Как да се упражни урокът у дома?

Прочетете обяснението и ключовите неща, после отговорете на въпросите по-долу. За повече упражнения отворете темата „Прогресии“ и изберете игра или режим „У дома“.

Коя формула дава Sₙ на геометрична прогресия при q ≠ 1?

Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

Математика · 10 клас · урок 7 от 9

Сбор на първите n члена на геометрична прогресия

Сборът на първите n члена на геометрична прогресия се намира с формула, в която участват първият член и частното. Формулата важи при q ≠ 1, а при q = 1 всички членове са равни и сборът е n·b₁. С нея пресмятаме бързо сборове като 1 + 2 + 4 + ... и намираме колко члена трябва да съберем.

Играйте само този урок:Вярно или невярно Табло Бомба Надбягване Отборен тест А/Б/В/Г Горещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) при q ≠ 1.
При q = 1: S_n = n·b₁.
1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1.
При отрицателно q членовете сменят знака си и това се отразява в сбора.

Пример

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 1·(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 63.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

Намерете сбора на първите 6 члена на геометричната прогресия 1, 2, 4, ...
- 64
- 32
- 127
- 63
Отговор: 63
S₆ = (2⁶ − 1)/(2 − 1) = 63.
В геометрична прогресия b₁ = 3 и q = −2. Намерете S₅.
- 33
- −33
- 93
- 11
Отговор: 33
S₅ = 3·((−2)⁵ − 1)/(−2 − 1) = 3·(−33)/(−3) = 33.
Колко члена на прогресията 3, 6, 12, ... трябва да съберем, за да получим 189?
- 6
- 5
- 7
- 63
Отговор: 6
S_n = 3(2ⁿ − 1) = 189, 2ⁿ = 64, n = 6.
Намерете сбора 1 + 3 + 9 + 27 + 81.
- 81
- 120
- 121
- 243
Отговор: 121
S₅ = (3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242/2 = 121.
В геометрична прогресия b₁ = 64 и q = 1/2. Намерете S₆.
- 63
- 124
- 128
- 126
Отговор: 126
Членовете са 64, 32, 16, 8, 4, 2 и сборът им е 126.
Колко е сборът на първите 5 члена на прогресията 4, 4, 4, ...?
- 4
- 1024
- 9
- 20
Отговор: 20
При q = 1 всички членове са равни: S₅ = 5·4 = 20.
Коя формула дава S_n на геометрична прогресия при q ≠ 1?
- S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
- S_n = (b₁ + b_n)·n/2
- S_n = b₁·qⁿ⁻¹
- S_n = n·b₁·q
Отговор: S_n = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
Това е формулата за сбор на първите n члена при q ≠ 1.
На колко е равен сборът 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ⁻¹?
- 2ⁿ
- 2ⁿ⁻¹
- 2ⁿ − 1
- 2n − 1
Отговор: 2ⁿ − 1
b₁ = 1, q = 2: S_n = (2ⁿ − 1)/(2 − 1).
Геометрична прогресия има q = 2 и S₄ = 45. Намерете b₁.
- 5
- 9
- 3
- 15
Отговор: 3
S₄ = b₁(2⁴ − 1) = 15b₁ = 45, b₁ = 3.
Геометрична прогресия има b₁ = 2 и S₂ = 10. Намерете q.
- q = 4
- q = 5
- q = 8
- q = 2
Отговор: q = 4
S₂ = b₁ + b₁q = 2 + 2q = 10, q = 4.
Пресметнете 3 + 6 + 12 + ... + 384.
- 768
- 381
- 1533
- 765
Отговор: 765
384 = 3·2⁷, значи има 8 члена. S₈ = 3(2⁸ − 1) = 765.
Пресметнете 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16.
- 2
- 31/16
- 15/8
- 63/32
Отговор: 31/16
S₅ = (1 − (1/2)⁵)/(1 − 1/2) = 2·31/32 = 31/16.
Геометрична прогресия има b₁ = 1 и q = 3. Намерете S₄ − S₃.
- 40
- 27
- 13
- 9
Отговор: 27
S₄ − S₃ = b₄ = 3³ = 27.
Най-малко колко члена на прогресията 1, 2, 4, ... трябва да съберем, за да е сборът по-голям от 1000?
- 9
- 11
- 500
- 10
Отговор: 10
S_n = 2ⁿ − 1. S₉ = 511, S₁₀ = 1023 > 1000.
В геометрична прогресия S₃ = 7 и S₆ = 63. Намерете q.
- q = 2
- q = 3
- q = 9
- q = 8
Отговор: q = 2
S₆ = S₃ + q³·S₃, затова 1 + q³ = 9, q³ = 8, q = 2.