Ортогонално проектиране. Ъгъл между права и равнина

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

1. Отсечка с дължина 10 cm сключва с равнина ъгъл 30°. Колко е дължината на ортогоналната ѝ проекция?

   • 5 cm
   • 10√3 cm
   • 5√3 cm
   • 5√2 cm

   Отговор: 5√3 cm

   Проекцията е 10·cos 30° = 5√3 cm.

2. В куба ABCDA₁B₁C₁D₁ колко градуса е ъгълът между правата AB₁ и равнината (ABC)?

   • 90°
   • 60°
   • 30°
   • 45°

   Отговор: 45°

   Проекцията на AB₁ в (ABC) е AB, а ΔABB₁ е равнобедрен правоъгълен.

3. Точка M е на разстояние 12 cm от равнина α, а наклонената MA към α е 13 cm. Колко е проекцията на MA в α?

   • 5 cm
   • 1 cm
   • 25 cm
   • √313 cm

   Отговор: 5 cm

   По Питагорова теорема: √(169 − 144) = 5 cm.

4. Отсечка с дължина 12 cm има ортогонална проекция 6 cm в равнина. Колко градуса е ъгълът между отсечката и равнината?

   • 60°
   • 30°
   • 45°
   • 90°

   Отговор: 60°

   cos φ = 6/12 = 1/2, φ = 60°.

5. Точка M е на разстояние 6 cm от равнина α, а наклонената MA сключва с α ъгъл 30°. Колко е MA?

   • 6√3 cm
   • 12 cm
   • 3 cm
   • 6√2 cm

   Отговор: 12 cm

   Разстоянието е MA·sin 30°, значи MA = 6 : 0,5 = 12 cm.

6. Какво е ортогоналната проекция на точка върху равнина?

   • петата на перпендикуляра
   • средата на наклонената
   • центърът на равнината
   • всяка точка от равнината

   Отговор: петата на перпендикуляра

   Проекцията на точката е петата на перпендикуляра от нея към равнината.

7. Каква е ортогоналната проекция на права, перпендикулярна на равнината?

   • права
   • точка
   • лъч
   • отсечка

   Отговор: точка

   Всички точки на перпендикуляра се проектират в петата му.

8. Кое е по-късо: перпендикулярът или наклонена от същата точка към равнината?

   • наклонената
   • равни са
   • перпендикулярът
   • зависи от ъгъла

   Отговор: перпендикулярът

   Перпендикулярът е катет, а наклонената е хипотенуза в правоъгълен триъгълник.

9. Отсечка с дължина 7 cm е успоредна на равнина. Колко е дължината на проекцията ѝ?

   • 0 cm
   • 3,5 cm
   • 14 cm
   • 7 cm

   Отговор: 7 cm

   Отсечка, успоредна на равнината, се проектира в равна на нея отсечка.

10. Каква фигура образуват перпендикулярът, наклонената и проекцията ѝ?

    • правоъгълен триъгълник
    • равностранен триъгълник
    • квадрат
    • тъпоъгълен триъгълник

    Отговор: правоъгълен триъгълник

    Перпендикулярът е перпендикулярен на проекцията, затова триъгълникът е правоъгълен.

11. Наклонена с дължина 8 cm сключва с равнина ъгъл 45°. Колко е проекцията ѝ?

    • 4 cm
    • 4√2 cm
    • 8√2 cm
    • 4√3 cm

    Отговор: 4√2 cm

    Проекцията е 8·cos 45° = 8·√2/2 = 4√2 cm.

12. Точка е на разстояние 4 cm от равнина, а наклонената от нея сключва с равнината ъгъл 60°. Колко е проекцията?

    • 4√3 cm
    • 2 cm
    • 4√3/3 cm
    • 8 cm

    Отговор: 4√3/3 cm

    Проекцията е 4/tg 60° = 4/√3 = 4√3/3 cm.

13. Кубът ABCDA₁B₁C₁D₁ има ръб a. Колко е тангенсът на ъгъла между BD₁ и равнината (ABC)?

    • 1
    • √3
    • √3/3
    • √2/2

    Отговор: √2/2

    Проекцията на BD₁ е BD = a√2, а DD₁ = a, значи tg φ = a/(a√2) = √2/2.

14. От точка към равнина са спуснати наклонени 10 cm и 17 cm, а проекциите им се отнасят 2 : 5. Колко е разстоянието до равнината?

    • 8 cm
    • 6 cm
    • 15 cm
    • 9 cm

    Отговор: 8 cm

    100 − 4k² = 289 − 25k², k = 3, проекции 6 и 15 cm, d = √(100 − 36) = 8 cm.

15. Две наклонени по 10 cm сключват с равнина ъгли 30°, а проекциите им са перпендикулярни. Колко е разстоянието между петите им?

    • 10 cm
    • 5√6 cm
    • 5√3 cm
    • 10√2 cm

    Отговор: 5√6 cm

    Проекциите са по 10·cos 30° = 5√3 cm, а разстоянието е 5√3·√2 = 5√6 cm.