Практически задачи със сложна лихва
Сложната лихва описва много реални процеси: спестявания, кредити, растеж на население и поевтиняване на стоки. В практическите задачи търсим крайната сума, началната сума, процента или броя години. При намаляване с p% всяка година умножаваме по (1 − p/100), а при растеж по (1 + p/100).
Какво да запомним
- Растеж с p% годишно: умножаваме по (1 + p/100) всяка година.
- Намаляване с p% годишно: умножаваме по (1 − p/100).
- Начална сума: K = Kn/(1 + p/100)n.
- Броя години намираме, като сравняваме последователните степени.
Пример
Телефон за 500 евро, който поевтинява с 20% годишно, след 2 години струва 500·0,82 = 320 евро.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
При какъв годишен процент сложна лихва 10 000 евро стават 12 100 евро за 2 години?
- 10%
- 21%
- 11%
- 10,5%
Отговор: 10%
(1 + p)2 = 1,21, 1 + p = 1,1, p = 10%.
При 20% годишна сложна лихва след най-малко колко години сумата става повече от два пъти по-голяма?
- 5
- 4
- 3
- 6
Отговор: 4
1,23 = 1,728 4 = 2,0736 > 2.
Телефон струва 500 евро и всяка година поевтинява с 20%. Каква ще е цената след 2 години?
- 300 евро
- 400 евро
- 320 евро
- 340 евро
Отговор: 320 евро
500·0,82 = 500·0,64 = 320 евро.
Каква сума трябва да се вложи при 10% годишна сложна лихва, за да стане 2420 евро след 2 години?
- 1936 евро
- 2178 евро
- 2000 евро
- 2200 евро
Отговор: 2000 евро
K·1,12 = 2420, K = 2420/1,21 = 2000 евро.
Кредит от 10 000 евро се олихвява със сложна лихва 10% годишно. Колко се дължи след 3 години без плащания?
- 13 000 евро
- 13 310 евро
- 13 300 евро
- 13 100 евро
Отговор: 13 310 евро
10 000·1,13 = 10 000·1,331 = 13 310 евро.
Цена намалява с 10% всяка година. По какво число умножаваме цената всяка година?
- 1,1
- 0,1
- 0,9
- 10
Отговор: 0,9
Остават 100% − 10% = 90% от цената, тоест 0,9.
Цена от 100 евро се увеличава с 10%. Колко става?
- 110 евро
- 100,1 евро
- 1000 евро
- 90 евро
Отговор: 110 евро
100·1,1 = 110 евро.
При сложна лихва върху каква сума се смята лихвата всяка година?
- само началната сума
- само лихвата
- половината сума
- текущата сума
Отговор: текущата сума
Лихвата се прибавя към сумата и следващата година се олихвява и тя.
Град има 50 000 жители, а населението расте с 2% годишно. Колко жители ще има след 1 година?
- 52 000
- 51 000
- 50 200
- 60 000
Отговор: 51 000
50 000·1,02 = 51 000.
Цена се вдига с 10%, а след това се намалява с 10%. Как се променя спрямо началната?
- не се променя
- намалява с 1%
- расте с 1%
- намалява с 10%
Отговор: намалява с 1%
Умножаваме по 1,1·0,9 = 0,99, значи цената е 99% от началната.
4000 евро са вложени при 5% годишна сложна лихва. Колко е сумата след 1 година?
- 4005 евро
- 4400 евро
- 4020 евро
- 4200 евро
Отговор: 4200 евро
4000·1,05 = 4200 евро.
Машина струва 8000 евро и всяка година губи 25% от стойността си. Колко струва след 3 години?
- 3375 евро
- 2000 евро
- 4500 евро
- 6000 евро
Отговор: 3375 евро
8000·0,753 = 8000·0,421875 = 3375 евро.
Цена от 1000 евро се увеличава два пъти поред с по 10%. С колко процента общо е увеличена?
- 20%
- 11%
- 21%
- 10%
Отговор: 21%
1,12 = 1,21, цената става 1210 евро, тоест увеличение с 21%.
5000 евро са вложени за 2 години със сложна лихва: първата година 4%, втората 5%. Каква е крайната сума?
- 5450 евро
- 5400 евро
- 5460 евро
- 5512,50 евро
Отговор: 5460 евро
5000·1,04 = 5200, 5200·1,05 = 5460 евро.
Цена първо се увеличава с 20%, а после се намалява с p% и става равна на началната. Колко е p?
- ≈ 16,7%
- 20%
- 25%
- ≈ 18,3%
Отговор: ≈ 16,7%
1,2·(1 − p/100) = 1, 1 − p/100 = 5/6, p = 100/6 ≈ 16,7.