64π cm³
    • 128π cm³
    • 256π cm³

    Отговор: 128π cm³

    r = 4 cm, h = 8 cm, V = π·16·8 = 128π cm³.

11. Осното сечение на конус е равностранен триъгълник със страна 6 cm. Колко е околната повърхнина?

    • 36π cm²
    • 9π cm²
    • 18π cm²
    • 27π cm²

    Отговор: 18π cm²

    r = 3 cm, l = 6 cm, S = πrl = 18π cm².

12. Правоъгълник със страни 3 cm и 5 cm се върти около по-дългата си страна. Колко е околната повърхнина на полученото тяло?

    • 30π cm²
    • 15π cm²
    • 45π cm²
    • 48π cm²

    Отговор: 30π cm²

    Получава се цилиндър с r = 3 cm и h = 5 cm: S = 2π·3·5 = 30π cm².

13. Развивката на околната повърхнина на конус е полукръг с радиус 10 cm. Колко е радиусът на основата на конуса?

    • 10 cm
    • 2,5 cm
    • 5π cm
    • 5 cm

    Отговор: 5 cm

    Дъгата на полукръга е 10π cm и е равна на 2πr, затова r = 5 cm.

14. Правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm се върти около катета 4 cm. Колко е обемът на тялото?

    • 12π cm³
    • 16π cm³
    • 36π cm³
    • 48π cm³

    Отговор: 12π cm³

    Получава се конус с r = 3 cm и h = 4 cm: V = π·9·4/3 = 12π cm³.

15. Конус има височина 12 cm и обем 100π cm³. Колко е околната му повърхнина?

    • 60π cm²
    • 65π cm²
    • 90π cm²
    • 25π cm²

    Отговор: 65π cm²

    ⅓·πr²·12 = 100π, r = 5 cm, l = √(25 + 144) = 13 cm, S = π·5·13 = 65π cm².

Сфера и кълбо

1. Сфера има радиус 5 cm. Колко е лицето ѝ?

   • 100π cm²
   • 25π cm²
   • 20π cm²
   • 50π cm²

   Отговор: 100π cm²

   S = 4πR² = 100π cm².

2. Как се нарича отсечката, която свързва центъра на сферата с точка от нея?

   • диаметър
   • хорда
   • образувателна
   • радиус

   Отговор: радиус

   Всички точки на сферата са на разстояние радиуса от центъра.

3. Как се нарича отсечка, която свързва две точки от сферата и минава през центъра?

   • хорда
   • радиус
   • диаметър
   • допирателна

   Отговор: диаметър

   Хорда през центъра е диаметър.

4. Кълбо има радиус 6 cm. Колко е обемът му?

   • 864π cm³
   • 288π cm³
   • 144π cm³
   • 48π cm³

   Отговор: 288π cm³

   V = (4/3)π·216 = 288π cm³.

5. Кълбо има диаметър 6 cm. Колко е обемът му?

   • 288π cm³
   • 12π cm³
   • 9π cm³
   • 36π cm³

   Отговор: 36π cm³

   r = 3 cm, V = 4π·27/3 = 36π cm³.

6. Сфера има радиус 4 cm. Колко е лицето на голям кръг на сферата?

   • 64π cm²
   • 8π cm²
   • 4π cm²
   • 16π cm²

   Отговор: 16π cm²

   Големият кръг има радиуса на сферата: π·4² = 16π cm².

7. Сфера с радиус 13 cm е пресечена с равнина на разстояние 5 cm от центъра. Колко е радиусът на сечението?

   • 8 cm
   • √194 cm
   • 12 cm
   • 18 cm

   Отговор: 12 cm

   r = √(169 − 25) = 12 cm.

8. Кълбо с радиус 10 cm е пресечено с равнина, а сечението има радиус 6 cm. На какво разстояние от центъра е равнината?

   • 4 cm
   • 6 cm
   • 2√34 cm
   • 8 cm

   Отговор: 8 cm

   d = √(10² − 6²) = 8 cm.

9. Кълбо е вписано в куб с ръб 6 cm. Колко е обемът на кълбото?

   • 36π cm³
   • 288π cm³
   • 27π cm³
   • 108π cm³

   Отговор: 36π cm³

   Радиусът е половината от ръба, 3 cm: V = 4/3·π·27 = 36π cm³.

10. Лицето на голям кръг на кълбо е 9π cm². Колко е лицето на сферата?

    • 9π cm²
    • 12π cm²
    • 27π cm²
    • 36π cm²

    Отговор: 36π cm²

    πR² = 9π, R = 3 cm, S = 4π·9 = 36π cm².

11. Лицето на сфера е 100π cm². Колко е обемът на кълбото?

    • 100π cm³
    • 500π/3 cm³
    • 125π cm³
    • 500π cm³

    Отговор: 500π/3 cm³

    4πr² = 100π, r = 5 cm, V = 4π·125/3 = 500π/3 cm³.

12. Обемът на кълбо е 972π cm³. Колко е радиусът му?

    • 27 cm
    • 9 cm
    • 8 cm
    • 12 cm

    Отговор: 9 cm

    4/3·πr³ = 972π, r³ = 729, r = 9 cm.

13. Радиусът на кълбо се увеличава 2 пъти. Колко пъти се увеличава обемът му?

    • 8
    • 2
    • 4
    • 6

    Отговор: 8

    Обемът е пропорционален на R³, а 2³ = 8.

14. Сфера е описана около куб с ръб 2 cm. Колко е лицето ѝ?

    • 4π cm²
    • 12π cm²
    • 8π cm²
    • 6π cm²

    Отговор: 12π cm²

    Диаметърът е диагоналът на куба 2√3 cm, r = √3 cm, S = 4π·3 = 12π cm².

15. Кълбо с радиус 6 cm е претопено в конус с радиус на основата 6 cm. Колко е височината на конуса?

    • 8 cm
    • 12 cm
    • 24 cm
    • 32 cm

    Отговор: 24 cm

    Обемът на кълбото е 288π, а ⅓·36π·h = 288π дава h = 24 cm.

Финален въпрос