ТърсиУченик? Влез с код30 дни безплатноБезплатно
Класове
Начален етап
Прогимназиален етап
Гимназиален етап
Всички игриНВО и матуриЦениСтатииВидеоЗа родителиЗа училищаВход за учителиУченик? Влез с код
Математика · 8 клас · урок 3 от 7

Външновписани окръжности

Външновписана окръжност е окръжност, която се допира до една страна на триъгълника и до продълженията на другите две страни. Всеки триъгълник има три такива окръжности, по една срещу всеки връх. Центърът на външновписаната окръжност срещу върха A е пресечната точка на ъглополовящата на ∠A и външните ъглополовящи при B и C, затова лежи вън от триъгълника. Радиусът ѝ е ra = S/(p − a).

Играйте само този урок:Вярно или невярноТаблоБомбаНадбягванеОтборен тест А/Б/В/ГГорещ стол

Работен лист за печат

Какво да запомним

  • Всеки триъгълник има 3 външновписани окръжности.
  • Центърът лежи на ъглополовящата на вътрешния ъгъл A и на външните ъглополовящи при B и C.
  • ra = S/(p − a), където a е страната, до която се допира.
  • Допирателната отсечка от върха A до тази окръжност е равна на p.

Пример

Триъгълник със страни 6, 8 и 10 cm: S = 24 cm2, p = 12 cm, а rc (до страната 10 cm) = 24/(12 − 10) = 12 cm.

Проверете се: 15 въпроса

Натиснете въпроса, за да видите верния отговор и обяснението.

  1. Колко външновписани окръжности има всеки триъгълник?
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4

    Отговор: 3

    По една срещу всеки връх, общо 3.

  2. Центърът на външновписаната окръжност, която се допира до страната BC на триъгълника ABC, е пресечната точка на:
    • симетралите на страните
    • ъглополовящата на ∠A и външните ъглополовящи при B и C
    • височините
    • медианите

    Отговор: ъглополовящата на ∠A и външните ъглополовящи при B и C

    Центърът е на равни разстояния от правите AB, BC и CA и лежи срещу върха A.

  3. Триъгълникът ABC има страни 5 cm, 6 cm и 7 cm. Външновписаната окръжност, която се допира до BC, се допира до продължението на AB в точка T. Колко е AT?
    • 9 cm
    • 6 cm
    • 18 cm
    • 4,5 cm

    Отговор: 9 cm

    Допирателната отсечка от A до тази окръжност е равна на полупериметъра: (5 + 6 + 7)/2 = 9 cm.

  4. Правоъгълен триъгълник има катети 3 cm и 4 cm. Колко е радиусът на външновписаната окръжност, която се допира до хипотенузата?
    • 1 cm
    • 2 cm
    • 5 cm
    • 6 cm

    Отговор: 6 cm

    S = 6 cm2, p = 6 cm, c = 5 cm, rc = 6/(6 − 5) = 6 cm.

  5. Триъгълник има страни 6 cm, 8 cm и 10 cm и лице 24 cm2. Колко е радиусът на външновписаната окръжност, която се допира до страната 6 cm?
    • 2 cm
    • 4 cm
    • 3 cm
    • 12 cm

    Отговор: 4 cm

    p = 12 cm, ra = S/(p − a) = 24/(12 − 6) = 4 cm.

  6. Външновписаната окръжност се допира до една страна на триъгълника и до:
    • другите две страни
    • описаната окръжност
    • височините
    • продълженията на другите две

    Отговор: продълженията на другите две

    Тя е вън от триъгълника и се допира до една страна и до продълженията на другите две.

  7. Къде лежи центърът на външновписана окръжност спрямо триъгълника?
    • вътре в триъгълника
    • на една от страните
    • вън от триъгълника
    • в един от върховете

    Отговор: вън от триъгълника

    Центърът е пресечна точка на две външни ъглополовящи и лежи вън от триъгълника.

  8. По коя формула се намира радиусът ra на външновписаната окръжност, която се допира до страната a?
    • ra = S/p
    • ra = S/(p − a)
    • ra = S/a
    • ra = p − a

    Отговор: ra = S/(p − a)

    Лицето се изразява чрез ra като S = ra(p − a).

  9. Триъгълник има лице 30 cm2 и полупериметър 15 cm. Колко е радиусът на външновписаната окръжност към страната 12 cm?
    • 10 cm
    • 2 cm
    • 5 cm
    • 2,5 cm

    Отговор: 10 cm

    ra = S/(p − a) = 30/(15 − 12) = 10 cm.

  10. Равностранен триъгълник има страна 10 cm. Колко е допирателната отсечка от върха A до външновписаната окръжност срещу A?
    • 10 cm
    • 5 cm
    • 30 cm
    • 15 cm

    Отговор: 15 cm

    Тази отсечка е равна на полупериметъра: p = 30 : 2 = 15 cm.

  11. На какво е равен радиусът на външновписаната окръжност на равностранен триъгълник?
    • на страната му
    • на половината от страната
    • на височината му
    • на радиуса на вписаната

    Отговор: на височината му

    ra = S/(p − a) = (a2√3/4)/(a/2) = a√3/2, а това е височината.

  12. Триъгълник има страни 13 cm, 14 cm и 15 cm и лице 84 cm2. Колко е радиусът на външновписаната окръжност към страната 14 cm?
    • 4 cm
    • 12 cm
    • 6 cm
    • 14 cm

    Отговор: 12 cm

    p = 21 cm, r = 84/(21 − 14) = 84/7 = 12 cm.

  13. Правоъгълен триъгълник има катети 3 cm и 4 cm. Колко е радиусът на външновписаната окръжност към катета 4 cm?
    • 3 cm
    • 2 cm
    • 1 cm
    • 4 cm

    Отговор: 3 cm

    S = 6 cm2, p = 6 cm, r = 6/(6 − 4) = 3 cm.

  14. На какво е равен радиусът на външновписаната окръжност към хипотенузата на правоъгълен триъгълник?
    • на хипотенузата
    • на сбора на катетите
    • на радиуса на описаната
    • на полупериметъра

    Отговор: полупериметъра p

    p − c = (a + b − c)/2 = r, а S = p · r, затова S/(p − c) = p.

  15. Триъгълник има страни 6 cm, 8 cm и 10 cm и лице 24 cm2. Колко е сборът на радиусите на трите му външновписани окръжности?
    • 24 cm
    • 12 cm
    • 22 cm
    • 18 cm

    Отговор: 22 cm

    p = 12: радиусите са 24/6 = 4, 24/4 = 6 и 24/2 = 12 cm, сборът е 22 cm.