Четириъгълник, вписан в окръжност
Четириъгълник е вписан в окръжност, когато четирите му върха лежат на нея. Това е възможно точно тогава, когато сборът на два срещуположни ъгъла е 180°. Затова около всеки правоъгълник, квадрат и равнобедрен трапец може да се опише окръжност, а около успоредник, който не е правоъгълник, не може. Във вписан четириъгълник ъглите, опрени на една и съща страна от една и съща страна на нея, са равни.
Какво да запомним
- Вписан четириъгълник: ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
- Външният ъгъл е равен на вътрешния срещуположен ъгъл.
- Около правоъгълник и равнобедрен трапец винаги може да се опише окръжност.
- Диагоналът на вписан правоъгълник е диаметър на окръжността.
Пример
Правоъгълник 9 cm на 12 cm: диагоналът е 15 cm, затова R = 7,5 cm.
Проверете се: 15 въпроса
Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.
На колко е равен сборът на два срещуположни ъгъла на вписан в окръжност четириъгълник?
- 360°
- 180°
- 90°
- 270°
Отговор: 180°
Двата ъгъла са вписани и се опират на дъги със сбор 360°, затова сборът им е 180°.
ABCD е вписан в окръжност четириъгълник и ∠A = 3·∠C. Намерете ∠A.
- 135°
- 45°
- 120°
- 90°
Отговор: 135°
∠A + ∠C = 180° и ∠A = 3∠C, откъдето ∠C = 45° и ∠A = 135°.
Около кой от четириъгълниците ВИНАГИ може да се опише окръжност?
- ромб
- успоредник
- трапец
- правоъгълник
Отговор: правоъгълник
Срещуположните ъгли на правоъгълника имат сбор 90° + 90° = 180°.
В четириъгълника ABCD ∠A = 80°, ∠B = 95° и ∠C = 100°. Може ли около него да се опише окръжност и колко е ∠D?
- не, ∠D = 85°
- да, ∠D = 80°
- да, ∠D = 85°
- не, ∠D = 95°
Отговор: да, ∠D = 85°
∠D = 360° − 275° = 85°. ∠A + ∠C = 180°, затова окръжност може да се опише.
Правоъгълник със страни 9 cm и 12 cm е вписан в окръжност. Намерете радиуса ѝ.
- 15 cm
- 7,5 cm
- 10,5 cm
- 6 cm
Отговор: 7,5 cm
Диагоналът е диаметър: √(81 + 144) = 15 cm, радиусът е 7,5 cm.
Може ли около всеки равнобедрен трапец да се опише окръжност?
- не, никога
- само ако е правоъгълен
- само ако диагоналите са перпендикулярни
- да, винаги
Отговор: да, винаги
В равнобедрения трапец сборът на срещуположните ъгли е 180°, затова около него винаги може да се опише окръжност.
ABCD е вписан в окръжност четириъгълник и ∠ABD = 40°. Колко е ∠ACD?
- 40°
- 80°
- 50°
- 140°
Отговор: 40°
∠ABD и ∠ACD са вписани ъгли, които се опират на една и съща дъга AD, затова са равни.
ABCD е вписан четириъгълник, а външният му ъгъл при върха C е 75°. Колко е ∠A?
- 105°
- 150°
- 75°
- 37,5°
Отговор: 75°
∠C = 180° − 75° = 105°, а ∠A = 180° − 105° = 75°. Външният ъгъл при C е равен на ∠A.
Квадрат е вписан в окръжност с радиус 5 cm. Колко е страната на квадрата?
- 10 cm
- 5 cm
- 10√2 cm
- 5√2 cm
Отговор: 5√2 cm
Диагоналът на квадрата е диаметър: 10 cm. Страната е 10/√2 = 5√2 cm.
ABCD е вписан четириъгълник, AB = BC и ∠ADC = 100°. Колко е ∠BAC?
- 40°
- 50°
- 80°
- 100°
Отговор: 50°
∠ABC = 180° − 100° = 80°. Триъгълникът ABC е равнобедрен: ∠BAC = (180° − 80°) : 2 = 50°.
Може ли около успоредник, който не е правоъгълник, да се опише окръжност?
- да, винаги
- само ако е ромб
- не
- само ако е квадрат
Отговор: не
Срещуположните му ъгли са равни и не са 90°, затова сборът им не е 180°.
ABCD е вписан в окръжност четириъгълник и ∠B = 75°. Колко е ∠D?
- 75°
- 105°
- 15°
- 285°
Отговор: 105°
∠B + ∠D = 180°: 180° − 75° = 105°.
Правоъгълник е вписан в окръжност с радиус 5 cm, а едната му страна е 6 cm. Колко е другата?
- 8 cm
- 4 cm
- 10 cm
- 7 cm
Отговор: 8 cm
Диагоналът е диаметър: 10 cm. Другата страна е √(100 − 36) = 8 cm.
ABCD е вписан четириъгълник, ∠BAC = 30° и ∠CAD = 40°. Колко е ∠BCD?
- 70°
- 140°
- 100°
- 110°
Отговор: 110°
∠BAD = 30° + 40° = 70°, а срещуположният ∠BCD = 180° − 70° = 110°.
ABCD е вписан четириъгълник, а диагоналът AC е диаметър с дължина 13 cm и AD = 5 cm. Колко е CD?
- 8 cm
- 13 cm
- 12 cm
- 18 cm
Отговор: 12 cm
∠ADC се опира на диаметър, затова е 90°: CD = √(169 − 25) = 12 cm.