Взаимно положение на две равнини
Две равнини в пространството или са успоредни (нямат обща точка), или се пресичат по права, или съвпадат. Ъгълът между две пресичащи се равнини се измерва с линеен ъгъл: в двете равнини построяваме перпендикуляри към пресечницата от една и съща точка. Ако този ъгъл е 90°, равнините са перпендикулярни.
Какво да запомним
- Две различни равнини с обща точка се пресичат по права.
- Признак за успоредност: две пресичащи се прави от едната равнина са успоредни на другата.
- Признак за перпендикулярност: едната равнина съдържа права, перпендикулярна на другата.
- Ъгъл между равнини: линейният ъгъл на двустенния ъгъл.
Пример
Срещуположните стени на куб са успоредни равнини, а съседните стени са перпендикулярни.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
Как се наричат две равнини, които нямат обща точка?
- успоредни
- пресичащи се
- перпендикулярни
- съвпадащи
Отговор: успоредни
Две различни равнини или се пресичат по права, или са успоредни.
Каква е пресечницата на две пресичащи се равнини?
- точка
- права
- отсечка
- две прави
Отговор: права
Две пресичащи се равнини имат обща права.
Права лежи в равнина α и е перпендикулярна на равнина β. Как са разположени α и β?
- успоредни
- съвпадат
- перпендикулярни
- кръстосани
Отговор: перпендикулярни
Ако едната равнина съдържа права, перпендикулярна на другата, равнините са перпендикулярни.
В куба ABCDA1B1C1D1 как са разположени равнините (ABC) и (A1B1C1)?
- успоредни
- перпендикулярни
- пресичат се под ъгъл 45°
- съвпадат
Отговор: успоредни
Долната и горната основа на куба нямат обща точка, значи са успоредни.
В куба ABCDA1B1C1D1 колко градуса е ъгълът между равнините (ABC) и (ABC1)?
- 30°
- 60°
- 90°
- 45°
Отговор: 45°
Пресечницата е AB. CB ⊥ AB и C1B ⊥ AB, затова търсеният ъгъл е ∠CBC1 = 45°.
Колко общи точки имат две успоредни равнини?
- 1
- 2
- 0
- безброй
Отговор: 0
Успоредните равнини нямат обща точка.
Колко двойки успоредни стени има кубът?
- 2
- 4
- 6
- 3
Отговор: 3
Шестте стени на куба образуват 3 двойки срещуположни, успоредни стени.
С кой ъгъл се измерва ъгълът между две пресичащи се равнини?
- линейния ъгъл
- ъгъла между нормалите им
- ъгъла при върха
- централния ъгъл
Отговор: линейния ъгъл
Ъгълът между равнини е линейният ъгъл на двустенния ъгъл.
Две пресичащи се прави от равнина α са успоредни на равнина β. Как са разположени α и β?
- α ⟂ β
- α ∥ β
- пресичат се под 45°
- съвпадат винаги
Отговор: α ∥ β
Това е признакът за успоредност на две равнини.
Колко равнини, успоредни на дадена равнина, минават през точка извън нея?
- две
- безброй
- само една
- нито една
Отговор: само една
През точка извън равнина минава единствена равнина, успоредна на нея.
В куба ABCDA1B1C1D1 колко градуса е ъгълът между равнините (ABC) и (BCC1)?
- 45°
- 60°
- 0°
- 90°
Отговор: 90°
Съседните стени на куба са перпендикулярни.
Равнините α и β са перпендикулярни. Права a лежи в α и е перпендикулярна на пресечницата им. Как е a спрямо β?
- a ⟂ β
- a ∥ β
- a лежи в β
- a сключва 45° с β
Отговор: a ⟂ β
Права в едната от две перпендикулярни равнини, перпендикулярна на пресечницата, е перпендикулярна на другата.
ABCD е квадрат със страна 6 cm, MD ⟂ (ABC) и MD = 6√3 cm. Колко градуса е ъгълът между (ABM) и (ABC)?
- 30°
- 60°
- 45°
- 90°
Отговор: 60°
AD ⟂ AB и MA ⟂ AB, линейният ъгъл е ∠MAD, tg ∠MAD = 6√3/6 = √3.
Равнините α и β сключват ъгъл 60°. Точка M от α е на 6 cm от пресечницата. Колко е разстоянието от M до β?
- 3 cm
- 6√3 cm
- 3√3 cm
- 2√3 cm
Отговор: 3√3 cm
Разстоянието е 6·sin 60° = 6·√3/2 = 3√3 cm.
Триъгълник с лице 20 cm2 лежи в равнина, която сключва ъгъл 60° с равнина α. Колко е лицето на проекцията му върху α?
- 20 cm2
- 10√3 cm2
- 40 cm2
- 10 cm2
Отговор: 10 cm2
Лицето на проекцията е S·cos φ = 20·1/2 = 10 cm2.