Прогресии

Числови редици

1. Редицата е зададена с a_n = 2n + 1. Намерете a₅.

   • 10
   • 11
   • 13
   • 9

   Отговор: 11

   a₅ = 2·5 + 1 = 11.

2. Кой е първият член на редицата a_n = 5 − 2n?

   • 5
   • −2
   • 1
   • 3

   Отговор: 3

   a₁ = 5 − 2 = 3.

3. Кое е следващото число в редицата 1, 4, 9, 16, ...?

   • 20
   • 25
   • 24
   • 32

   Отговор: 25

   Това са квадратите на естествените числа: 5² = 25.

4. Редицата е зададена с a_n = n² − 3n. Намерете a₄.

   • 28
   • −4
   • 4
   • 1

   Отговор: 4

   a₄ = 16 − 12 = 4.

5. Каква е редицата a_n = 7 − 3n по монотонност?

   • растяща
   • постоянна
   • намаляваща
   • нито растяща, нито намаляваща

   Отговор: намаляваща

   a_n+1 − a_n = −3 < 0, значи всеки член е по-малък от предишния.

6. Редицата е зададена с a_n = (−1)ⁿ·n. Намерете a₃.

   • 3
   • −1
   • −3
   • 1

   Отговор: −3

   a₃ = (−1)³·3 = −3.

7. Редицата е зададена с a_n = (n + 1)/n. Кой пореден член е равен на 6/5?

   • 6
   • 4
   • 10
   • 5

   Отговор: 5

   (n + 1)/n = 6/5, 5n + 5 = 6n, n = 5.

8. Дадени са a₁ = 1, a₂ = 1 и a_n+2 = a_n+1 + a_n. Намерете a₆.

   • 5
   • 13
   • 6
   • 8

   Отговор: 8

   Членовете са 1, 1, 2, 3, 5, 8.

9. Коя формула задава редицата 2, 4, 6, 8, ...?

   • a_n = n + 2
   • a_n = 2ⁿ
   • a_n = n²
   • a_n = 2n

   Отговор: a_n = 2n

   Членовете са четните числа: n-тият е 2n.

10. Дадени са a₁ = 2 и a_n+1 = 2a_n − 1. Намерете a₄.

    • 9
    • 7
    • 17
    • 5

    Отговор: 9

    a₂ = 3, a₃ = 5, a₄ = 9.

11. Кой е най-малкият член на редицата a_n = n² − 8n + 20?

    • 4
    • 20
    • 13
    • 5

    Отговор: 4

    a_n = (n − 4)² + 4, най-малко при n = 4: a₄ = 4.

12. Дадени са a₁ = 3 и a_n+1 = a_n + 2n. Намерете a₄.

    • 15
    • 9
    • 11
    • 21

    Отговор: 15

    a₂ = 3 + 2 = 5, a₃ = 5 + 4 = 9, a₄ = 9 + 6 = 15.

13. Колко отрицателни члена има редицата a_n = n² − 10n + 21?

    • 5
    • 3
    • 4
    • 2

    Отговор: 3

    n² − 10n + 21 < 0 при 3 < n < 7, т.е. n = 4, 5, 6.

14. Колко члена на редицата a_n = (2n + 9)/n са цели числа?

    • 2
    • 4
    • безбройно много
    • 3

    Отговор: 3

    a_n = 2 + 9/n е цяло, когато n дели 9: n = 1, 3, 9.

15. Колко члена на редицата a_n = 50 − 3n са положителни?

    • 16
    • 17
    • 15
    • 50

    Отговор: 16

    50 − 3n > 0 при n < 16,67, т.е. n = 1, 2, ..., 16.

Аритм. прогресия

1. Колко е разликата на аритметичната прогресия 5, 9, 13, ...?

   • 5
   • −4
   • 4
   • 9

   Отговор: 4

   d = 9 − 5 = 4.

2. Коя от редиците е аритметична прогресия?

   • 1, 4, 7, 10
   • 1, 2, 4, 8
   • 1, 4, 9, 16
   • 2, 3, 5, 8

   Отговор: 1, 4, 7, 10

   В 1, 4, 7, 10 разликата между съседни членове е все 3.

3. Каква е аритметична прогресия с разлика d = −2?

   • растяща
   • намаляваща
   • постоянна
   • не може да се каже

   Отговор: намаляваща

   При d < 0 всеки член е по-малък от предишния.

4. В аритметична прогресия a₁ = 20 и d = −3. Намерете a₈.

   • 2
   • 41
   • −4
   • −1

   Отговор: −1

   a₈ = 20 + 7·(−3) = −1.

5. Числата 8, x, 20 (в този ред) образуват аритметична прогресия. Намерете x.

   • 12
   • 28
   • 14
   • 16

   Отговор: 14

   Средният член е средно аритметично на съседните: (8 + 20)/2 = 14.

6. Кой е общият член на аритметичната прогресия 3, 8, 13, ...?

   • a_n = 3n + 5
   • a_n = 5n + 3
   • a_n = 5n − 2
   • a_n = 8n − 5

   Отговор: a_n = 5n − 2

   a_n = 3 + 5(n − 1) = 5n − 2.

7. В аритметична прогресия a₄ + a₆ = 18. Намерете a₅.

   • 9
   • 18
   • 6
   • 12

   Отговор: 9

   a₅ е средно аритметично на съседните си членове: a₅ = 18/2 = 9.

8. В аритметична прогресия a₁ = −7 и d = 2. Кой е първият ѝ положителен член?

   • a₅ = 1
   • a₄ = 1
   • a₆ = 3
   • a₅ = 3

   Отговор: a₅ = 1

   Членовете са −7, −5, −3, −1, 1, ...

9. Между 2 и 22 са вмъкнати 4 числа така, че всички 6 образуват аритметична прогресия. Колко е разликата?

   • 5
   • 10
   • 3
   • 4

   Отговор: 4

   22 = 2 + 5d, d = 4. Прогресията е 2, 6, 10, 14, 18, 22.

10. В аритметична прогресия a₂ = 7 и a₅ = 16. Намерете a₁₀.

    • 34
    • 31
    • 28
    • 40

    Отговор: 31

    3d = 16 − 7 = 9, d = 3, a₁ = 4, a₁₀ = 4 + 9·3 = 31.

11. Ъглите на триъгълник образуват аритметична прогресия. Колко градуса е средният ъгъл?

    • 90°
    • 60°
    • 45°
    • 30°

    Отговор: 60°

    Ако ъглите са x − d, x, x + d, то 3x = 180°, x = 60°.

12. В аритметична прогресия a₂ + a₈ = 20 и a₃ = 4. Намерете d.

    • 3
    • 2
    • 6
    • 4

    Отговор: 3

    a₅ = (a₂ + a₈)/2 = 10, а a₅ − a₃ = 2d = 6, d = 3.

13. Кой пореден член на аритметичната прогресия 3, 7, 11, ... е числото 99?

    • 24
    • 26
    • 25
    • 33

    Отговор: 25

    3 + (n − 1)·4 = 99, n − 1 = 24, n = 25.

14. В аритметична прогресия a₃ = 8 и a₁·a₅ = 28. Намерете d.

    • d = 3 или d = −3
    • d = 3
    • d = 9
    • d = −3

    Отговор: d = 3 или d = −3

    (8 − 2d)(8 + 2d) = 64 − 4d² = 28, d² = 9.

15. Страните на правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика 2. Колко е хипотенузата?

    • 5
    • 10
    • 8
    • 12

    Отговор: 10

    x² + (x + 2)² = (x + 4)² дава x² − 4x − 12 = 0, x = 6. Страните са 6, 8, 10.

Сбор на аритм. прогр.

1. В аритметична прогресия a₁ = 1 и a₁₀ = 19. Намерете S₁₀.

   • 200
   • 190
   • 95
   • 100

   Отговор: 100

   S₁₀ = 10·(1 + 19)/2 = 100.

2. Колко е сборът на първите 100 естествени числа?

   • 5000
   • 5050
   • 10100
   • 4950

   Отговор: 5050

   S = 100·(1 + 100)/2 = 5050.

3. Пресметнете сбора 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

   • 20
   • 24
   • 25
   • 30

   Отговор: 25

   5 члена: 5·(1 + 9)/2 = 25.

4. Пресметнете сбора 2 + 4 + 6 + ... + 40.

   • 420
   • 400
   • 440
   • 210

   Отговор: 420

   Събираемите са 20: S = 20·(2 + 40)/2 = 420.

5. В аритметична прогресия S₅ = 40. Намерете a₃.

   • 10
   • 8
   • 5
   • 4

   Отговор: 8

   S₅ = 5(a₁ + a₅)/2 = 5a₃, a₃ = 8.

6. На колко е равен сборът на първите n нечетни числа 1 + 3 + ... + (2n − 1)?

   • 2n
   • n²
   • n(n + 1)
   • 2n − 1

   Отговор: n²

   S_n = n·(1 + 2n − 1)/2 = n².

7. В аритметична прогресия a₁ = 5 и d = 3. Намерете S₈.

   • 112
   • 124
   • 136
   • 62

   Отговор: 124

   a₈ = 5 + 21 = 26, S₈ = 8·(5 + 26)/2 = 124.

8. Пресметнете сбора 10 + 7 + 4 + ... + (−20).

   • −50
   • −110
   • −60
   • −55

   Отговор: −55

   d = −3, членовете са 11, S = 11·(10 − 20)/2 = −55.

9. В аритметична прогресия a₃ + a₈ = 16. Намерете S₁₀.

   • 160
   • 96
   • 88
   • 80

   Отговор: 80

   a₁ + a₁₀ = a₃ + a₈ = 16, S₁₀ = 10·16/2 = 80.

10. Колко първи члена на прогресията 2, 5, 8, ... трябва да съберем, за да получим 155?

    • 11
    • 9
    • 10
    • 12

    Отговор: 10

    S_n = n(3n + 1)/2 = 155, 3n² + n − 310 = 0, n = 10.

11. Намерете разликата на аритметична прогресия с a₁ = 3 и S₆ = 63.

    • 2
    • 4
    • 3
    • 5

    Отговор: 3

    S₆ = 6(2·3 + 5d)/2 = 18 + 15d = 63, d = 3.

12. Колко е сборът на всички трицифрени числа?

    • 494 550
    • 495 000
    • 494 100
    • 989 100

    Отговор: 494 550

    Те са 900 на брой: 900·(100 + 999)/2 = 494 550.

13. Колко е сборът на всички двуцифрени числа, които се делят на 7?

    • 735
    • 686
    • 784
    • 728

    Отговор: 728

    Това са 14, 21, ..., 98, т.е. 13 числа. S = 13·(14 + 98)/2 = 728.

14. Сборът на първите n члена на редица е S_n = n² + 2n. Намерете a₁₀.

    • 120
    • 21
    • 19
    • 23

    Отговор: 21

    a₁₀ = S₁₀ − S₉ = 120 − 99 = 21.

15. Колко е най-големият възможен сбор на първите n члена на прогресията 25, 22, 19, ...?

    • 126
    • 117
    • 108
    • 120

    Отговор: 117

    Положителни са членовете до a₉ = 1, а a₁₀ = −2. Най-голям е S₉ = 9·(25 + 1)/2 = 117.

Геом. прогресия

1. Колко е частното на геометричната прогресия 2, 6, 18, ...?

   • 3
   • 4
   • 1/3
   • 12

   Отговор: 3

   q = 6 : 2 = 3.

2. Коя от редиците е геометрична прогресия?

   • 3, 6, 9, 12
   • 3, 6, 12, 24
   • 3, 5, 7, 9
   • 3, 9, 18, 27

   Отговор: 3, 6, 12, 24

   В 3, 6, 12, 24 всеки член е 2 пъти по-голям от предишния.

3. Числата 2, 4 и x (в този ред) образуват геометрична прогресия. Намерете x.

   • 6
   • 8
   • 16
   • 10

   Отговор: 8

   q = 2, x = 4·2 = 8.

4. В геометрична прогресия b₁ = 81 и q = 1/3. Намерете b₅.

   • 3
   • 1
   • 1/3
   • 27

   Отговор: 1

   b₅ = 81·(1/3)⁴ = 81/81 = 1.

5. В геометрична прогресия b₁ = 5 и q = −2. Намерете b₃.

   • −20
   • 20
   • −10
   • 10

   Отговор: 20

   b₃ = 5·(−2)² = 20.

6. Каква е геометрична прогресия с b₁ = 3 и q = −2?

   • растяща
   • намаляваща
   • нито растяща, нито намаляваща
   • постоянна

   Отговор: нито растяща, нито намаляваща

   Членовете 3, −6, 12, −24, ... сменят знака си.

7. Геометрична прогресия има положителни членове, b₃ = 12 и b₅ = 48. Намерете b₄.

   • 30
   • 36
   • 24
   • −24

   Отговор: 24

   b₄² = b₃·b₅ = 576 и b₄ > 0, затова b₄ = 24.

8. Геометрична прогресия има b₁ = 2 и b₄ = 54. Намерете q.

   • 9
   • 27
   • 3
   • 13

   Отговор: 3

   q³ = 54/2 = 27, q = 3.

9. Числата 2, x и 18 (в този ред) образуват геометрична прогресия. Намерете x.

   • 6
   • −6
   • 10
   • 6 или −6

   Отговор: 6 или −6

   x² = 2·18 = 36, x = ±6 (q = 3 или q = −3).

10. Намерете сбора на първите 6 члена на геометричната прогресия 1, 2, 4, ...

    • 64
    • 32
    • 127
    • 63

    Отговор: 63

    S₆ = (2⁶ − 1)/(2 − 1) = 63.

11. Колко члена на прогресията 3, 6, 12, ... трябва да съберем, за да получим 189?

    • 6
    • 5
    • 7
    • 63

    Отговор: 6

    S_n = 3(2ⁿ − 1) = 189, 2ⁿ = 64, n = 6.

12. Намерете сбора на първите 4 члена на геометричната прогресия 27, 9, 3, ...

    • 40
    • 39
    • 121/3
    • 36

    Отговор: 40

    27 + 9 + 3 + 1 = 40.

13. В геометрична прогресия b₁ = 3 и q = −2. Намерете S₅.

    • 33
    • −33
    • 93
    • 11

    Отговор: 33

    S₅ = 3·((−2)⁵ − 1)/(−2 − 1) = 3·(−33)/(−3) = 33.

14. В геометрична прогресия b₁ + b₂ = 6 и b₂ + b₃ = 12. Намерете b₁.

    • 3
    • 4
    • 1
    • 2

    Отговор: 2

    Второто равенство е първото, умножено по q, затова q = 2, а 3b₁ = 6.

15. В геометрична прогресия b₁·b₅ = 36. Намерете b₂·b₄.

    • 6
    • 36
    • 18
    • 72

    Отговор: 36

    b₁·b₅ = b₂·b₄ = b₃², значи произведението е 36.

Проста и сложна лихва

1. Вложени са 400 евро при 5% годишна проста лихва. Каква е лихвата след 1 година?

   • 40 евро
   • 20 евро
   • 5 евро
   • 420 евро

   Отговор: 20 евро

   5% от 400 е 0,05·400 = 20 евро.

2. Коя формула дава сумата K_n след n години при сложна лихва p% годишно?

   • K_n = K(1 + np/100)
   • K_n = K(1 + p/100)ⁿ
   • K_n = K·n·p/100
   • K_n = K(1 + p/100)·n

   Отговор: K_n = K(1 + p/100)ⁿ

   При сложна лихва всяка година сумата се умножава по (1 + p/100).

3. При проста лихва лихвата, начислявана всяка година, ...

   • расте
   • е една и съща
   • намалява
   • се удвоява

   Отговор: е една и съща

   Простата лихва се смята винаги от началната сума.

4. Вложени са 1000 евро при 4% годишна проста лихва. Каква е сумата след 3 години?

   • 1124,86 евро
   • 1040 евро
   • 1120 евро
   • 1012 евро

   Отговор: 1120 евро

   Лихвата за година е 40 евро, за 3 години 120 евро. Сумата е 1120 евро.

5. Вложени са 800 евро при проста лихва. След 1 година сумата е 840 евро. Какъв е годишният процент?

   • 5%
   • 4%
   • 40%
   • 8%

   Отговор: 5%

   Лихвата е 40 евро, 40/800 = 0,05 = 5%.

6. За колко години 600 евро при 5% годишна проста лихва ще донесат 120 евро лихва?

   • 2
   • 3
   • 4
   • 6

   Отговор: 4

   Годишната лихва е 30 евро, 120 : 30 = 4 години.

7. Вложени са 2000 евро при 5% годишна сложна лихва. Каква е сумата след 2 години?

   • 2200 евро
   • 2100 евро
   • 2210 евро
   • 2205 евро

   Отговор: 2205 евро

   2000·1,05² = 2000·1,1025 = 2205 евро.

8. Телефон струва 500 евро и всяка година поевтинява с 20%. Каква ще е цената след 2 години?

   • 300 евро
   • 400 евро
   • 320 евро
   • 340 евро

   Отговор: 320 евро

   500·0,8² = 500·0,64 = 320 евро.

9. 1000 евро се влагат за 2 години при 10% годишно. Коя лихва е по-изгодна и с колко?

   • простата, с 10 евро
   • еднакви са
   • сложната, с 21 евро
   • сложната, с 10 евро

   Отговор: сложната, с 10 евро

   Проста: 200 евро лихва. Сложна: 1000·1,1² − 1000 = 210 евро.

10. При какъв годишен процент сложна лихва 10 000 евро стават 12 100 евро за 2 години?

    • 10%
    • 21%
    • 11%
    • 10,5%

    Отговор: 10%

    (1 + p)² = 1,21, 1 + p = 1,1, p = 10%.

11. 5000 евро са вложени при 2% годишна сложна лихва. Колко е лихвата за 2 години?

    • 200 евро
    • 5202 евро
    • 204 евро
    • 202 евро

    Отговор: 202 евро

    5000·1,02² = 5202 евро, лихвата е 202 евро.

12. Влог от 5000 евро при сложна лихва става 5300 евро след 1 година. Колко ще стане след още 1 година при същия процент?

    • 5618 евро
    • 5600 евро
    • 5636 евро
    • 5900 евро

    Отговор: 5618 евро

    Процентът е 6%, 5300·1,06 = 5618 евро.

13. При 20% годишна сложна лихва след най-малко колко години сумата става повече от два пъти по-голяма?

    • 5
    • 4
    • 3
    • 6

    Отговор: 4

    1,2³ = 1,728 4 = 2,0736 > 2.

14. Каква сума трябва да се вложи при 10% годишна сложна лихва, за да стане 2420 евро след 2 години?

    • 1936 евро
    • 2178 евро
    • 2000 евро
    • 2200 евро

    Отговор: 2000 евро

    K·1,1² = 2420, K = 2420/1,21 = 2000 евро.

15. Цената на кола намалява с 10% годишно. След 2 години е 16 200 евро. Колко е била в началото?

    • 19 800 евро
    • 20 000 евро
    • 19 440 евро
    • 18 000 евро

    Отговор: 20 000 евро

    K·0,9² = 16 200, K = 16 200 : 0,81 = 20 000 евро.

Финален въпрос